第七單元立體幾何與空間向量

第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積及體積

第一課時(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積及體積

⑥目標(biāo)任務(wù)

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)2.空間幾何體的表面積

實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)抽象

2.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形數(shù)學(xué)運(yùn)算

的直觀圖.3.空間幾何體的體積直觀想象

3.了解球、棱柱、棱錐、臺體的表面積

和體積的計(jì)算公式

為困固硼知識必記課前預(yù)案

知識必i己;夯基礎(chǔ)構(gòu)體系

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

「側(cè)棱都__________

［上、下底面是一的

多邊形,并且相互平行

「底面是任意多邊形

［多面體卜保福

-側(cè)面是有一個的三角形

「由的平面

,、截棱錐得到的底面

與截面之間的部分

1■上、下底面是的多邊形

［注意］常見的幾種四棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其之間的關(guān)系

底面?zhèn)壤?/p>

是平平行六垂直

面體

四

棱

柱

等

邊形

｛平行六面體｝n｛直平行六面體｝n｛長方體｝n｛正四棱柱｝=>｛正方體｝

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

旋轉(zhuǎn)體

［注意］臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必

交于一點(diǎn).

3.直觀圖

斜二測畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中f軸、y軸的夾角

為,z'軸與v軸和y軸所在平面.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍,平行于x軸和z軸的線

段在直觀圖中保持原長度,平行于y軸的線段在直觀圖中長度為

［提醒］斜二測畫法中的“三變”與“三不變”

“三變”：①坐標(biāo)軸的夾角改變；②與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

③圖形改變.

“三不變”：①平行性不變；②與無軸，z軸平行的線段長度不變；③相對位置

不改變.

4.多面體的表面積、側(cè)面積

因?yàn)槎嗝骟w的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和,

表面積是側(cè)面積與底面面積之和.

5.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

/、八

2

側(cè)面展A7A27rq；

開圖U..J

側(cè)面積

S四柱側(cè)=_________S囿錐像1=____S圓臺倒=___________________

公式

［探究］如何求旋轉(zhuǎn)體的表面積？

提示：求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)需要將曲面展開為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積

與底面積之和.

6.柱、錐、臺、球的表面積和體積

名稱

幾何弟表面積體積

柱體（棱柱和圓

S表面枳=S儲+2S底v=____

柱）

錐體（棱錐和圓

V=^Sh

S表面積=S倒+S底

錐）

臺體（棱臺和圓

V=；（S上+5下+如"”

S衷面積=s他+s上+S下

臺）

球s=____

［探究］柱體、錐體、臺體體積之間有什么關(guān)系？

提示：

必記答案：1.平行且相等全等公共頂點(diǎn)平行于底面相似

3.45°或135°垂直平行于坐標(biāo)軸不變原來的一半

5.2nrlnrlTi(n+n)l

6.Sh4兀R2

拓展鏈接.....拓知能聯(lián)高考

1.［知識外延］概念模糊的幾何體結(jié)構(gòu)特征辨析

（1）“有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體”未必是棱柱，如

圖1.

（2）“有一個面是多邊形，其他面都是三角形的幾何體”不一定為棱錐.如圖2.

⑶棱臺是由棱錐用平行于底面的平面截得的，不是用任意的截面去截，如圖3；

“有兩個面平行，其余各面都是梯形的幾何體”不一定是棱臺，圖4就不是棱臺.

2.［學(xué)科融合］多面體歐拉定理與化學(xué)物質(zhì)分子結(jié)構(gòu)的融合

【例】多面體歐拉定理是指對于簡單多面體，其各維對象數(shù)總滿足一定的數(shù)量關(guān)

系，在三維空間中，多面體歐拉定理可表示為V（頂點(diǎn)數(shù)）+F（表面數(shù)）一E（棱長數(shù)）

=2.在數(shù)學(xué)上，富勒烯的結(jié)構(gòu)都是以正五邊形和正六邊形面組成的凸多面體，例

如富勒烯C6o（結(jié)構(gòu)圖如圖）是單純用碳原子組成的穩(wěn)定分子，具有60個頂點(diǎn)和32

個面，其中12個面為正五邊形，20個面為正六邊形.除C”）外，具有封閉籠狀

結(jié)構(gòu)的富勒烯還可能有C28,C32,C50,C70,C84,C240,C540等，則C84結(jié)構(gòu)含有

正六邊形的個數(shù)為.

