第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性第三章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.2.結(jié)合三角函數(shù),了解周期性的概念和幾何意義.會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性解決問題.3.能綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等解決相關(guān)問題.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有-x∈D,且

f(-x)=f(x)

,則稱y=f(x)為偶函數(shù)

f(-x)=-f(x)

,則稱y=f(x)為奇函數(shù)

圖象特征關(guān)于

y軸

對(duì)稱

關(guān)于

原點(diǎn)

對(duì)稱

微點(diǎn)撥1.函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,必為偶函數(shù);關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,必為奇函數(shù).互為充要條件.2.若f(x)≠0,則奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式如下:微思考

存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)嗎?唯一嗎?提示

存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù),但不唯一.如果函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),那么有f(x)=f(-x),而它又是奇函數(shù),那么f(x)=-f(-x),因此必有f(x)=-f(x),則f(x)=0,則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)值只能為零,但其解析式的微點(diǎn)撥

若T是函數(shù)f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期.2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)

非零常數(shù)

T,使得對(duì)定義域內(nèi)的

每一個(gè)x

,都滿足

f(x+T)=f(x)

,那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù),

非零常數(shù)

T稱為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它的所有周期中存在一個(gè)

最小的正數(shù)

,那么這個(gè)

最小的正數(shù)

就稱為f(x)的最小正周期.

并非所有周期函數(shù)都有最小正周期

常用結(jié)論1.關(guān)于函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義,那么一定有f(0)=0;如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(-x)=f(x)=f(|x|).(2)如果函數(shù)f(x)不是常數(shù)函數(shù),當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),它在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),它在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(3)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).(4)如果f(x)=g(x)+m(m為常數(shù))且g(x)為奇函數(shù),那么f(x)+f(-x)=2m.(5)如果奇函數(shù)f(x)存在最大值與最小值,那么它的最大值與最小值之和等于零.2.關(guān)于函數(shù)周期性的常用結(jié)論(a,b為非零常數(shù))(1)若f(x+a)=-f(x),則周期T=2a.(2)若f(x+a)=,則周期T=2a.(3)若f(x+a)=,則周期T=2a.(4)若f(x+a)=f(x+b),則周期T=|a-b|.(5)若函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸有直線x=a和x=b,那么周期T=2|a-b|.(6)若函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心有(a,0)和(b,0),那么周期T=2|a-b|.(7)若函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸有直線x=a,對(duì)稱中心有(b,0),那么周期T=4|a-b|.(8)若函數(shù)是周期為T的奇函數(shù),則f(T)=0.3.關(guān)于函數(shù)圖象對(duì)稱性的常用結(jié)論(1)若對(duì)于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.(2)若對(duì)于R上的任意x都有f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)或f(-x)=-f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.(3)若對(duì)于R上的任意x都有f(a+x)=f(b-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線

對(duì)稱.(4)若對(duì)于R上的任意x都有f(a+x)=-f(b-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.函數(shù)f(x)=x3(x≥0)是奇函數(shù).(

)2.若函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(x+3),則函數(shù)的周期為1.(

)3.若f(4+x)+f(4-x)=0,則函數(shù)y=f(4+x)是奇函數(shù).(

)××√題組二

雙基自測(cè)4.

已知函數(shù)f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為

.

答案

2解析

(方法1)由題意得f(1)=a+2,f(-1)=-a+6,因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(1)=f(-1),即a+2=-a+6,解得a=2.(方法2)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以a-2=0,解得a=2.5.

設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-5,5],若當(dāng)x∈[0,5]時(shí),f(x)的圖象如圖所示,則不等式f(x)<0的解集為

.

