3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用第三章函數(shù)的應(yīng)用3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型復(fù)習(xí)引入講授新課例1

假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？解：設(shè)第x天所得回報是y元，解：設(shè)第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進行描述；解：設(shè)第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N*)進行描述；解：設(shè)第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N*)進行描述；方案三可以用函數(shù)y＝0.4×2x－1(x∈N*)進行描述.方案一方案二方案三y/元增加量y/元y/元增加量y/元y/元增加量y/元140010100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.420406080100120246810Oyx函數(shù)圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點.20406080100120246810Oyxy＝40函數(shù)圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x函數(shù)圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1函數(shù)圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1函數(shù)圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點.我們看到，底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多.從中你對“指數(shù)爆炸”的含義有什么新的理解？

20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x根據(jù)以上的分析，是否應(yīng)作這樣的選擇:投資5天以下選方案一，投資5~8天選方案二，投資8天以上選方案三？y＝0.4×2x－1例2

某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金總數(shù)不超過利潤的25%，現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？分析：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據(jù)這個模型進行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，由于公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元，所以部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤.于是，只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗三個模型是否符合公司要求即可.分析：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據(jù)這個模型進行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，由于公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元，所以部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤.于是，只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗三個模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論再通過具體計算，確認(rèn)結(jié)果.812345672004006008001000Oyx圖象812345672004006008001000Oyxy＝5圖象812345672004006008001000y＝0.25xOyxy＝5圖象812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1Oyxy＝5圖象812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOyxy＝5圖象解：借助計算機作出函數(shù)y＝0.25x，y＝log7x＋1，

y＝1.002x的圖象.觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5的下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進行獎勵時才符合公司的要求，下面通過計算確認(rèn)上述判斷.812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOyxy＝5首選計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬.解：首選計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬.對于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x＝20時，y＝5，因此，當(dāng)x＞20時，y＞5，所以該模型不符合要求；解：首選計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬.對于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x＝20時，y＝5，因此，當(dāng)x＞20時，y＞5，所以該模型不符合要求；對于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個點x0滿足1.002x＝5，由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當(dāng)x＞x0時，y＞5，所以該模型也不符合要求；解：首選計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬.對于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x＝20時，y＝5，因此，當(dāng)x＞20時，y＞5，所以該模型不符合要求；對于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個點x0滿足1.002x＝5，由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當(dāng)x＞x0時，y＞5，所以該模型也不符合要求；對于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x＝1000時，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.

解：再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時，是否有成立.解：

令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用計算機作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.

所以當(dāng)x∈[10,1000]時，再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時，是否有成立.解：模型y＝log7x＋1獎勵時,獎金不會超過利潤的25%..說明按

令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用計算機作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.