解答：設(shè)分子中形狀為正五邊形和正六邊形的面各有X個和y個,

V=84,F=x+y,E=3X84+2.

由歐拉公式V+F—E=2,可得84+x+y—3X84+2=2,即x+y=44.

又由多邊形的邊數(shù)可表示C84的棱數(shù)，

即(5x+6y)+2=3X84+2,即5x+6y=252,

x+y=44,X—12,

由“,解得

、5x+6y=252,)=32.

故C84結(jié)構(gòu)含有正六邊形的個數(shù)為32.

3.［學(xué)以致用］祖唯原理及應(yīng)用

我國南北朝時(shí)期的祖咂原理：“基勢既同，則積不容異”.其作用是利用其求等

底等高的不規(guī)則幾何體的體積.

【例】如圖，曲線y=*（OWyWL）和直線y=L圍成的封閉圖形繞），軸旋轉(zhuǎn)一周得

幾何體Z,將Z放在與y軸垂直的水平面a上，用平行于平面a,且與Z的頂點(diǎn)

0距離為I的平面截幾何體Z,得截面圓的面積為兀（的2=兀/.由此構(gòu)造右邊的幾何

體Z1（三棱柱A8C-A1BG）,其中ACJ_平面a,平面BBGC〃a,平面EaQ〃a,

4。=匕44］5,44|=無,2|與2在等高處的截面面積都相等，圖中成尸。和BB\C\C

為矩形，且「。=兀，F(xiàn)P=l,則幾何體Zi的體積為.

解答：由題知，在高為L處，幾何體Z和Zi的水平截面面積相等，為兀L,所以S

矩形BBiCiC=nL,所以BC=L,則V三棱柱ABC-AI8CI=S“BC?兀=；兀尸.

對點(diǎn)訓(xùn)練;.............練基礎(chǔ)固知識

1.［易錯診斷］一個棱柱是正四棱柱的條件是（）

A.底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形

B.底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面

C.底面是菱形，且這個菱形在一個頂點(diǎn)處的兩條邊互相垂直

D.上、下底面都是正方形，各個側(cè)面都是全等的矩形

答案：D

解析：棱柱是正四棱柱，則底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面.故選D.

【易錯點(diǎn)撥】混淆四棱柱的概念致誤.

2.［教材改編］如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個棱錐，則

該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為.

答案：1:47

解析：設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a,b,c,它截出棱錐的體積為Vi=1x|x

XX=±abc,剩下的幾何體的體積兒一七灑c=4zbc,所以%：%

=1：47.

3.［模擬演練］（2022.河南省質(zhì)量考評）在古代，正四棱臺也叫“方亭”，豎著切去

“方亭”兩個邊角塊，把它們合在一起是“芻薨”，圖1是上底為。，下底為b

的一個“方亭”，圖2是由圖1中的“方亭”得到的“芻蔑”，已知“方亭”的

體積為%，“芻薨”的體積為上，若彳=嚀」（約等于0.618,被稱為黃金分割比

例，且嚀」恰好是方程/+工-1=0的一個實(shí)根，臺體的體積公式為V=*（S+

A■

?

C

二

答案：D

解析：設(shè)“方亭”的高為〃，則0=加2+定+"）,

-,1T/yh(2Z72——Q2—

=c1b—a102c1V20

V2V\~屋〃一2(5X——XhXa)=yh(2b—a—ab),/.TT=---------------------

1jhCa2+ab+b2)

2-吟)2-f

X-----------.

*)2+f+l

設(shè)m=*=^2I則nr+m—1=0,即m2+m=1,

.H-J.2—O+/w)i2~11

**Vi2*z??24-/?z+12^1+14'故選D.

4.［真題體驗(yàn)］（2021.新高考全國I卷）已知圓錐的底面半徑為啦，其側(cè)面展開圖為

一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2啦C.4D.4啦

答案：B

解析：設(shè)圓錐的母線長為I,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則71/=271

X啦，解得/=26.故選B.