答案

(-2,0)∪(2,5]解析

由題圖可知,當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)>0;當(dāng)2<x≤5時(shí),f(x)<0,又f(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)-2<x<0時(shí),f(x)<0,當(dāng)-5≤x<-2時(shí),f(x)>0.綜上,f(x)<0的解集為(-2,0)∪(2,5].研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))考向1判斷函數(shù)的奇偶性例題判斷下列函數(shù)的奇偶性:(3)(方法1

定義法)當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)為奇函數(shù).(方法2

圖象法)作出函數(shù)f(x)的圖象,由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù).規(guī)律方法

判斷函數(shù)奇偶性的3種常用方法

定義法確定函數(shù)的奇偶性時(shí),必須先判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若對(duì)稱,再化簡(jiǎn)解析式后驗(yàn)證f(-x)=±f(x)或其等價(jià)形式f(-x)±f(x)=0是否成立圖象法

性質(zhì)法設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇[注意]分段函數(shù)奇偶性的判斷,要分別從x>0或x<0來尋找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有當(dāng)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上滿足相同關(guān)系時(shí),分段函數(shù)才具有確定的奇偶性.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2023·湖北黃岡高三模擬)已知f(x),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),則下列為奇函數(shù)的是(

)A.f(g(x)) B.g(f(x))C.f(f(x)) D.g(g(x))答案

C解析

由題知f(x),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),故滿足f(x)=-f(-x),g(x)=g(-x),對(duì)于A,f(g(-x))=f(g(x)),則f(g(x))為偶函數(shù);對(duì)于B,g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),則g(f(x))為偶函數(shù);對(duì)于C,f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),則f(f(x))為奇函數(shù);對(duì)于D,g(g(-x))=g(g(x)),則g(g(x))為偶函數(shù).考向2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(3)當(dāng)x>0時(shí),-x<0,∴f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2-1]=x2+1,又f(x)為R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,規(guī)律方法

與函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題及解題策略

求函數(shù)的值

利用奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解求函數(shù)解析式先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式求解析式中的參數(shù)值在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下,利用f(x)為奇函數(shù)?f(-x)=-f(x),f(x)為偶函數(shù)?f(x)=f(-x),列式求解,也可利用特殊值法求解.對(duì)于在x=0處有定義的奇函數(shù)f(x),可考慮列等式f(0)=0求解考點(diǎn)二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用例題(2022·山東濟(jì)寧一模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=-f(x),則f(2022)=(

)A.0 B.1 C.-1 D.2022答案

A解析

因?yàn)閒(x-2)=-f(x),令x取x+2,可得f(x)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期為4.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,所以f(2)=-f(0)=0,f(2

022)=f(505×4+2)=f(2)=0.規(guī)律方法

函數(shù)周期性的應(yīng)用技巧(1)熟記函數(shù)周期常見的幾種表達(dá)形式,能夠由已知條件準(zhǔn)確地推得函數(shù)的最小正周期;(2)熟練運(yùn)用結(jié)論“若T是函數(shù)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)的周期”,對(duì)自變量的值進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(3)注意通過“區(qū)間變換法”,結(jié)合函數(shù)的周期,由局部的解析式得到函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的解析式.A.-5 B.-4 C.-3 D.-2答案

D解析

當(dāng)x>0時(shí),f(x)=f(x-1)-f(x-2),所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+1)=-f(x-2),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)的周期為6,所以f(2

020)=f(6×336+4)=f(4)=-f(1)=-f(0)+f(-1)=-1,f(2

021)=f(6×336+5)=f(5)=f(4)-f(3)=f(3)-f(2)-f(3)=-f(2)=f(0)-f(1)=f(-1)-f(0)=f(-1)=-1,故f(2

020)+f(2

021)=-2.考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))考向1奇偶性與單調(diào)性綜合題組(1)(2022·廣東茂名二模)已知f(x)=x-sinx,則不等式f(2m+1)+f(1-m)>0的解集為(

)A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.(0,+∞) D.(-∞,0)(2)(2022·山東濟(jì)寧三模)若函數(shù)f(x+2)為偶函數(shù),對(duì)任意的x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,則(

)答案

(1)B

(2)A解析

(1)由題意知f(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=-x+sin

x=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).又f'(x)=1-cos

x≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.由f(2m+1)+f(1-m)>0且f(x)為奇函數(shù),得f(2m+1)>f(m-1),即2m+1>m-1,解得m>-2.考向2奇偶性與周期性綜合

(2)(多選)(2022·河北邯鄲二模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若f(x+4)=f(x)且f(1)=2,則f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*)的值可能為(

