三自由度系統(tǒng)周期運動neimark-sacker分岔現(xiàn)象的非線性分析

0非線性振動行為的理論研究隨著海洋產(chǎn)業(yè)的蓬勃發(fā)展，作為海洋勘探的主動力逐漸發(fā)展?，F(xiàn)在，發(fā)動機在運行過程中容易出現(xiàn)故障。幾年前，該船在海上航行過程中出現(xiàn)了多段葉片損壞，嚴(yán)重故障，造成重大損壞。在燃機用來發(fā)電的設(shè)備使用中,國內(nèi)外也出現(xiàn)了多起軸承損壞造成嚴(yán)重事故的情況。據(jù)統(tǒng)計軸承作為一個旋轉(zhuǎn)核心部件發(fā)生故障的概率占所有設(shè)備故障的30%,因此,本文針對這種情況,從最根本的軸承碰撞出發(fā),研究了軸承在運轉(zhuǎn)過程中出現(xiàn)的分岔混沌等非線性振動行為,為設(shè)備的軸承設(shè)計、健康管理和預(yù)測診斷提供重要的理論依據(jù)。而碰撞問題屬于強非線性、非光滑系統(tǒng)的一種,常用的線性化假設(shè)已經(jīng)不能滿足需要,必須考慮非線性、非光滑因素的的影響。在光滑的非線性領(lǐng)域已有了很多成熟的理論,Lyapunov、Bendix、Dulac和Birkoff等人討論的系統(tǒng)的穩(wěn)定性、極限環(huán)以及不變流形等問題,而Poincare、Andronov和Bogolubov等人的如小參數(shù)法、坐標(biāo)變形法、多尺度法、慢變參數(shù)法、KBM法、諧波平衡法、等效線性化方法等來逼近非線性系統(tǒng)的精確解目前非線性理論在各個領(lǐng)域有了突破和應(yīng)用。國外,Shaw和Holmes軸承作為旋轉(zhuǎn)機械最核心的關(guān)鍵部件之一,軸承本身輕微異常振動反應(yīng)在外圍的旋轉(zhuǎn)機械部件會有一個放大,尤其在高速旋轉(zhuǎn)的情況下,可能造成意想不到的后果,如燃機輪機等葉片的碰磨,振動破壞,機械設(shè)備的損壞,甚至造成人員的傷亡。軸承一旦發(fā)生破損等故障時會造成更嚴(yán)重的后果,因此本文針對軸承本身,建立軸承三自由度故障模型,研究軸承非光滑、非線性振動行為。1軸承單個滾動軸承建模模型根據(jù)軸承的滾動模型圖1(a)建立外圈存在故障的情況下軸承單個滾動體的簡化模型如圖1(b)所示。M內(nèi)圈轉(zhuǎn)動頻率為f為了描述該軸承系統(tǒng)的運動過程,引入一個分界面。首先定義邊界函數(shù),E=X表示物塊M其中,(4)式中2系統(tǒng)的floquet特征乘子將系統(tǒng)(3)和(4)寫為如下的規(guī)范式:下面來求分界面處的切換矩陣。因為我們研究的是系統(tǒng)(5)穿越了分界面的周期解,將切換矩陣(8)和(9)結(jié)合各子空間相應(yīng)的基解矩陣(13)和(14)經(jīng)過合成可得全局的單值矩陣:(16)式中,T=2nπ/ω于是系統(tǒng)的Floquet特征乘子即為單值矩陣(16)的特征值。對于系統(tǒng)(5)這樣的非光滑系統(tǒng),由于分界面是光滑的,系統(tǒng)的Floquet特征乘子是連續(xù)穿越單位圓周的。當(dāng)一對Floquet特征乘子的模等于1,其它特征乘子仍位于單位圓內(nèi)時,系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的周期解將發(fā)生Neimark-Sacker分岔。3基于故障系統(tǒng)的顯示,把系統(tǒng)選為了通過數(shù)值仿真進(jìn)一步揭示滾動軸承系統(tǒng)(3)和(4)的倍化分岔通向混沌的現(xiàn)象,在分界面Σ處取Poincare截面如下:其中:選取系統(tǒng)(3)和(4)的一組無量綱化參數(shù):當(dāng)ω由此可見軸承外圈故障系統(tǒng)在ω當(dāng)選取系統(tǒng)(3)和(4)的無量綱化參數(shù):當(dāng)ω由此可見軸承內(nèi)圈故障系統(tǒng)在ω同時選取系統(tǒng)(3)和(4)的無量綱化參數(shù),基本參數(shù)保持不變,當(dāng)ζ當(dāng)ω由此可見軸承內(nèi)圈故障系統(tǒng)在ω同時選取系統(tǒng)(3)和(4)的無量綱化參數(shù),基本參數(shù)保持不變,當(dāng)ζ4系統(tǒng)運動學(xué)方程本文針對軸承內(nèi)圈破損故障,建立了軸承三自由度分段非光滑模型,應(yīng)用F-loquet理論分析了該系統(tǒng)周期運動發(fā)生倍化分岔的條件。結(jié)果表明系統(tǒng)有1對Floquet特征乘子的模接近1,其余特征乘子的模小于1,系統(tǒng)發(fā)生了Neimark-Sacker分岔,數(shù)值仿真進(jìn)一步調(diào)查了系統(tǒng)由單周期經(jīng)過分岔點通向Neimark-Sacker分岔的過程;研究了當(dāng)外圈發(fā)生Neimark-Sacker分岔時對內(nèi)圈和滾動體的影響發(fā)生了類似Neimark-Sacker分岔行為;同時通過研究不同的阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔的影響,發(fā)現(xiàn)阻尼可以有效地延長系統(tǒng)的分岔點,減少系統(tǒng)的分岔混沌等非線性行為。根據(jù)上面的分析,可建立系統(tǒng)的運動學(xué)方程如下:其中,對原始方程(1