所以當(dāng)x∈[10,1000]時，再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時，是否有成立.綜上所述，模型y＝log7x＋1確實能符合公司要求.解：模型y＝log7x＋1獎勵時,獎金不會超過利潤的25%..說明按歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(1)理解問題：閱讀理解，讀懂文字?jǐn)⑹觯J(rèn)真審題，理解實際背景.弄清楚問題的實際背景和意義，設(shè)法用數(shù)學(xué)語言來描述問題.(2)簡化假設(shè)：理解所給的實際問題之后，領(lǐng)悟背景中反映的實質(zhì)，需要對問題作必要的簡化，有時要給出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，精選問題中關(guān)鍵或主要的變量.(3)數(shù)學(xué)建模：把握新信息，勇于探索，善于聯(lián)想，靈活化歸，根據(jù)題意建立變量或參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，實現(xiàn)實際問題數(shù)學(xué)化，引進數(shù)學(xué)符號，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，常用的數(shù)學(xué)模型有方程、不等式、函數(shù).歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(1)理解問題：閱讀理解，讀懂文字?jǐn)⑹觯J(rèn)真審題，理解實際背景.弄清楚問題的實際背景和意義，設(shè)法用數(shù)學(xué)語言來描述問題.(2)簡化假設(shè)：理解所給的實際問題之后，領(lǐng)悟背景中反映的實質(zhì)，需要對問題作必要的簡化，有時要給出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，精選問題中關(guān)鍵或主要的變量.(3)數(shù)學(xué)建模：把握新信息，勇于探索，善于聯(lián)想，靈活化歸，根據(jù)題意建立變量或參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，實現(xiàn)實際問題數(shù)學(xué)化，引進數(shù)學(xué)符號，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，常用的數(shù)學(xué)模型有方程、不等式、函數(shù).歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(1)理解問題：閱讀理解，讀懂文字?jǐn)⑹觯J(rèn)真審題，理解實際背景.弄清楚問題的實際背景和意義，設(shè)法用數(shù)學(xué)語言來描述問題.(2)簡化假設(shè)：理解所給的實際問題之后，領(lǐng)悟背景中反映的實質(zhì)，需要對問題作必要的簡化，有時要給出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，精選問題中關(guān)鍵或主要的變量.(3)數(shù)學(xué)建模：把握新信息，勇于探索，善于聯(lián)想，靈活化歸，根據(jù)題意建立變量或參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，實現(xiàn)實際問題數(shù)學(xué)化，引進數(shù)學(xué)符號，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，常用的數(shù)學(xué)模型有方程、不等式、函數(shù).歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(4)求解模型：以所學(xué)的數(shù)學(xué)性質(zhì)為工具對建立的數(shù)學(xué)模型進行求解.(5)檢驗?zāi)Ｐ停簩⑺蟮慕Y(jié)果代回模型之中檢驗，對模擬的結(jié)果與實際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.(6)評價與應(yīng)用：如果模型與實際情形比較吻合，要對計算的結(jié)果作出解釋并給出其實際意義，后對所建立的模型給出運用范圍.如果模型與實際問題有較大出入，則要對模型改進并重復(fù)上述步驟.歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(4)求解模型：以所學(xué)的數(shù)學(xué)性質(zhì)為工具對建立的數(shù)學(xué)模型進行求解.(5)檢驗?zāi)Ｐ停簩⑺蟮慕Y(jié)果代回模型之中檢驗，對模擬的結(jié)果與實際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.(6)評價與應(yīng)用：如果模型與實際情形比較吻合，要對計算的結(jié)果作出解釋并給出其實際意義，后對所建立的模型給出運用范圍.如果模型與實際問題有較大出入，則要對模型改進并重復(fù)上述步驟.歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(4)求解模型：以所學(xué)的數(shù)學(xué)性質(zhì)為工具對建立的數(shù)學(xué)模型進行求解.(5)檢驗?zāi)Ｐ停簩⑺蟮慕Y(jié)果代回模型之中檢驗，對模擬的結(jié)果與實際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.(6)評價與應(yīng)用：如果模型與實際情形比較吻合，要對計算的結(jié)果作出解釋并給出其實際意義，后對所建立的模型給出運用范圍.如果模型與實際問題有較大出入，則要對模型改進并重復(fù)上述步驟.歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟練習(xí)某皮鞋廠今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬雙，1.2萬雙，1.3萬雙，1.37萬雙.由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式新穎，前幾個月的銷售情況良好.為了推銷員在推銷產(chǎn)品時，接受定單不至于過多或過少，需要估計以后幾個月的產(chǎn)量.廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程.廠里也暫時不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人.假如你是廠長，就月份x，產(chǎn)量為y給出四種函數(shù)模型：+b，y=abx