-：??國力□EU.........「核心突破課堂學(xué)案

特訓(xùn)點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【多維考向類】

方法教練J..................研典例導(dǎo)解法

考向1基本立體圖形的特征

典例1下列命題正確的是（）

A.兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

B.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

C.直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所

圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺

D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓面和矩形面

答案：C

解析：如圖所示，可排除A、B選項(xiàng).對于D選項(xiàng)，只有截面與圓柱的母線平行

或垂直，截得的截面才為矩形面或圓面，否則截面為橢圓面或橢圓面的一部分，

故選C.

點(diǎn)撥麗

辨別空間幾何體的2種方法

緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型

定義法

中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進(jìn)行判定

通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說明一個結(jié)論是錯誤的，只需舉

反例法

出一個反例即可

考向2直觀圖

典例2如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法）是一個底角為

45°,腰和上底長均為2的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是（）

A.2+^2

C.4+2也

答案：D

解析：由已知得直觀圖，根據(jù)斜二測畫法規(guī)則畫出原平面圖形，如圖所示，所以

,故選D.

點(diǎn)撥麗

1.畫幾何體的直觀圖時(shí)一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”（兩坐標(biāo)軸成

45°或135°）和“二測”（平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段

長度不變）來掌握.

2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系為

考向3立體圖形展開圖

典例3（1）如圖，正三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱長為a,底面邊長為〃，一只螞蟻

從點(diǎn)A出發(fā)沿每個側(cè)面爬到4,路線為A-M-N-Ai,則螞蟻爬行的最短路程

是（）

A.、屋+9從B.、%?+82

C~4a2+9左D.^p+P

答案：A

解析：將正三棱柱的側(cè)面展開成如圖所示的矩形，矩形的長為3仇寬為a,則其

對角線A4i的長為最短路程.因此螞蟻爬行的最短路程為二次+9扶.故選A.

⑵已知圓錐的側(cè)面積（單位：cn?）為2兀，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個

圓錐的底面半徑（單位：cm）是.

答案：1

解析：法一：設(shè)該圓錐的母線長為I,因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，其面

積為2兀，所以^^=271,解得/=2,所以該半圓的弧長為2兀.設(shè)該圓錐的底面半徑

為R,則2兀7?=2兀，解得R=l.

法二：設(shè)該圓錐的底面半徑為R,則該圓錐側(cè)面展開圖中的圓弧的弧長為2兀尺側(cè)

面展開圖是一個半圓，

設(shè)該半圓的半徑為r,則nr=2itR,即r=2R,所以側(cè)面展開圖的面積為g?2R?2兀R

=2TIR2=2兀,解得R=1.

點(diǎn)撥技巧

多面體展開圖問題的解題策略

（1）繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖時(shí)要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間

想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上

字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖.

（2）由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面

體展開的，則可把上述過程逆推.同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，

也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖.

特訓(xùn)點(diǎn)2空間幾何體的表面積【自主沖關(guān)類】

［題組?沖關(guān)］

1.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。，。2,過直線。1。2的平面截該圓柱所

得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12表無B.1271

C.86兀D.10兀

答案：B

解析：設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x,則由爐=8,得x=2/，砌表=25底+S

倒=2X7iX（艱P+2兀X/X2啦=12兀.故選B.

2.（2020.全國I卷）已知A,B,C為球O的球面上的三個點(diǎn)，。。為△ABC的外

接圓，若。。1的面積為4兀，AB=BC=AC=OO\,則球。的表面積為（）

A.64TIB.48JI

C.36兀D.32兀

答案：A

解析：如圖，設(shè)圓。的半徑為r,球的半徑為此正三角形ABC的邊長為a

在Rt^OOiA中，由勾股定理得

/?2=r+OOi=224-（2小）2=16,

所以5冰=4兀/?2=4兀X16=64兀故選A.

3.如圖，設(shè)正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高S0=3,則

此正三棱錐的表面積為.

答案：27小

解析：如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為a,斜高為〃，過點(diǎn)。作OE_LA8,與A8

交于點(diǎn)E,連接SE,則SELAB,SE=h'.

■:S例=2S底,

；.g?3a,h'=坐次X2,

'：SO±OE,：.SO2+OE2=SE2,

.,.32+(^XA/3/?/)2=游,

：.h'=2小，：.a=yf3h/=6.

??S底=4/=4X62=9y/3,S例=2S懇=18

...S?=S^+SA=9小+18小=27小.

