偏微分方程1與共軛系統(tǒng)13pld1恒溫hl

對(duì)稱性反映了客觀物質(zhì)世界結(jié)構(gòu)的規(guī)律，而守規(guī)規(guī)律反映了客觀物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律。它們緊密相連。側(cè)微分方程的守規(guī)法是對(duì)薄弱環(huán)節(jié)（pdes）的嚴(yán)格法律的數(shù)學(xué)推廣，例如質(zhì)量守衡、能量守衡、動(dòng)態(tài)勢(shì)衡等經(jīng)典物理概念的數(shù)學(xué)推廣，可以描述pdes運(yùn)動(dòng)變化的特點(diǎn)。守規(guī)法在pdes的解算方法和安全調(diào)整中發(fā)揮著重要作用。它的結(jié)構(gòu)和應(yīng)用是數(shù)學(xué)、物理和力學(xué)領(lǐng)域的研究主題。20世紀(jì)初，諾里斯。本文基于Cheviakov的遞推公式1求解pdes的lie對(duì)稱給定一個(gè)PDE系統(tǒng)其中x=(x定義1對(duì)于PDE系統(tǒng)R給出.當(dāng)自變量是時(shí)間和空間兩個(gè)變量,即x={t,{x其中Θ[u]是局部守恒密度,Φ對(duì)于完全非退化的PDE系統(tǒng),任何局部守恒律(3)有一種等價(jià)特征形式其中{Λ最近,Cheviakov博士等引理1設(shè)(1)是具有自變量x={x公式(6)等價(jià)于下列表達(dá)式顯然,函數(shù)f(x)在(7)中起守恒乘子Λ注1我們發(fā)現(xiàn),如果給定PDE系統(tǒng)(1)能寫成一個(gè)完全散度表達(dá)式,此時(shí)對(duì)任意的可微函數(shù)f=f(x,u)和系統(tǒng)(1)的任意解u=u(x),公式(6)仍成立且等價(jià)于表達(dá)式(7).眾所周知,若一個(gè)可微函數(shù)組F其中從而,我們有如下引理:引理2散度表達(dá)式(6)對(duì)于PDE系統(tǒng)R對(duì)任意可微函數(shù)u都成立.Lie對(duì)稱方法是求解和分析PDEs的經(jīng)典方法.設(shè)PDE系統(tǒng)(1)單參數(shù)Lie對(duì)稱對(duì)應(yīng)的無(wú)窮小生成元為其中ξ其中PDE系統(tǒng)(1)的Lagrangian函數(shù)其中{v注2我們發(fā)現(xiàn),利用直接方法Ibragimov教授把給定PDE系統(tǒng)(1)及共軛系統(tǒng)(13)與其對(duì)稱、Lagrangian函數(shù)和變分導(dǎo)數(shù)融合為一體,推出構(gòu)造PDE系統(tǒng)(1)及共軛系統(tǒng)(13)守恒律的一種新定理.定理1PDE系統(tǒng)(1)的每個(gè)Lie點(diǎn)對(duì)稱(10)都產(chǎn)生方程組(1)和方程組(13)的一組守恒律,其對(duì)應(yīng)守恒向量由公式給出,這里i=1,…,n,α=1,…,m,w2采用離散度公式和新的守固定系數(shù)，形成pdes的守固定格式2.1.系統(tǒng)中自變量及因變量的影響先考慮非線性電報(bào)(NLT)方程其中自變量為x,t,因變量為u(x,t),且G(u)為單位長(zhǎng)度的泄漏電流,F(u)為微分電容.2.1.1用遞推公式構(gòu)造nlt方程的守守律根據(jù)公式(5)和Euler算子,可以得到NLT方程(15)對(duì)應(yīng)的乘子Λ=1,Λ=t,Λ=x和Λ=xt.借助遞推公式(6)可得到NLT方程的幾個(gè)局部守恒律.從方程(15)可以看出它有固有局部守恒律(與乘子Λ=1對(duì)應(yīng))對(duì)于(16)的兩邊分別乘以t和x,并用遞推公式(6)得到如下兩個(gè)守恒律再對(duì)(17)兩邊乘以x或?qū)?18)兩邊乘以t,并用遞推公式(6)得到第三個(gè)守恒表達(dá)式2.1.2新守守定理的構(gòu)造NLT方程(15)有如下兩個(gè)對(duì)稱由(12)引入勢(shì)函數(shù)v,得到(15)的Lagrangian函數(shù)為L(zhǎng)=v[u下面,我們利用Ibragimov的新守恒定理(定理1),可以構(gòu)造(15)的如下守恒律:故借助公式(14)得到方程(15)的守恒律向量故由公式(14)得到方程(15)的守恒律向量由于v為任意函數(shù),我們構(gòu)造的上述兩個(gè)守恒律均為NLT方程(15)的無(wú)窮多守恒律,這對(duì)其線性化方面具有重要意義.2.2長(zhǎng)波方程的守固定規(guī)律我們?cè)倏紤]長(zhǎng)水波方程組其中u=u(x,t)和v=v(x,t)分別表示從液體平衡位置偏離的水平速度場(chǎng)及鉛直速度場(chǎng).2.2.1e鞣理算子的算子從方程組(20)可以直接看到其固有局部守恒律根據(jù)公式(5)和Euler算子,可以得到方程組(20)對(duì)應(yīng)的四組乘子(Λ(1)用Λ(2)用Λ(3)用Λ(4)用Λ自上述四組守恒律中(25)和(26)只是原方程組(20)中一個(gè)方程的守恒律.2.2.2方程20的堅(jiān)守律向量方程組(20)有如下四個(gè)對(duì)稱由公式(14),我們得到方程(20)的守恒律向量當(dāng)m當(dāng)m由公式(14),我們得到方程組(20)的守恒律向量當(dāng)m當(dāng)m當(dāng)m3新恒律方法在本文中,我們分別用遞推公式和新守恒定理構(gòu)造了非線性電報(bào)方程和長(zhǎng)水波方程組的守恒律.對(duì)遞推公式而言,給定方程具有散度結(jié)構(gòu)是構(gòu)造其守恒律的關(guān)鍵.若PDEs以散度形式出現(xiàn),那么把乘子函數(shù)推廣為任意具有自變量和因變量的函數(shù),即f=f(x,u),進(jìn)而可以用遞推公式構(gòu)造其守恒律.新守恒定理是微分方程及其共軛方程與對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)稱、Lagrangian函數(shù)、變分導(dǎo)數(shù)和守恒律之間構(gòu)建深層次關(guān)系的有效方法.在新守恒定理中,可以利用直接方法求出其共軛系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)解,進(jìn)而得到給定方程的局部守恒律.兩種方法雖然在構(gòu)造PDEs守恒律的機(jī)制上不同,但在引入乘子上具有共性,在構(gòu)造PDEs的守恒律方面各自發(fā)揮重要作用.由公式(12)構(gòu)造方程組(20)的Lagrangian函數(shù)其中m=m(t,x,u,v),n=n(t,x,u,v)是新引進(jìn)的勢(shì)函數(shù).再由Euler算子作用于(27)的兩邊,得到方程組(20)的共軛方程組解方程(28),得到其四組解下面,利用Ibragimov的新守恒定