變量間的關(guān)系一般來說，可分為兩種：1.確定性關(guān)系：即“函數(shù)關(guān)系”，如或2.非確定性關(guān)系：如（1）污染程度與污染源距離（2）舒張壓與年齡（3）人的身高與體重（4）藥物劑量與動物死亡率回歸與相關(guān)就是研究此類問題的統(tǒng)計(jì)方法第一節(jié)直線回歸

一、“回歸”的由來

F.GaltonK.Pearson

每對夫婦的平均身高（英寸）成年兒子的身高（英寸）二、線性回歸基本概念當(dāng)一個變量X改變時，另一個變量Y也相應(yīng)地改變，此時稱X為自變量(independentvariable)，Y為應(yīng)變量(dependentvariable)。自變量X：可隨機(jī)變動亦可人為取值。因（應(yīng)）變量Y：被視為依賴于X而變化的反應(yīng)變量。在X的數(shù)值確定時按某種規(guī)律隨機(jī)變動。

可見，各散點(diǎn)通常并不會恰好在一條直線上，但反映出兩變量的線性趨勢。我們可以假定，相對于X各個取值,相應(yīng)的Y的總體均數(shù)位于一條直線上,與X之間數(shù)量上的線性依存關(guān)系就稱為線性回歸。這樣我們就可以用某個恰當(dāng)?shù)木€性回歸方程(linearregressionequation)來描述Y的總體均數(shù)依賴于X的數(shù)值變化：

以表示的一個樣本估計(jì)值，即X確定時Y的樣本均數(shù)，樣本回歸方程的一般表達(dá)式可寫為：

三、直線回歸方程的建立1.一般表達(dá)式：

自變量當(dāng)取某一定值時，因變量的平均估計(jì)值。截距，即當(dāng)時，的平均估計(jì)值。

斜率（回歸系數(shù)）：當(dāng)每改變一個單位時，的平均改變量。

因此2.求和（依據(jù)最小二乘法（methodofleastsquare）原理），即最小。四、直線回歸方程圖示：在自變量X的實(shí)測全距范圍內(nèi)任取相距較遠(yuǎn)且易讀的兩個X值，代入回歸方程式，求出兩個，兩點(diǎn)連一直線即可。

五、線性回歸的統(tǒng)計(jì)推斷（一）總體回歸系數(shù)的估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)1.總體回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)：其中

為樣本回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，反映樣本回歸系數(shù)與總體回歸系數(shù)之間的抽樣誤差。

為剩余標(biāo)準(zhǔn)差，表示應(yīng)變量Y值對于回歸直線的離散程度。2.回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（1）方差分析

SS總=SS回歸+SS剩余

SS總SS回歸=SS回歸表示在Y總的變異中，可以用X與Y的線性關(guān)系引起Y變異來解釋的部分。

SS剩余==SS總-

SS回歸SS剩余表示除X對Y的線性影響之外的一切其它隨機(jī)因素對Y的影響。這三個平方和的自由度依次分別為：ν總=n－1,ν回歸=1,ν剩余=n－2。具體分析步驟：建立假設(shè)檢驗(yàn)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量查附表12（P274）F界值表并作結(jié)論：

，則P<，拒絕H0

接受H1，則P>，不拒絕H0

若2.t檢驗(yàn)

ν=n－23.回歸方程無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義原因：（1）影響Y取值的，除X外，還有其它不可忽略因素。（2）Y與X關(guān)系不是線性的，而存在其它關(guān)系。（3）Y與X不存在關(guān)系。（二）應(yīng)變量條件均數(shù)的區(qū)間估計(jì)亦可用表示，是總體中當(dāng)x為某定值x0的條件下，y的條件均數(shù)。當(dāng)把x0代入回歸方程求得其點(diǎn)估計(jì)值

當(dāng)X=x0時，總體條件均數(shù)的可信區(qū)間為：（二）個體值的容許區(qū)間估計(jì)所謂個體值的容許區(qū)間是指總體中X為某定值x0時，個體值的波動范圍。其標(biāo)準(zhǔn)差為：

