2020-2021學年下學期期末原創(chuàng)卷(滬教版)03卷

高二數(shù)學?全解全析

1.4或7

【分析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，列出方程，求出X的值即可.

【詳解】

解：

2x=x+4或2x+(x+4)=25,

解得x=4或x=7.

故答案為：4或7.

【點睛】

本題考查了組合數(shù)的性質(zhì)與應用問題，是基礎題目.

2.平行或異面

【分析】

根據(jù)空間線線的位置關系判斷即可.

【詳解】

解：因為=則直線。、b沒有交點，

故直線。、。平行或異面.

故答案為：平行或異面.

【點睛】

本題考查空間線線的位置關系，是基礎題.

a2而

3.arccos-------

15

【分析】

利用空間向量的坐標運算求解即可.

【詳解】

解：由已知6％=2+2=4，同=J4+1=底忖=Jl+l+4=?,

/-\ab42同

C0SMz=]^i=^=--

則[與B的夾角為arccos^^^-.

故答案為：arccos^^-.

15

【點睛】

本題考查空間向量夾角的求解，是基礎題.

4.240

【分析】

利用捆綁法可得排法總數(shù).

【詳解】

解：6名同學派出一排照相，其中甲、乙兩人相鄰，用捆綁法可得排法數(shù)有&8=24()種.

故答案為：240.

【點睛】

本題考查捆綁法解決排列問題，是基礎題.

2%

【分析】

由正六棱柱的幾何特征可得NABC為正六棱柱相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的平面角，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角

計算即可.

【詳解】

解:如圖，

由正六棱柱的幾何特征可知BBt1AB,BBi1CB,

則NABC為正六棱柱相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的平面角,

2萬2萬

ZABC=7t——

6T

j,2萬

故答案為：—.

【點睛】

本題考查二面角的求解，關鍵是要找到二面角的平面角，是基礎題.

13

6.—

28

【分析】

根據(jù)題意，袋中有2個紅球和6個黑球，由組合數(shù)公式可得從中取出2個的情況數(shù)目，若兩個球中至少有

一個是紅球，即一紅一黑，或者兩紅，由分步計數(shù)原理可得其情況數(shù)目，由等可能事件的概率，計算可得

答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，袋中有2個紅球和6個黑球，共8個球,

從中取出2個，有C；=28種情況,

兩個球中至少有一個是紅球，即一紅一黑，或者兩紅的情況有C；C：+C；=13種，

13

則兩個球中至少有一個是紅球的概率為P,

28

13

故答案為：士.

【點睛】

本題考查等可能事件的概率的計算，是簡單題，關鍵在于正確應用排列、組合公式.

7.80

【分析】

根據(jù)小學生抽取的人數(shù)計算抽取比例，再根據(jù)這個比例求初中生中需抽取的人數(shù).

【詳解】

701

解：由題可知抽取的比例為——=—,

140020

故初中生應該抽取人數(shù)為7V=1600x—=80.

20

故答案為：80.

【點睛】

本題考查基本的分層抽樣，解決分層抽樣的關鍵是抓住各層抽取的比例相等，屬基本題.

【分析】

欲求坐飛機從A城市飛到B城市的最短距離，即求出地球上這兩點間的球面距離即可.48兩地在同一緯度

圈上，計算經(jīng)度差，求出AB弦長，以及球心角，然后求出球面距離.即可得到答案.

【詳解】

由已知地球半徑為R,則北緯45。的緯線圈半徑為也，

2

又兩座城市的經(jīng)度分別為東經(jīng)30。和西經(jīng)60。，

故連接兩座城市的弦長L=立R?、5=R，

2

7T

則A,B兩地與地球球心。連線的夾角ZAOB=-,

3

TT

則A、B兩地之間的距離是一R.

3

71

故答案為：-R.

3

【點睛】

本題考查球面距離及其他計算，考查空間想象能力，是基礎題.

9.i：Vio

【分析】

設圓錐母線長為/，小圓錐半徑為，、高為h,大圓錐半徑為R,高為“，根據(jù)側(cè)面積之比可得R=2r,

再由圓錐側(cè)面展開扇形圓心角的公式得到/=3r,利用勾股定理得到關于「的式子，從而將兩個圓錐

的體積都表示成r的式子，，求出它們的比值.