+c，y=ax+b，y=ax2+bx+c，y=a你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產(chǎn)量？課堂小結(jié)理解問題(2)簡化假設(shè)(3)數(shù)學(xué)建模(4)求解模型(5)檢驗?zāi)Ｐ?6)評價與應(yīng)用歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟復(fù)習(xí)引入歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(1)理解問題：閱讀理解，讀懂文字?jǐn)⑹觯J(rèn)真審題，理解實際背景.弄清楚問題的實際背景和意義，設(shè)法用數(shù)學(xué)語言來描述問題.(2)簡化假設(shè)：理解所給的實際問題之后，領(lǐng)悟背景中反映的實質(zhì)，需要對問題作必要的簡化，有時要給出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，精選問題中關(guān)鍵或主要的變量.復(fù)習(xí)引入歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(1)理解問題：閱讀理解，讀懂文字?jǐn)⑹觯J(rèn)真審題，理解實際背景.弄清楚問題的實際背景和意義，設(shè)法用數(shù)學(xué)語言來描述問題.(2)簡化假設(shè)：理解所給的實際問題之后，領(lǐng)悟背景中反映的實質(zhì)，需要對問題作必要的簡化，有時要給出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，精選問題中關(guān)鍵或主要的變量.復(fù)習(xí)引入歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟復(fù)習(xí)引入(3)數(shù)學(xué)建模：把握新信息，勇于探索，善于聯(lián)想，靈活化歸，根據(jù)題意建立變量或參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，實現(xiàn)實際問題數(shù)學(xué)化，引進數(shù)學(xué)符號，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，常用的數(shù)學(xué)模型有方程、不等式、函數(shù).歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟復(fù)習(xí)引入(3)數(shù)學(xué)建模：把握新信息，勇于探索，善于聯(lián)想，靈活化歸，根據(jù)題意建立變量或參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，實現(xiàn)實際問題數(shù)學(xué)化，引進數(shù)學(xué)符號，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，常用的數(shù)學(xué)模型有方程、不等式、函數(shù).歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(4)求解模型：以所學(xué)的數(shù)學(xué)性質(zhì)為工具對建立的數(shù)學(xué)模型進行求解.(5)檢驗?zāi)Ｐ停簩⑺蟮慕Y(jié)果代回模型之中檢驗，對模擬的結(jié)果與實際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.(6)評價與應(yīng)用：如果模型與實際情形比較吻合，要對計算的結(jié)果作出解釋并給出其實際意義，后對所建立的模型給出運用范圍.如果模型與實際問題有較大出入，則要對模型改進并重復(fù)上述步驟.復(fù)習(xí)引入歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(5)檢驗?zāi)Ｐ停簩⑺蟮慕Y(jié)果代回模型之中檢驗，對模擬的結(jié)果與實際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.(6)評價與應(yīng)用：如果模型與實際情形比較吻合，要對計算的結(jié)果作出解釋并給出其實際意義，后對所建立的模型給出運用范圍.如果模型與實際問題有較大出入，則要對模型改進并重復(fù)上述步驟.復(fù)習(xí)引入歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟理解問題(2)簡化假設(shè)(3)數(shù)學(xué)建模(4)求解模型(5)檢驗?zāi)Ｐ?6)評價與應(yīng)用歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟講授新課觀察函數(shù)與的圖象，說明在不同區(qū)間內(nèi)，函數(shù)增長的快慢情況.在[0,＋∞)上講授新課觀察函數(shù)與64216xyO的圖象，說明在不同區(qū)間內(nèi)，函數(shù)增長的快慢情況.在[0,＋∞)上講授新課觀察函數(shù)與64216xyO的圖象，說明在不同區(qū)間內(nèi)，函數(shù)增長的快慢情況.在[0,＋∞)上講授新課觀察函數(shù)與64216xyO的圖象，說明在不同區(qū)間內(nèi)，函數(shù)增長的快慢情況.在[0,＋∞)上講授新課觀察函數(shù)與64216xyO的圖象，說明在不同區(qū)間內(nèi)，函數(shù)增長的快慢情況.在[0,＋∞)上比較函數(shù)的增長快慢.比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO你能分別求出使成立的x的取值范圍嗎？30282624222018161412108642510xyO放大后的圖象①一般地，對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0,＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x＞x0時，就會有ax＞xn.規(guī)律總結(jié)②對于對數(shù)函數(shù)y＝logax

(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)在區(qū)間(0,＋∞)上，隨著x的增大，logax增長得越來越慢.在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x＞x0時，就會有l(wèi)ogax＜xn.規(guī)律總結(jié)③在區(qū)間(0,＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y=xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上.隨著x的增長，y＝ax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢.因此，總會存在一個x0，當(dāng)x＞x0時，就有l(wèi)ogax＜xn＜ax.規(guī)律總結(jié)例1

同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝x2＋7和y＝2x的圖象如圖.試比較x2＋7與2x的大小.5040302010510y＝x2＋7y＝2xxyO例2

已知函數(shù)y＝x2和y＝log2(x＋1)的圖象如圖，試比較x2與log2(x＋1)的大小.4321-124xyOy＝x2y＝log2(x＋1)1.下列說法不正確的是(C)A.函數(shù)y＝2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)B.函數(shù)y＝x2在(0，＋∞)上是增函數(shù)C.存在x0，當(dāng)x＞x0時，x2＞2x恒成立D.存在x0，當(dāng)x＞x0時，2x＞x2恒成立練習(xí)1.下列說法不正確的是(C)A.函數(shù)y＝2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)B.函數(shù)y＝x2在(0，＋∞)上是增函數(shù)C.存在x0，當(dāng)x＞x0時，x2＞2x恒成立

D.存在x0，當(dāng)x＞x0時，2x＞x2恒成立練習(xí)2.比較函數(shù)y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)，下列說法正確的是(B)A.函數(shù)y＝xn比y＝ax的增長速度快B.函數(shù)y＝xn比y＝ax的增長速度慢C.因a,n沒有大小確定,故無法比較函數(shù)

y＝xn與y＝ax的增長速度D.以上都不正確練習(xí)2.比較函數(shù)y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)，下列說法正確的是(B)A.函數(shù)y＝xn比y＝ax的增長速度快B.函數(shù)y＝xn比y＝ax的增長速度慢C.因a,n沒有大小確定,故無法比較函數(shù)

y＝xn與y＝ax的增長速度D.以上都不正確練習(xí)3.函數(shù)y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和y＝xc(c＞0)中增長速度最快的是(B)A.y＝logax(a＞1)