4.（2021.全國甲卷）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30兀，則該圓錐的側(cè)

面積為.

答案：3971

解析：設(shè)圓錐的高為〃，

1,

V=T7t6-,〃=30兀,

5

=-圓錐的母線長，=、〃2+/(1)24-62=^,.*.S=^r/=7tX6X^-

牙w

［錦囊?妙法］

求解幾何體表面積的類型及求法

求多面體的表只需將它們沿著棱“剪開”，展成平面圖形，利用求平面圖形面

面積積的方法求多面體的表面積

可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面

求旋轉(zhuǎn)體的表

積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊

面積

長關(guān)系

通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些

求不規(guī)則幾何

基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所

體的表面積

給幾何體的表面積

特訓(xùn)點(diǎn)3空間幾何體的體積【師生共研類】

方法教練j................研典例導(dǎo)解法

典例4(1)(2022.江蘇南通聯(lián)考)己知正三棱柱ABC-AiBCi的各棱長均為2,點(diǎn)。

在棱A4i上，則三棱錐D-BBiCi的體積為

2s

答案:3

解析：如圖，取3c中點(diǎn)。，連接AO.,：正三棱柱ABCA由1G的各棱長均為2,

：.AC=2,OC=1,則40=小.

平面BCC\B\,.?.點(diǎn)D到平面BCCiBi的距離為小.

又=2X2義2=2,VTXBBIG=gX2~

（2）如圖，在直角梯形ABC。中，AD=AB=4,BC=2,沿中位線EF折起，使得

NAEB為直角，連接AB,CD,則所得的幾何體的體積為.

答案：6

解析：法一（分割法）：如圖，過點(diǎn)。作CM平行于AB,交A。于點(diǎn)M,作CN平

行于3E,交EF于點(diǎn)N,連接MN.由題意可知四邊形A3CM,BENC都是矩形，

AM=DM=2,CN=2,FN=1,AB=CM=2也,所以SMEB=；X2X2=2,因

為截面CMN把這個幾何體分割為直三棱柱ABE-MCN和四棱錐C-MNFD,又因

為直三棱柱ABE-MCN的體積為VI=5AAB￡哂M=；X2X2X2=4,四棱錐C-MNFD

的體積為V2=^S^SMNFD-BE=|x|x（l4-2）X2X2=2,所以所求幾何體的體積

為VI+V2=6.

R

法二（分割法）：

如圖，連接AC,EC,則幾何體被分割為四棱錐C-AOFE和三棱錐C-ABE,因?yàn)?/p>

13+414114

Vc.ADFE=^X（9X2）X2=7^-,Vc.ABE=ox（TX2X2）X2=T,所以幾何體的體積

、144

為VCADFE^-VC.ABE=^~+2=6.

法三(補(bǔ)形法)：

如圖，延長3C至點(diǎn)M,使得CM=2,延長EF至點(diǎn)N,使得FN=1,連接OM,

MN,DN,得到直三棱柱ABE-DMN,所以幾何體的體積等于直三棱柱A3E-OMN

的體積減去四棱錐D-CMNF的體積.

因?yàn)閂ABE.D,W/V=(|X2X2)X4=8,

11+2

VD.CMNF=QX(-y-X2)義2=2,

所以幾何體的體積為VABE.DMN-VD.CMNF=8—2=6.

(3)(2020.新高考全國H卷)在棱長為2的正方體A3CD-A13C1D1中，M,N分別為

棱BBi,AB的中點(diǎn)，則三棱錐4-DMN的體積為.

答案：1

解析：如圖，由正方體的棱長為2,

得SAA,W=2X2-2X|X2X1-|X1X1=|,

又易知DiAi為三棱錐。i-AiMN的高，且DiAi=2,

1i3

以普即=%八MV=不??口41=可義2><

2=1.

