線性方程組教程第1頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第3章

目錄第3.1節(jié)線性方程組的概念第3.2節(jié)n元線性方程和n元線性方程組第3.3節(jié)高斯消元法第3.4節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)第2頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月引例

對于某種寵物的喂養(yǎng),專家建議,每天的飲食中應(yīng)當(dāng)含有100單位蛋白質(zhì)，200單位碳水化合物和50單位的脂肪,一個寵物食物專賣店出售4種不同的食品A,B,C,D.其對蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的含量如下表（單位：盎司）.如何搭配這四種食品才能夠使該寵物的飲食符合專家的建議標(biāo)準？食品蛋白質(zhì)碳水化合物脂肪A5202B4252C71010D1056這是線性方程組的求解問題.第3頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第3.1節(jié)線性方程組的概念1.二元線性方程2.二元線性方程組3.例題

返回第4頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第3.1節(jié)線性方程組的概念1.二元線性方程定義3.1.1稱ax+by=c

為二元線性方程.其中x為變量，a，b，c

為常量.定義3.1.2定理3.1.1方程ax+by=c當(dāng)a,b不同時為零時有解且有無窮組解.

當(dāng)a,b同時為零時，如果c

0，則方程無解；若c=0則

方程有無窮組解.第5頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解對任一變量取值，如

x=2，將其代入方程類似可得為該方程的二個特解.

方程圖形該方程的圖形為一條平面直線.第6頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解確定二元一次方程y=3三個解.對變量x取值，如

x=2，0，1將其代入方程故（-2，3），（0，3），（1，3）均為該方程的解.紅線為該方程圖形第7頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月2.二元線性方程組

設(shè)二元線性方程組(*)下面用圖示和例子說明方程組(*)

有解、無解的各種情形.已知當(dāng)系數(shù)行列式不為零時，二元線性方程組

有惟一解,即第8頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月圖示例如方程組有惟一解情形方程組有無窮解情形方程組無解情形第9頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.1.2

a,b為何值時,下面線性方程組無解,有惟一解,有無窮解?解a=6,b≠-15時無解.這時兩個方程表示的直線相互平行，沒有交點.a≠6時,由克萊姆法則,該方程組有惟一解,此時兩個方程表示的平面直線有一個交點;a=6,b=-15時,顯然一個方程的任意一組解均為該方程組的解，即該方程組有無窮多組解;這時方程表示的兩條直線重合.第10頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月注二元線性方程組解的討論，可以類似地推廣到三元或n元線性方程組.為求該方程組的一般解，只須求x-2y=5的全部解即可.當(dāng)a=6,b=-15時,該方程組有無窮多組解.不妨取y=c，c為任意常數(shù)，解得x=5+2c，故對應(yīng)該方程組

的一般解為第11頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第3.2節(jié)n元線性方程組和n元線性方程組

本節(jié)介紹n元線性方程，

n元線性方程組及相關(guān)基本概念，給出特殊的三角形線性方程組和梯形線性方程組及其解法以備后用.返回第12頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第3.2節(jié)n元線性方程組和n元線性方程組1.n元線性方程2.n個變量m個方程的線性方程組方程組的初等變換3.三角形方程組和梯形方程組三角形方程組梯形方程組

返回第13頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3.2.1其中

xi為變量，ai為常量（i=1，2，…，n）.定理3.2.1（1）對jp的任一組值xj,可以得到方程的一個特解；這里稱變量xj為自由變量，自由變量即可以任意取值的變量；（2）由（1）可以求得方程的任一個解和解集合，這個解集合稱為方程的通解或一般解.定義3.2.2第14頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月對jp的一組自由變量xj，可以任意取值xj＝

cj,cj為任意實數(shù)，則這里,當(dāng)cj為一個定值時,（*）為特解;當(dāng)cj∈R是任意實數(shù)時,（*）為方程的通解或一般解.即證明見教材P83第15頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例1（1）求這個線性方程的三個特解.（2）求這個線性方程的一般解（通解）解

（1）這里x1為非零首項變量，x2,x3為自由變量，給x2,x3取任意值，可以解得x1.對自由變量常用如下取值方法:第16頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月為原線性方程的通解其中c1,c2為參數(shù).參數(shù)形式通解向量形式通解(2)為求得線性方程的一般解，需要給自由變量x2,x3取任意值，這里不妨設(shè)x2=c1;x3=c2,c1,c2∈R,得故有第18頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月2.n個變量m個方程的線性方程組