于是給定X=x0時，個體Y值的容許區(qū)間為：六、線性回歸方程應(yīng)用：1．描述X和Y之間依存變化的數(shù)量關(guān)系2．利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測預(yù)報(bào)3．用容易測量的指標(biāo)估計(jì)不易測量的指標(biāo)。4.利用回歸方程獲得精度更高的醫(yī)學(xué)參考值范圍5.利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制

七、線性回歸分析中應(yīng)注意的問題1.作回歸分析一定要有實(shí)際意義2.回歸分析之前首先應(yīng)繪制散點(diǎn)圖異常點(diǎn)：是指偏離既定模型的數(shù)據(jù)點(diǎn)（即y空間的異常點(diǎn)）。高杠桿點(diǎn)：是指遠(yuǎn)離數(shù)據(jù)主體的點(diǎn)（即x空間的異常點(diǎn)）。強(qiáng)影響點(diǎn)是指對統(tǒng)計(jì)推斷影響特別大的點(diǎn)。異常點(diǎn)和高杠桿點(diǎn)都可能是強(qiáng)影響點(diǎn)。處理辦法：（1）剔除（2）在此點(diǎn)補(bǔ)做實(shí)驗(yàn)（3）數(shù)據(jù)變換學(xué)生化殘差（）

其中3.考慮建立線性回歸模型的基本假定(LINE)。4.不可外推。5.兩變量間的直線關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。

第二節(jié)線性相關(guān)一、直線相關(guān)的基本概念若一個變量X由小到大（或由大到?。瑒t另一變量Y亦相應(yīng)地由小到大（或由大到?。?，兩個變量的散點(diǎn)圖呈直線趨勢，我們稱這種現(xiàn)象為共變，亦就是這兩個變量之間有“相關(guān)關(guān)系”。散點(diǎn)呈直線趨勢說明兩變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系。散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布，即線性相關(guān)的性質(zhì)和相關(guān)之間的密切程度，可分為以下幾種情況：1.正相關(guān):如圖11.6（a），各點(diǎn)的分布呈現(xiàn)橢圓形，Y隨X的增加而增加，X隨Y的增加而增加。當(dāng)各點(diǎn)的分布如圖11.6（b）呈現(xiàn)直線型，則Y與X就完全正相關(guān)了。2.負(fù)相關(guān):如圖11.6（c），各點(diǎn)的分布也呈現(xiàn)橢圓形，Y隨X的增加而減少，X隨Y的增加而減少。當(dāng)各點(diǎn)的分布如圖11.6（d）呈現(xiàn)直線型，則Y與X就完全負(fù)相關(guān)了。3.零相關(guān):如圖11.6（e），無論X增加還是減少，Y不受其影響，反之，X也不受Y的影響。4.非線性相關(guān)：X與Y的散點(diǎn)圖如圖11.6（f），圖中各點(diǎn)分布可能表示X與Y存在某種曲線相關(guān)，但與線性相關(guān)已完全不同，稱為非線性相關(guān)。

二、相關(guān)系數(shù)的意義與計(jì)算1.相關(guān)系數(shù)的意義：相關(guān)系數(shù)(coefficientofcorrelation)就是說明具有直線關(guān)系的兩個變量間相關(guān)密切程度和相關(guān)方向的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。2.相關(guān)系數(shù)的計(jì)算其中3.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)r沒有測量單位，其數(shù)值為-1≤r≤+1。

r值為正，表示正相關(guān)；r值為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)；r值為0，則稱零相關(guān)即無直線關(guān)系。當(dāng)r值的絕對值為1時，稱完全相關(guān)。4.注意：生物界影響因素眾多，r值為l的機(jī)會極少，因而很少有完全相關(guān)，經(jīng)常見到的是r值介于-1與+l之間，即不完全相關(guān)。在例數(shù)相等的情況下，計(jì)算出的相關(guān)系數(shù)的絕對值愈接近1，相關(guān)愈密切；相關(guān)系數(shù)愈接近0時，相關(guān)愈不密切。三、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)建立檢驗(yàn)假設(shè)：1.查表法：一種是按自由度直接查附表15的r界值表。

