時,有一、無窮小運算法則定理1.

有限個無窮小的和還是無窮小.證:

考慮兩個無窮小的和.設(shè)當(dāng)時,有當(dāng)時,有取則當(dāng)因此這說明當(dāng)時,為無窮小量.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共26頁時,有一、無窮小運算法則定理1.有限個無窮小的和還是無1說明:

無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可證:有限個無窮小之和仍為無窮小.第2頁/共26頁說明:無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，機(jī)動目2定理2.

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時,有取則當(dāng)時,就有故即是時的無窮小.推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.

有限個無窮小的乘積是無窮小.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共26頁定理2.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證:設(shè)又設(shè)3例1.求解:

由定理2可知說明:

y=0是的漸近線.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共26頁例1.求解:由定理2可知說明:y=0是的漸4二、極限的四則運算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理3.

若機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共26頁二、極限的四則運算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于5推論:

若且則利用保號性定理證明.說明:

定理3可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形.提示:

令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共26頁推論:若且則利用保號性定理證明.說明:定理3可推廣6定理4

.若則有提示:

利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說明:

定理4可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例2.

設(shè)

n次多項式試證證:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共26頁定理4.若則有提示:利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定7為無窮小(詳見P44)定理5.

若且B≠0,則有證:

因有其中設(shè)因此由極限與無窮小關(guān)系定理,得為無窮小,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共26頁為無窮小(詳見P44)定理5.若且B≠0,則有證8定理6

.

若則有提示:

因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共26頁定理6.若則有提示:因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故此9例3.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項式,試證:證:說明:

若不能直接用商的運算法則.例4.

若機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共26頁例3.設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項式,試證:證:說明:10例5.

求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共26頁例5.求解:x=1時分母=0,分子≠011例6

.

求解:時,分子分子分母同除以則分母原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共26頁例6.求解:時,分子分子分母同除以則分母原式機(jī)動12一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共26頁一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))機(jī)動目錄上頁13三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理7.

設(shè)且

x滿足時,又則有證:

當(dāng)時,有當(dāng)時,有對上述取則當(dāng)時故①因此①式成立.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共26頁三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理7.設(shè)且x滿足時,又14定理7.

設(shè)且x

滿足時,又則有

說明:若定理中則類似可得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共26頁定理7.設(shè)且x滿足時,又則有說明:若定理中則類似15例7.求解:

令已知∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共26頁例7.求解:令已知∴原式=機(jī)動目錄上16例8.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共26頁例8.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回17內(nèi)容小結(jié)1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限四則運算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件！2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共26頁內(nèi)容小結(jié)1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限18思考題第19頁/共26頁思考題第19頁/共26頁19思考題解答不能保證.例有第20頁/共26頁思考題解答不能保證.例有第20頁/共26頁20一、填空題:練習(xí)題第21頁/共26頁一、填空題:練習(xí)題第21頁/共26頁21二、求下列各極限:第22頁/共26頁二、求下列各