規(guī)律

1.處理體積問題的思路

，轉(zhuǎn)換底面與高,將原來不容易求面積的底面

轉(zhuǎn)T轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面,或?qū)⒃瓉聿蝗菀?/p>

:看出的高轉(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高

:將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個簡單的幾

拆口何體,便于計(jì)算

U：將小幾何體嵌入一個大幾何體中,如有時(shí)將

!!一個三棱錐復(fù)原成一個三棱柱或?qū)⒁粋€三

拼

n棱柱復(fù)原成一個四棱柱,還臺為錐,這些都

：是拼補(bǔ)的方法

2.求空間幾何體體積的常用方法

公式法對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進(jìn)行求解

把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進(jìn)行體積計(jì)算：或者

割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟

悉的幾何體，便于計(jì)算其體積

一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的.如果一個幾何

體的底面面積和高較難求解，我們可以采用等體積法進(jìn)行求

等體積法解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的

底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，

特別是三棱錐的體積

’能力專練〕

■.....................練能力學(xué)方法

JI

1.在梯形A3CO中，ZABC=-Y，AD//BC,BC=2AO=2AB=2.將梯形ABC。

繞AO所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）

2兀4兀

A.丁B—

5n

C.-^-D.2兀

答案：C

解析：如圖所示，過點(diǎn)。作8C的垂線，垂足為”.則由旋轉(zhuǎn)體的定義可知，該梯

形繞AO所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體為一個圓柱挖去一個

圓錐，其中圓柱的底面半徑R=AB=1,高h(yuǎn)i=2HC=BC=2,其體積口=兀/?2加

=7rX12X2=2JI：圓錐的底面半徑r=￡）H=1,高〃2="C=1,其體積丫2=3兀戶〃2

=1TIX12X1.故所求幾何體的體積為V=Vi—%=2兀-3=°/.

2.如圖，在多面體ABC。"中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△A￡>￡

△BCF均為正三角形,EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為.

答案:羋

解析：如圖,

過8C作與跖垂直的截面8CG,作平面AOM〃平面BCG,取BC的中點(diǎn)0,連

接GO,F0,由題意可得/0=坐，F(xiàn)G=1,所以GO=y)FO2-FG2=坐,

所以S&BCG=1義1Vi=VBCG-ADM=S^BCG*AB=^^~,V2=2VF-BCG=2X

3S&BCG,GF=2X^X乎所以V=Vi+V2=^.

JJIXJ

訓(xùn)訓(xùn)練分層鞏固提升

A級（基礎(chǔ)應(yīng)用練）

1.（2022.太原市模擬）如圖所示的是水平放置的某個三角形的直觀圖，D1是

△A8C中9c邊的中點(diǎn)且A'D'//y'軸，A，B',A'D',A'C三條線段

對應(yīng)原圖形中的線段AB,AD,AC,那么（）

A'

A.最長的是Ag最短的是AC

B.最長的是AC,最短的是AB

C.最長的是AB,最短的是AD

D.最長的是A。，最短的是AC

答案：C

解析：由題中的直觀圖可知，D'zy軸，B'C〃x'軸，根據(jù)斜二測畫法

的規(guī)則可知，在原圖形中\(zhòng)D/7y軸，BC〃x軸，又因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，所以△ABC

為等腰三角形，且AO為底邊上的高，則有AB=AC>AO成立.

2.（2020.全國I卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一

個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形

的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

A嚀1B亭

r^l±lD與

。4

答案：C

解析：設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為出高為/?,

側(cè)面三角形底邊上的高（斜高）為h',

則由已知得層=）〃.

如圖，設(shè)。為正四棱錐S-ABCO底面的中心，E為的中點(diǎn),

則在RtaSOE中，h'2=序+（務(wù)2,

/.h'2=^ah'+；/

h'\hr1

???E—5?工—L

解得￡=呼］（負(fù)值舍去）?

3.（2022.梧州市調(diào)研）在我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個問題：“今

有木長二丈四尺，圍之五尺.葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”

意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞

圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？"（注：1丈等于10尺）,

則這個問題中，葛藤長的最小值為（）

A.2丈4尺B.2丈5尺

C.2丈6尺D.2丈8尺

答案：C

解析：由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊（即圓木的高）長24尺，另

一條直角邊長5X2=10（尺），因此葛藤長的最小值為耳242+102=26（尺）,即為2

丈6尺.故選C.

4.（2022.山東省濰坊聯(lián)考）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:

在下雨時(shí)，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直

徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則該處的平均降雨量（盆中積

水體積與盆口面積之比）為（臺體體積公式：V廿體=；（Si+小瓦+S2）〃，5i,當(dāng)分別

為上、下底面面積，力為臺體的高，一尺等于10寸）（

答案：A

解析：由題意可得，池盆盆口的半徑為14寸，盆底半徑為6寸，盆高為18寸，

因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為:X（14+6）=10寸，則盆中水的體積為（62

+1。2+6*10）X9=588兀（立方寸）,

故該處的平均降雨量為；?：2=3（寸）,故選A.

