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#——文章來源網(wǎng)，僅供分享學習參考兩個重要極限的證明兩個重要極限的證明第六節(jié)極限存在準則、兩個重要極限教學目的：1使學生掌握極限存在的兩個準則；并會利用它們求極限；2使學生掌握利用兩個重要極限求極限的方法；教學重點：利用兩個重要極限求極限教學過程：一、講授新課：準則I如果數(shù)列滿足下列條件：對那么，數(shù)列的極限存在，且。證明：因為，所以對，當時，有，即，對，當時，有，即，又因為，所以當時，有，即有：，即，所以。準則I如果函數(shù)滿足下列條件：當時，有。當時，有。那么當時，的極限存在，且等于。第一個重要極限：作為準則I的應用，下面將證明第一個重要極限：。證明：作單位圓，如下圖：設為圓心角，并設見圖不難發(fā)現(xiàn)：，即：，即，（因為，所以上不等式不改變方向）當改變符號時，及1的值均不變，故對滿足的一切，有。又因為，所以而，證畢。【例1】?！纠?】?！纠?】?！纠?】。準則n：單調(diào)有界數(shù)列必有極限如果數(shù)列滿足：，就稱之為單調(diào)增加數(shù)列;若滿足：，就稱之為單調(diào)減少數(shù)列;同理亦有嚴格單增或單減，以上通稱為單減數(shù)列和嚴格單減數(shù)列。如果，使得：，就稱數(shù)列為有上界;若，使得：，就稱有下界。準則n/：單調(diào)上升，且有上界的數(shù)列必有極限。準則n〃單調(diào)下降，且有下界的數(shù)列必有極限。注1：由前已知，有界數(shù)列未必有極限，若加單調(diào)性，就有極限。2準則n,n,,n〃可推廣到函數(shù)情形中去，在此不一一陳述了。第二個重要極限：作為準則n的一個應用，下面來證明極限是不存在的。先考慮取正整數(shù)時的情形：對于，有不等式：，即：，即：現(xiàn)令，顯然，因為將其代入，所以，所以為單調(diào)數(shù)列。又令，所以，即對，又對所以｛是｝有界的。由準則n或n,知存在，并使用來表示，即注：1關(guān)于此極限存在性的證明，書上有不同的方法，希望同學自己看!2：我們可證明：，具體在此不證明了，書上也有，由證明過程知：。3：指數(shù)函數(shù)及自然對數(shù)中

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