2.t-test

自由度四、決定系數(shù)的意義

r的平方稱為決定系數(shù)（coefficientofdetermination）

r2反映出回歸平方和在總平方和中所占的比重。r2越接近1，回歸效果越好；應(yīng)用決定系數(shù)，也可以從回歸的角度對相關(guān)程度做進(jìn)一步的了解，例如，r=0.5，r2=0.25，說明一個變量的變異僅有25%由另一變量所引起，避免了對相關(guān)系數(shù)表示的相關(guān)程度的夸張解釋。五、相關(guān)分析應(yīng)用中應(yīng)注意的問題1.相關(guān)分析要求兩個變量是服從雙變量正態(tài)分布的資料。2.進(jìn)行相關(guān)分析前應(yīng)先繪制散點(diǎn)圖，散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出直線趨勢時，再作分析。3.滿足應(yīng)用條件的同一份雙變量資料，回歸系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的正負(fù)號一致，假設(shè)檢驗(yàn)等價。4.相關(guān)分析時，小樣本資料經(jīng)t-test只能推斷兩變量間有無直線關(guān)系，而不能推斷其相關(guān)的密切程度。要推斷其相關(guān)的密切程度樣本含量必須足夠大。線性相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的計(jì)算器求法：開機(jī)：進(jìn)入線性回歸狀態(tài)：清除內(nèi)存：

MODE2REGMODEAC/ONSHIFT

Scl=AC/ON1Lin實(shí)例1：求變量x與y的回歸系數(shù)

和相關(guān)系數(shù)X

Y

135

567

求出a=4.5M+M+M+SHIFT5

A137756,,,=SHIFT8

B求出b=0.5則可求出r=1SHIFT(

r==2.5SHIFT-則可求出線性相關(guān)和回歸的區(qū)別與聯(lián)系一、區(qū)別（一）資料要求上：1．回歸：（1）因變量Y（隨機(jī)變量）必須服從正態(tài)分布，自變量X可精確測量和嚴(yán)格控制的變量。

Ⅰ型回歸：（2）X和Y服從雙變量正態(tài)分布

Ⅱ型回歸：（Y對X的回歸方程或由X推Y）（X對Y的回歸方程或由Y推X）

（二）在應(yīng)用上：1．回歸：反映兩個變量間依存變化的數(shù)量關(guān)系，是單向的。2.相關(guān)：表示兩個變量之間的相互關(guān)系，是雙向的。

（三）在意義上：b表示X每增大（或減?。┮粋€單位，Y平均增大（或減?。゜個單位。r說明具有直線關(guān)系的兩個變量間相關(guān)密切程度和相關(guān)方向的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。

（四）計(jì)算上：（五）取值范圍：（六）單位：b有單位，r沒有單位。二、聯(lián)系（一）對同一資料r與b正負(fù)號是相同的：r為正，說明X與Y相關(guān)關(guān)系的方向是一致的；b為正，說明X與Y之間由回歸方程所確定的變量關(guān)系是遞增的，即X增大（或減小）一個單位，Y也平均增大（或減?。゜個單位。

（二）r和b假設(shè)檢驗(yàn)等價的（即對同一樣本二者的t值相等），實(shí)際應(yīng)用時常用其代替對b的假設(shè)檢驗(yàn)。（三）相關(guān)回歸可以互相解釋：

r的平方稱為決定系數(shù)（coefficientofdetermination）第四節(jié)秩相關(guān)一、適用范圍：1.觀測值是等級資料雙變量資料2.不服從雙變量正態(tài)分布的資料3.觀測值是百分?jǐn)?shù)的雙變量資料4.分布不明確的雙變量資料

二、Spearman等級相關(guān)系數(shù)1.意義：說明具有線性關(guān)系的兩變量間相關(guān)方向和密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。2.取值：的數(shù)值亦在-1與+1之間，表示正相關(guān)，表示負(fù)相關(guān)。

3.計(jì)算步驟