【詳解】

設圓錐母線長為/，側(cè)面積較小的圓錐半徑為「，

側(cè)面積較大的圓錐半徑為R，它們的高分別為力,”，

則7irl:TIRI=1:2,得R=2r,

,??兩圓錐的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓,

2〃=----x2〃,得/=3r,

再由勾股定理，得〃=J/2一「2=2后,

同理可得，”=J/2一R，=后,

???兩個圓錐的體積之比為乃?尸?20r）:（1萬?4尸.-J5r^=1:如,

故答案為1：J16.

【點睛】

本題主要考查圓錐的性質(zhì)與側(cè)面積，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于中檔題.

10.6

【分析】

設水面的高度為〃，根據(jù)圓錐體的體積等于全部玻璃的體積加上水的體積列方程求解即可.

【詳解】

解：設在向容器倒?jié)M水后，再把玻璃球全部拿出來，則此時容器內(nèi)水面的高度為〃，

則」4S-lOn土乃1.49+L萬?〃，

333U0）

解得〃=6.

故答案為：6.

【點睛】

本題考查圓錐體積和球的體積的運算，關鍵要找到體積之間的關系，是基礎題.

11.--^―

5

【分析】

以為x軸，4。為y軸，4A為z軸建立空間直角坐標系，求出平面尸AD的法向量，84的坐標,

利用距離公式，即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：以44為x軸，4。為y軸，4A為z軸建立空間直角坐標系,

p

設平面PAD的法向量是m-(x,y,z)，

vAD=(0,2,0),XP=(l,l,2),

m-AD=02y=0

可得《

m-AP=0x+y+2z=Q

取z=l得而=(—2,0,1),

?.取=(-2,0,2),

到平面PAD的距離d=由'""I=-75.

|m|5

故答案為：述.

5

【點睛】

本題考查點到平面的距離，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

12.87

【分析】

由組合數(shù)的性質(zhì)知：x=-(1+88C；,+882C；+883C>.??+88*C*+?-?+88°C：),由此能求出結(jié)果.

【詳解】

解:由組合數(shù)的性質(zhì)知:

X=1-90C：+902C：-903C；+…+(_90)?+…一90"C：

?！?(―)：)2：)；

=9090'C+(-90C+(―90)3+(_90)Aq*+.??+(-90"C

=(1-90)"=-(1+88)"=-(1+88C：+88?第+88'C：+…+88"C：+…+88”C：)

則X除以88的余數(shù)為-1+88=87.

故答案為：87.

【點睛】

本題考查余數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意組合數(shù)性質(zhì)及二項式定理的合理運用.

13.B

【詳解】

試題分析：耀仁般，獨淄好得不到癡承，因為絹爵可能相交，只要隧和急，，期的交線平行即可得到微盛樨;

礴爵,卿二雄,，...蹴!和飆沒有公共點，，腳嘴券，即您凝#能得至”頒演；.」瀚嘴儼是"域題"的必要不

充分條件.故選B.

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【方法點晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及

充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎題；，物蹴好并得不到鹿僦靜，根據(jù)面面平行的判

定定理，只有第，內(nèi)的兩相交直線都平行于墀，而戰(zhàn)即，并且源仁雄，顯然能得到:濃理，這樣即可找出正

確選項.

14.C

【分析】

由橢圓的定義得：|A耳|+|A段=2”，忸用+忸61=2。，結(jié)合條件可得|AB|=ga,即可得答案.

【詳解】

由橢圓的定義得：|4耳|+|4同=2訪忸制+忸用=2a,

又2|ABHA寫1+18鳥|AB|=|A6|+忸制，所以|AB|=ga,

2,,4

由橢圓E:/+臺v=1知a=1,所以=

故選：C

【點睛】

本題主要考查了橢圓的定義，考查學生基本運算能力.

15.B

【分析】

①中，用-y代替y,可判定曲線關于X軸對稱；②中，用-X代替X,用-y代替y,可判定曲線不關于

原點對稱；③中，用一X代替X,可判定曲線不關于X軸對稱；④中，化簡方程2f—4x—2=—y4和

y4=—2(x—1尸+4,得出不等式，即可求解.