5.（2022?北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)期中）如圖，一豎立在水平地面上的圓錐形

物體的母線長為4m,底面半徑為1m,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā),

繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)尸處，則該小蟲爬行的最短路程為（）

A.4啦mB.4m

C.2小mD.2m

答案：A

解析：該圓錐的側(cè)面由P點(diǎn)展開，如下圖所示,

繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則該小蟲爬行的最短路程為PP',

：.該扇形的圓心角為a=誓=/,

：.PP'=ylOP'2+OP2

=4也，

故選A.

6.給出下列命題，其中所有正確的序號是.

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等；

④棱柱的側(cè)棱長都相等.

答案：④

解析：①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②不一定，當(dāng)以斜

邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖

所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是

對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.

7.（2021?全國統(tǒng)一考試模擬演練）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球

面上，其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺的體積為.

答案：61兀

解析：截面圖如圖所示，

因?yàn)閳A臺下底面半徑為5,球的直徑為10,則圓臺的下底面為過球心的截面，OC

=08=5,O'C=4,NOOC=/,則圓臺的高為3,V=；//（Si+小瓦+S2）=25無

+20兀+16兀=61兀.

B級（綜合創(chuàng)新練）

8.（多選題）如圖，在直三棱柱ABC-AiBiC｝中，44i=2,AB=BC=1,ZABC=

90°,側(cè)面AAiCC的中心為。，點(diǎn)E是側(cè)棱83上的一個動點(diǎn)，下列判斷正確

的是()

A.直三棱柱的側(cè)面積是4+2啦

B.直三棱柱的體積是中

C.三棱錐E-AAi。的體積為定值

D.AE+EC｝的最小值為2也

答案：ACD

解析：在直三棱柱ABC-AiBi。中，A4i=2,AB=BC=\,ZABC=90°,

底面ABC和AiBG是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1X2X2

+112+12*2=4+2版故A正確；

直三棱柱的體積為V=S?ABC?AAi=1x1X1X2=1,故B不正確；

由于平面AAiGC,且點(diǎn)E是側(cè)棱88上的一個動點(diǎn)，所以三棱錐E-A4。

的高為定值坐，

[■，故C正確；

0

設(shè)2],則81￡=2—x,

在RtAAB￡和RtAEBiCi中，AE+EC\=^l+x2+^l+(2-x)2.

由其幾何意義，即平面內(nèi)動點(diǎn)(x,1)與兩定點(diǎn)(0,0),(2,0)距離和的最小值，以

及對稱可知，當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，其最小值為也+6=26，故D正確.

故選ACD.

9.（多選題）（2022.壽光市高三模擬）沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個形狀完

全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙

通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個沙時(shí).如圖，某

沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部在上部時(shí)，

其高度為圓錐高度的京細(xì)管長度忽略不計(jì)）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02cn?的沙,

且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論正

確的是（）

B.沙漏的體積是12871cm3

C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm

D.該沙漏的一個沙時(shí)大約是1985秒（冗心3.14）

答案：ACD

解析：對于A,根據(jù)圓錐的截面圖可知，細(xì)沙在上部時(shí)，細(xì)沙的底面半徑與圓錐

OQ

的底面半徑之比等于細(xì)沙的高與圓錐的高之比，所以細(xì)沙的底面半徑r=§X4=g

“人，1。2〃164nl61024n“

（cm）,所以體積V=o,Ttr2??二-,~r=--（cm37）,故A正確：

JJJy3o1

對于B,沙漏的體積V=2x1x7iX（^）2X/?=2x1x7iX42X8=^|^7t（cm3）,故B

錯誤；

對于C,設(shè)細(xì)沙流入下部后的高度為歷，根據(jù)細(xì)沙體積不變可知，1°：："=；XTI（3）2

71024n16n,

X/?i,所以一—=-7-/2i,所以如七2.4cm,故C正確；

01J

1024n

對于D,因?yàn)榧?xì)沙的體積為cm3,沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙所以一

81

1024n

人,811024X3.14少,左

個沙時(shí)為=----指----X5071985（秒），故D正確.