定義3.2.3

n個變量m個方程的線性方程組稱作n元線性方程組,形如其中

xj為變量，aij為第i個方程變量xj的系數(shù)，bi為第i個方程的常數(shù)項,這里i=1，2，…,m;j=1，2，…，n.第19頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)n元線性方程組

當(dāng)常數(shù)項bi不為0時,稱為非齊次線性方程組;

常數(shù)項bi全為零時,我們稱之為齊次線性方程組,也稱作非齊次線性方程組的導(dǎo)出組.稱滿足以上方程組的一個有序數(shù)組為方程組的一個解,一般記作列向量(列矩陣)形式為第20頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月注(1)當(dāng)線性方程組有無窮多解時,其全部解的集合稱為方程組的通解或一般解.(2)當(dāng)線性方程組有解時,稱方程組是相容的,否則便是不相容的.(3)“解方程組”,就是判斷線性方程組是否有解,在有解時求得滿足方程組的惟一解或全部的解(通解)的過程.“解線性方程組”常用方法為高斯消元法.消元過程中需要反復(fù)應(yīng)用線性方程組的初等變換.第21頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3.2.4

以下三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換

(以Li,Lj表示第i和第j個方程)：(1)

交換兩個方程，記作以上初等變換的逆變換分別為(2)

第i個方程乘以非零常數(shù)k，記作(3)以非零常數(shù)k乘以方程Lj加到方程Li，記作:（2）第i個方程乘以非零常數(shù)1/k，記作；（3）以非零常數(shù)k乘以方程Lj加到方程Li，記作（1）交換兩個方程，記作；第22頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月說明如果線性方程組（Ⅰ）經(jīng)過一次初等變換化為線性方程組（Ⅱ），則稱方程組（Ⅰ）、（Ⅱ）是同解方程組，也稱方程組（Ⅰ）與方程組（Ⅱ）等價.線性方程組等價，滿足自反性，對稱性和傳遞性.線性方程組經(jīng)過有限次初等變換后所得方程組與原方程組等價.經(jīng)過初等變換后,如果方程組中包括這樣的方程：

當(dāng)b0時，方程L沒有解，因此方程組沒有解;如果b=0，則任一n維向量均滿足L，所以運算中可以將方程L從方程組中刪除，所得方程組仍與原方程組等價.第23頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.三角形方程組和梯形方程組定義說明稱形如以下的方程組為三角形方程組，(1)三角形方程組的特點是方程組中方程個數(shù)與變量個數(shù)相等，且akkxk為第k個方程的非零首項（k=1,2,…,n）.(2)三角形方程組的解法:由最后一個方程開始逐步回代求出方程組各個變量的值，從而得出方程組的解;(3)利用克萊姆法則容易判定，其解惟一.第24頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月定義

稱以下形式的方程組為梯形線性方程組說明

(1)梯形線性方程組中方程個數(shù)m小于等于變量個數(shù)n.(2)當(dāng)r=m=n

時上式即為三角形線性方程組.(3)梯形線性方程組中不是首項非零元的變量都是自由變量.(4)自由變量僅應(yīng)用于梯形線性方程組.例2

確定線性方程組的自由變量.方程組中首項非零元是自由變量是第25頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.2.2

梯形線性方程組(*)當(dāng)r=n時有惟一解，當(dāng)r<n時，對nr個自由變量每賦一組值，便確定方程組的一個解.依據(jù)上述定理，當(dāng)r<n時，我們可以很容易地求出梯形線性方程組參數(shù)形式的通解.

例3

求線性方程組的通解

這個梯形方程組首項非零元分別是x1,x3，則x2,x4為自由變量，解得第26頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月令即為該線性方程組參數(shù)形式的通解，這里c1,c2

為參數(shù).得第27頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第3.3節(jié)

高斯消元法

本節(jié)介紹線性方程組和矩陣的高斯消元法，進而討論線性方程組解的存在性及判別方法.返回第28頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第3.3節(jié)高斯消元法

1.高斯消元法2.矩陣形式的線性方程組3.利用矩陣的秩討論線性方程組解的存在性返回第29頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月1.高斯消元法高斯消元法是將一般線性方程組化為三角形線性方程組或梯形線性方程組的形式或是確定線性方程組無解的一種方法.高斯消元法的具體步驟：（1）