【詳解】

由題意，方程2x2-4x+y*=2,

對于①中，用一丫代替y,可得方程2——4x+y4=2,所以方程表示的曲線關于X軸對稱；

對于②中，用一X代替X,用-y代替可得方程2/+4x+y4=2,所以方程表示的曲線不關于原點對

稱；

對于③中，用-X代替x,可得方程2/+4x+y4=2,所以方程表示的曲線不關于x軸對稱；

對于④中，方程2/-4%+/=2,可化為21一4%-2=-寸，可得/一2x-lW0，

解得1-a1—41+北，

又由y"=—2x-+4x+2=—2(x—1)"+4,即y4W4,解得—y/24y4"J2■

綜上可得①④是正確的.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了曲線與方程為背景下的命題的真假判定，其中解答中熟練應用曲線的對稱性和函數(shù)的基本

性質(zhì)，得出不等式關系式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.

16.D

【分析】

根據(jù)題意作出滿足條件的圖形，由線線，線面，面面關系結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征找出截面再論證得到結(jié)論.

【詳解】

當CQ=］時，即Q為CQ中點時，如圖所示：

因為平面AOOIA//平面BCC/i，所以PQ//AR又"=&。=卜+=4

所以截面APQDi為等腰梯形，故②正確；

由上圖當點Q向C移動時，滿足0<CQ<g,只需在。Di上取點M滿足匐//4V,如圖所示:

故可得截面APQM為四邊形，故①正確;

當CQ=1時，Q與G重合，如圖所示：

取AA的中點F,連接AF,因為平面平面BCCg,所以PC"/AF,且比；=AF,又

C、F=AF,所以截面APGF為菱形，所以其面積s=(AG,「尸=；?逐,、5=半，故③正確.

故選：D

【點睛】

本題主要考查命題的真假判斷以及正方體的截面問題，還考查了空間想象和推理論證的能力，屬于中檔題.

17.。=8,b=-4.

【分析】

利用復數(shù)的乘除運算化簡，再利用復數(shù)模的求法、共枕復數(shù)的概念、復數(shù)相等即可求解.

【詳解】

_(1-03(1+2Z)2_-2z(l-z)(-3+4z)_2/(1-z)(3-4z)

z,———

3-4z3-4/3-4/

=2i(l-i)=2+2i,

所以|z『+z-z=p22+22)-+2-2/-(2+2z)=8-4z,

由|z『+z-z=a+bi,所以a=8,b=4

【點睛】

本題考查了復數(shù)的四則運算、復數(shù)的模、共枕復數(shù)的概念以及復數(shù)相等，屬于基礎題.

18.(1)y=±20x；(2)y=±2x^y=+^-x.

【分析】

(1)a=\,c=3,根據(jù)雙曲線中〃=。2—"求出〃，則可得漸近線方程；

(2)聯(lián)立直線與雙曲線，利用韋達定理求出弦長與已知弦長相等，可解得b,則可得到漸近線方程.

【詳解】

(1)依題意c=3,所以1+6=32,所以從=8,所以力=20，

又a=l,所以雙曲線F的漸近線方程為)；=±2缶.

2

(2)依題意可得直線/的方程為：y=x+l,將其代入Y%=1并整理得:

(/?"—I)%2—2.x_/>--]=(),

因為直線/與「交于尸、Q兩點，所以從工1，A=4+4S4-1)=4/〉(),

設P(X],yJ,Q(x2,y2),

2b2+\

所以％+%2=廬了玉々=一仃

所以|PQ|=J(X]-X2)2+(X-y2)'=)(%-々)2+(%-工2)2=&。+々小一43丁

44(〃+1)2垃護

02-1)2+b2-X萬

D2\b2-l\

所以微練=竽'解得'=2或'=平'

因為。=1,所以雙曲線的漸近線方程為y=±2x或y士”

7

【點睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，考查了直線與雙曲線的位置關系，考查了雙曲線的漸近線方程，屬于基礎

題.