U.UZ01

故選ACD.

10.（2019?全國III卷）學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，

該模型為長方體ABCO-AIBIGDI挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體.其中。

為長方體的中心，E,RG,H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,AAi=4cm.3D

打印所用原料密度為0.9g/cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為

g-

答案：118.8

解析：由題知，挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分另U為6cm和4cm,

故V挖去的四枝雄=1x^X4X6X3=12（cm3）.

又V長方體=6X6X4=144（cn?）,所以模型的體積為V卡方住一V花去的,梭維=144-12=

132（cm3）,所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132X0.9=118.8（g）.

11.（2022?上海市浦東新區(qū)模擬）如圖①所示，已知正方體的面對角線長為a,沿

陰影面將正方體切割成兩塊，拼成如圖②所示的幾何體，那么此幾何體的表面積

為?

答案：（2+g）次

解析：由已知得正方體的棱長為爭，則正方體的表面積為3a2,新幾何體的表面

積比原來多了兩個陰影部分的面積，少了正方體兩個面的面積，故所求幾何體的

表面積為3a2+2X坐標(biāo)―2X$2=Q+也）屋.

12.（2019?全國n卷）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信

的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是

“半正多面體”（圖①）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面

體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖②是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的

所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1,則該半正多面體

共有個面，其棱長為.

②

答案：26y[2-1

解析：先求面數(shù)有如下兩種方法.

法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個面，中間

部分有8個面，下部分有9個面，共有2X9+8=26（個）面.

法二：一般地，對于凸多面體，

頂點(diǎn)數(shù)（V）+面數(shù)（加一棱數(shù)（⑤=2（歐拉公式）.

由題圖知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24.

故由V+F~E=2,得面數(shù)尸=2+E—V=2+48-24=26.

再求棱長.

作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形上的正八

邊形ABCDEFGH,如圖，設(shè)其邊長為x,則正八邊形的邊長即為棱長.

E

連接AR過乩G分別作GN1AF,垂足分別為M,N,則

=NG=NF=2X-又AM+MN+NF=1,.,.坐Y+X+坐r=1,

：.x=yl2-l,即半正多面體的棱長為啦一1.

第二課時(shí)空間幾何體的截面、切與接問題

⑥目標(biāo)任務(wù)

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1.能結(jié)合具體實(shí)例，感知空間幾1.空間幾何體的截面問

何體的截面并運(yùn)算.題

2.能根據(jù)具體情境理解球的切2.與球有關(guān)的切、接問題直觀想象

接問題，并解決與球有關(guān)的切、數(shù)學(xué)運(yùn)算

接組合體的表面積和體積問題.3.立體幾何中的最值問邏輯推理

3.能根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征解題

決立體幾何中的最值問題

(BIEI踢醴ED….......「知識必記課前預(yù)案

知識必記......夯基礎(chǔ)構(gòu)體系

1.空間幾何體中的截面問題

截面是指用一個平面去截一個幾何體(包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐等等)得

到的平面圖形；截面方式有三種：橫截、豎截、斜截.

(1)正六面體的基本斜截面

矩形任意五邊形任意六邊形正六邊形

(7)(8)(9)(10)

橫截豎截斜截

正六面體正方形正方形/矩形如上圖所示

說明：正六面體的斜截面是不會出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、

直角梯形、正五邊形.

(2)圓柱體的基本截面

(3)球的截面性質(zhì)

①球的任何截面都是圓面；

②球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面；

③球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系：T心Y

2.球的切接組合體問題

(1)幾何體的外接球：一個多面體的頂點(diǎn)都在球面上即為球的外接問題，解決這類

問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.

(2)幾何體的內(nèi)切球：求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球

球心為頂點(diǎn)，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐

的體積之和求內(nèi)切球的半徑.

解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何

問題求解，其解題的思維流程：

r—面海蹙而而第一談后函就而施麗豆由

定球，中為半徑;如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距1

「離相等且為半徑.i

修建贏疏藁疝嬴靛氮辰稼麗」

而高可能多的包含球、幾何體的各種元素以

叱幽1及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系)，達(dá)到空間問

:題平面化的目的.

|求半徑、］糠據(jù)作出截面中的幾何元素,建立關(guān)于球:

|下結(jié)論】的半徑的方程,并求解.