)A.-2 B.0 C.2 D.4答案

(1)D

(2)BC解析

(1)∵f(x+1)是奇函數(shù),∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函數(shù),∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函數(shù)f(x)的周期為4,∴f(3)=f(-1)=f(1)=0.∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),∴f(0)=-f(2).∵當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b,∴由f(1)=0得a+b=0.∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6.即4a+b=-6,∴a=-2,b=2,(2)由題設(shè),f(x)是周期為4的奇函數(shù),且f(1)=2,則f(-2)=f(-2+4)=f(2)=-f(2),即f(2)=0,f(-1)=f(-1+4)=f(3)=-f(1)=-2,f(0)=f(0+4)=f(4)=0,所以f(1)=f(1)+f(2)=2,f(1)+f(2)+f(3)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+…+f(n)=0或f(1)+f(2)+…+f(n)=2.故選BC.考向3對(duì)稱性與周期性的綜合例題(2022·全國乙,理12)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,g(2)=4,則A.-21 B.-22 C.-23 D.-24答案

D解析

由g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,可知g(x)=g(4-x).∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5.又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x).∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7.又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x).∴f(x)的周期為4.當(dāng)x=0時(shí),f(0)+g(2)=5,∴f(0)=5-g(2)=1,∴f(4)=f(0)=1.當(dāng)x=2時(shí),g(2)-f(-2)=7,∴f(-2)=g(2)-7=-3,∴f(2)=f(-2)=-3.當(dāng)x=1時(shí),f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1,∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.考向4函數(shù)多種性質(zhì)的綜合應(yīng)用例題(多選)(2022·山東淄博三模)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x),滿足f(x)+f(2-x)=2,則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱B.f(x+4)=f(x)C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,則f(x)在區(qū)間[2021,2022]上單調(diào)遞增D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上的解析式為f(x)=lnx+1,則f(x)在區(qū)間(2,3)上的解析式為f(x)=ln(x-1)+1答案

BC解析

對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)閒(x)+f(2-x)=2,則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)閒(x)+f(2-x)=2且函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(x+2)+f(x)=2,所以f(x+2)=f(x-2),所以對(duì)任意的x∈R,f(x+4)=f(x),故B正確;對(duì)于C選項(xiàng),函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱,則f(x)在區(qū)間[1,2]上也是單調(diào)遞增的,又f(x+4)=f(x),則f(x)在區(qū)間[2

021,2

022]上單調(diào)遞增,故C正確;對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)x∈(2,3)時(shí),x-2∈(0,1),所以f(x)=2-f(2-x)=2-f(x-2)=2-[ln(x-2)+1]=1-ln(x-2),故D錯(cuò)誤.故選BC.規(guī)律方法1.對(duì)于函數(shù)性質(zhì)綜合的題目,函數(shù)的周期性有時(shí)需要通過函數(shù)的奇偶性得到,函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱關(guān)系,而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.因此在解題時(shí),往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性,即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換,再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.2.周期函數(shù)的圖象具有周期性,如果發(fā)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)的圖象具有兩個(gè)對(duì)稱性(注意:對(duì)稱中心在平行于x軸的直線上,對(duì)稱軸平行于y軸),那么這個(gè)函數(shù)一定具有周期性.3.利用函數(shù)的性質(zhì)解抽象不等式或比較大小時(shí),根據(jù)函數(shù)的奇偶性,將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)函數(shù)值前面有“-”時(shí),可通過函數(shù)是奇函數(shù)將“-”移到括號(hào)內(nèi);如果函數(shù)是偶函數(shù),可根據(jù)f(-x)=f(x)=f(|x|)將函數(shù)值都化為自變量為正值的形式.根據(jù)單調(diào)性,將“f”號(hào)去掉,得到具體的不等式,即可解不等式或比較大小.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2022·湖南長(zhǎng)沙一中模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=3x-1,則f(log34)=(

)(2)(多選)(2022·江蘇鹽城三模)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),g(x)=f(x+1)為偶函數(shù),下列說法正確的有(

)A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱 B.g(2023)=0C.g(x)的最小正周期為4 D