交換方程，使第一個方程第一個變量x1

的系數(shù)a11不為零，（2）

以a11為主元，運用初等變換消去方程組中除第一個以外

各個方程中的x1；（3）

檢驗每個方程是否退化,即①

若有形式為0=0的方程，則從方程組中刪除；②

若有形式為0=b（b0）的方程，則方程組無解.(4）對第一個方程以外的方程重復(fù)（1），（2），（3）步驟；(5）上述過程繼續(xù)到將方程組化為梯形或三角形方程組為止.第30頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解首先用高斯消元法將方程組化簡，

這是梯形方程組，最后一個方程

0y+0z=3是一個退化方程，該方程無解，所以該方程組無解.第31頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例2用高斯消元法解線性方程組解

首先用高斯消元法將方程組化簡，

這是一個梯形方程組，z為自由變量，令z=c，回代解得方程組參數(shù)形式通解第32頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.3.1

任一線性方程組必滿足以下三項中之一項：（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮組解.實際上，用高斯消元法可將方程組化為梯形方程組,

即可判斷出無解的情形；當(dāng)方程有解時，如果化簡后的方程組中沒有自由變

量（為三角形方程組），則方程組有惟一解，若方

程組中有自由變量（一般為梯形方程組），則方程

組有無窮解.注對于m個方程n個變量（m＜n）的方程組，不可能取得惟一解，這是因為當(dāng)m＜n時，化簡后不可能得到三角形方程組，只能化成梯形方程組，因此結(jié)果或是無解，或是具有自由變量而有無窮多組解.第33頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月2.矩陣形式的線性方程組(Ax=b)已知線性方程組:稱為線性方程組的增廣陣系數(shù)陣未知量陣常數(shù)陣第34頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣運算與解線性方程組對線性方程組增廣矩陣進行初等變換與對方程組進行初等變換是相互對應(yīng)的，因此當(dāng)用高斯消元法來求解線性方程組時可以應(yīng)用矩陣的初等變換進行.例3第35頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月得得觀察知:線性方程組和矩陣的初等變換一一對應(yīng).故解線性方程組可以利用其增廣陣進行.第37頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例4第38頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月注

由增廣矩陣經(jīng)初等變換化成的行階梯形矩陣可以看出:

除了元素全為零的行向量，當(dāng)階梯形矩陣的末行出現(xiàn)形如(0,0,,0,b),b≠0的行向量時，則方程組對應(yīng)出現(xiàn)退化方程0=b（b0），此時方程組無解；如果階梯形矩陣的末行沒有形如(0,0,,0,b)，b≠0的行向量，則方程組必然有解.

進一步可以看出，如果將系數(shù)陣A化成上三角形矩陣或單位陣，此時系數(shù)行列式|A|0時可以利用克萊姆法則求得唯一解,或直接求得該方程組惟一解；如果系數(shù)陣A化作與增廣陣非零行數(shù)相等的行階梯形矩陣，則方程組有無窮組解.第40頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例5當(dāng)a、b為何值時一下線性方程組有解？有解時求出通解.解對增廣陣進行初等行變換，第41頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月得第43頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.利用矩陣的秩討論線性方程組解的存在性

已知如下結(jié)果:方程組系數(shù)陣和增廣陣化為行階梯形矩陣后容易判斷出它們的秩恰為其各自非零行向量的行數(shù)；矩陣經(jīng)過一系列初等變換其秩不變,系數(shù)陣A和增廣陣(Ab)的秩分別等于其對應(yīng)行階梯形中非零行的行數(shù).結(jié)論利用系數(shù)陣A和增廣陣(A|b)的秩可以直

接判定線性方程組解的存在情況.Ⅰ.非齊次線性方程組Ax=b解存在性判別方法

第44頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月證（反證）

若r(A)≠r(A|b)，那么方程組的增廣陣化簡的行階梯形矩陣中包含有形如(0,0,,0,b),b≠0的行向量，顯然方程組是不相容的.故方程組無解，與已知矛盾.定理3.3.2

任一線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即r(A)=r(A

|

b).線性方程組Ax=b解的存在性判別方法：

若r(A)≠r(A|b)，則方程組無解；若r(A)=r(A|b)=r=n時，則方程組有惟一解；若r(A)=r(A|b)=r<n時，則方程組有無窮多解.第45頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月若干推論第46頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月判斷下列線性方程組是否有解,若有解,求出全部解例6解對增廣陣作初等行變換，得同解方程組，再進行判斷和求解.第47頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月解第48頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例7解第50頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第51頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月Ⅱ.齊次線性方程組Ax=0解存在性判別方法