3.幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

(1)設(shè)正方體的棱長為a,球的半徑為R.

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=y/3a；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2/?=啦a

(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2/?=

［次+廬+/.

(3)設(shè)正四面體的棱長為a,則它的斜高為坐a,高為半a,內(nèi)切球半徑廠=書，

外接球半徑R=乎以

正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

(4)直棱柱的外接球半徑可利用棱柱的上、下底面平行，借助球的對稱性，可知球

心為上、下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑.

(5)解決有關(guān)球的問題的關(guān)鍵是確定球心的位置和球的半徑，一般作出球的一個大

圓來處理.

拓展鏈接:拓知能聯(lián)高考

1.［學(xué)以致用］補(bǔ)形法找外接球球心

研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還

要特別注意多面體的有關(guān)幾何關(guān)系與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑

的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.用補(bǔ)形法找球心是解決此類問題的

突破口，常用的補(bǔ)形方法：

(1)對于正四面體，通常把它補(bǔ)成正方體.若是相對棱長相等的四面體，則可考慮

把它補(bǔ)成長方體.

(2)對于從一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱互相垂直的錐體，通常可考慮把它補(bǔ)成長方體或正

方體.

(3)幾何體的補(bǔ)形要圍繞著已知條件來進(jìn)行，通常策略是把棱錐補(bǔ)成棱柱，把臺體

補(bǔ)成錐體，把三棱錐補(bǔ)成四棱錐，把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，把不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)

則幾何體，補(bǔ)一個同樣的幾何體等.

簡單多面體外接球的球心的結(jié)論

結(jié)論1：正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點(diǎn).

結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的連線的中點(diǎn).

結(jié)論3：直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的連線的中點(diǎn).

【例】正四面體的各條棱長都為啦，則該正面體外接球的體積為

解答：這是特殊情況，但也是對棱相等的模式，放入方體中，2H=小，R=竽,

2.［知識拓展］射影面積公式及應(yīng)用

如圖所示，平面a,是二面角A-BC-O的平面角，由cos。=答,

i\ri

可得AABC的面積、△A3C在過其底邊BC的平面a上的射影△OBC的面積及6

之間的關(guān)系：cos，=沁.

3△ABC

【例】如圖①，已知長方體A5C0-A15QD1的底面ABCO是邊長為1的正方形，

側(cè)棱44尸也，過3d作平面a分別交棱A4i,CC于點(diǎn)E,F,則四邊形BFDiE

面積的最小值為.

D>C.AG

ABA

圖①圖②

解析：設(shè)平面BFDiE與底面ABCD的交線為I.

如圖②，過Oi作Oi”_L/于點(diǎn)”.連接。"，則NOi”。為二面角Oi-/-。的平面角，

設(shè)為e.

根據(jù)射影面積公式S四邊形BFD\E?cos8=S^ABCD,得S四邊形BFDiE=

S四邊形ABC。

cos0

則當(dāng)cos。最大時(shí)，S四邊形3FD1E最小.

當(dāng)cos。最大時(shí)，分析易知，DH最長.

又?！钡淖畲笾禐?。8=/，所以COS。最大值為苧，因?yàn)镾vw4BCD=1,

所以四邊形BFD\E面積的最小值為啦.

對點(diǎn)..............練基礎(chǔ)固知識

1.［易錯診斷］（2022.山東濟(jì)南月考）在直三棱柱ABC-A\B\C\中，ZBAC=90°且

AB=?88I=4,設(shè)其外接球的球心為O,且球。的表面積為28K,則△ABC

的面積為.

較空.3

口:2

解析：球。的表面積為47次2=28兀，:.R=木,如圖所示：

H,G為BC,BiG的中點(diǎn)，連接HG,NBAC=90°,故三角形的外心在的

中點(diǎn)上，故外接球的球心為HG的中點(diǎn).

在RtaOGC中，OG=，Bi=2,OC=R=巾,故CG=小;在中，BC

=2CG=2,AB=yj3,故AC=3,故SAABC=-,

【易錯點(diǎn)撥】錯誤確定外接球的球心位置.

2」教材改編］一個半徑為21的球形冰塊融化在一個半徑為14的圓柱形的水桶內(nèi)，

則水面的高度為.

答案：63

4nX213

解析：