19.(1)證明見解析：(2)—；(3)arctan

4

【分析】

（1）取AC的中點用，連尸M，BM，通過證明AC,平面PMB，可以得到ACLRB；

（2）根據(jù)題意可以證明p/0_L平面A8C,從而可知NP8W就是PB與平面ABC所成的角；容易計算得

到其大?。?/p>

（3）取Q4的中點N,連MN,BN,易證得ZBNM就是二面角3—24—C的平面角，然后在直角三

角形中求得結(jié)果即可.

【詳解】

（1）證明：取AC的中點M，連PM，BM，如圖：

根據(jù)展開圖可知，PC=PA,BC=BA,所以PMJ_AC,BMA,AC,

又PMcBM=M,所以4。，平面。/3，

因為PBu平面所以ACLP8

（2）根據(jù)展開圖可知PC=P4=BC=8A=J5，且NCPA=NCBA=1^,

所以PM=8W=1，又PB=6,所以

所以PA/，平面ABC，所以ZPBM就是PB與平面ABC所成的角，

且=丁，

4

所以PB與平面ABC所成的角的大小為-.

（3）取的中點N,連MN,BN,如圖:

由（2）可知由（1）知3MLAC,且PMcAC=M,

所以政，平面PAC，所以BA/J_P4，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得MN_LQ4,又BMCMN=M,所以PAJ■平面BMN，

所以Q4LBN,所以ZBNM就是二面角6-%一。的平面角，

在直角三角形PMA中，MN=LpA=也,

22

BM1rr

tan/BNM=----=――=>/2

在直角三角形3MN中，BN72

~T

由題知二面角為銳角，所以N3NM=arctan

【點睛】

本題考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查了直線與平面所成角和二面角的求法,

解題關鍵是根據(jù)展開圖得到幾何體中的角度和長度，屬于中檔題.

43尤2V2

20.(1)-；(2)±-；(3)—+2_=1；(4)是過定點(0,±10),理由見解析;

5510064

【分析】

（1）聯(lián)立2Z?=a+c與c2=/一〃2,消去，，化簡可得結(jié)果;

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)判別式等于0,可解得結(jié)果；

2b=a+6

(3)聯(lián)立《解出。力即可得到結(jié)果.

a2-b~=36

（4）設「（玉）,先）（玉）工0），則。（一x。，-%），利用直線方程求出M,N的坐標，進而求出以線段MN為直

徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程得到定點坐標.

【詳解】

（1）因為橢圓「:r+4=l（a>〃>0）是“等差橢圓"，所以2〃=。+。，

crb~

b4

所以c=2Z?—a，又c2=/—從，所以（2b—〃了=/一82,化簡得一=一.

a5

（2）顯然直線/有斜率，設為左,則直線/:y=a+〃，

4225v2

由（1）知2=—。，所以橢圓方程為：X二+今；=1,

5a216a2

y=kx+a

聯(lián)立,尤225y2，消去》并整理得（25公+16?2+50。h+9片=0，

F+—^=1

.才\6a~

因為直線/與此"等差橢圓"只有一個公共點，

所以A=（50〃）2—4x9/（2522+16）=0,化簡得公=蓋，所以Z=±|.

（3）因為2c=12,所以c=6,所以28=a+6,又a1-廿=c?=36，

2b=a+6

聯(lián)立〈解得a=10,Z?=8,

a2-b2=36

22

所以止匕"等差橢圓"的方程為：—+^=1.

10064

（4）是過定點定,±10）,理由如下:

由（3）可知橢圓方程為：/一+匕=1,

10064

所以A（0,8）,設「（毛，%）（%/0）,則。（-玉）,一%）,

所以直線AP的方程為：y=&^x+8,令y=0,得》=一月1,所以〃（一/工,0）,

七%—8%-8

同理可得N（一遇鼻,0）,

%+8

所以以MN為直徑的圓的方程為（％+」工）甕+1）+（y-。）（丁-o）=o,

%一8%+8

2

結(jié)合3L+范=1,化簡得x+/-^-x-100=0,

10064玉)

令x=0,得丫=±10,所以該圓恒過定點(0,±10).

【點睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了直線與橢圓相切，考查了圓的方程，考查了運算求解能力，屬于中檔

題.

2