注意齊次線性方程組系數(shù)陣A和增廣陣(A|0)的秩總是相等的.定理3.2.3

n元齊次線性方程組Ax=o恒有解，且當(dāng)r=n時有惟一零解；當(dāng)r<n時有非零解.推論1m×n齊次線性方程組Ax=o，當(dāng)m<n時有非零解.推論2n×n齊次線性方程組Ax=o有非零解的充分必要條件是其系數(shù)陣A的行列式|A|=0；有惟一零解的充分必要條件是其系數(shù)陣A的行列式|A|0.第52頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例8解第53頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第54頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第3.4節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本節(jié)討論齊次線性方程組和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，對線性方程組問題給出初步理論總結(jié).并從線性方程組向量形式出發(fā)給出向量組線性無關(guān)及線性組合的概念.返回第55頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第3.4節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)1.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)2.非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.n元線性方程組的向量形式返回第56頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月1.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)已知齊次線性方程組

齊次線性方程組Ax=o總是相容的，即它恒有解，x=o就是它的一個解，稱為零解.

問題：齊次線性方程組除了零解之外是否還存在非零解，如果有非零解，其解具有怎樣的結(jié)構(gòu)?(*)的矩陣形式為Ax=o,它是Ax=b對應(yīng)的導(dǎo)出組.（*）第57頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次線性方程組解的性質(zhì)第58頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解

利用矩陣初等行變換解方程組.因為齊次線性方程組常數(shù)項均為零,故增廣矩陣的末列元素均為零，所以只須化系數(shù)矩陣A為行最簡形即可.得是方程組惟一零解.第59頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

求五元齊次線性方程組的通解解對線性方程組系數(shù)陣進行初等行變換.還原為同解方程組

第60頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月方程組中含有兩個自由變量x3,x5.令得方程組的通解:稱向量組1,2為這個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.

為基礎(chǔ)解系的線性組合,為該方程組的通解.稱第61頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例3求以下齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系并用以表示通解.還原為同解方程組

解對系數(shù)陣進行初等行變換直至化為行最簡形第62頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月方法1先求通解后求基礎(chǔ)解系得第63頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月方法2先求基礎(chǔ)解系,再求通解結(jié)果與方法1相同.第64頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例4續(xù)上節(jié)例8解第65頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第66頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月返回第67頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月說明1

如果一般齊次線性方程組Ax=o化為梯形方程組具有s個自由變量，那么如上例，令1,2,…,s依次為這樣的解：分別取一個自由變量為1，其余均為零，則1,2,…,s構(gòu)成齊次線性方程組Ax=o的一個基礎(chǔ)解系，Ax=o的任何一個解都可以表示為這個基礎(chǔ)解系的線性組合.這就是齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).練習(xí)求下面齊次線性方程組的全部解.方程組的全部解為

第68頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月說明2如果在后一種運算過程中，所確定的自由變量不同（這是可能的?。┗蚴菍ψ杂勺兞咳≈挡煌部赡苡胁煌幕A(chǔ)解系的線性組合形式作為通解，但是基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)總是相同的.

如果方程組中未知量個數(shù)為n和系數(shù)矩陣A的秩為r，進一步討論可知其基礎(chǔ)解系包含向量個數(shù)為n-r（A）.

第69頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月非齊次線性方程組解的性質(zhì)證明非齊次線性方程組的通解是由一個特解和對應(yīng)導(dǎo)出組通解相加而成.此即非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).第70頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例5解首先用高斯消元法將方程組化簡.由這是一個梯形方程組，最后一個方程是b＝30的退化方程，所以該方程組無解.此時不必再討論方程組的結(jié)構(gòu)問題.第71頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例6求非齊次線性方程組的通解第72頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月特解導(dǎo)出組通解續(xù)非齊次線性方程組的通解是由一個特解和對應(yīng)導(dǎo)出組通解相加而成.此即非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).第74頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例7續(xù)前節(jié)解第75頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第76頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月第77頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月例8解第78頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月課堂練習(xí)第79頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.n元線性方程組的向量形式與線性組合（1）n元非齊次線性方程組的向量形式也即n元非齊次線性方程組表示成向量方程形式為

第80頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)n個向量構(gòu)成向量組的線性組合稱向量為向量1,2,…,n的線性組合.例9將向量寫成向量1,2,3的線性組合.其中

第81頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月解

設(shè)

故得線性方程組解得則向量為向量1,2,3,的線性組合.第82頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）n元齊次線性方程組的向量形式n元齊次線性方程組第83頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3.4.2(向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān))以xi(i=1,2,…n)為變量