Ch4-1第四章隨機變量的數(shù)字特征用一個數(shù)描寫隨機變量某一方面的概率特性隨機變量的平均取值—數(shù)學(xué)期望.隨機變量取值平均偏離平均值的情況—方差.描述兩個隨機變量之間的某種關(guān)系的數(shù)—協(xié)方差與相關(guān)系數(shù).§1隨機變量的數(shù)學(xué)期望1數(shù)學(xué)期望的概念—加權(quán)平均引例測量了50個圓柱形零件的直徑，分別為10cm15個，9cm7個，11cm10個，12cm10個，8cm8個.則這50個零件的平均直徑為Ch4-3從另一個角度看—從這50個零件中任取一個零件，它的尺寸為隨機變量X,X

的概率分布為X

P

89101112則這50個零件的平均直徑為稱之為這5個數(shù)字的加權(quán)平均，數(shù)學(xué)期望的概念源于此定義設(shè)X為離散型隨機變量，概率分布為若級數(shù)絕對收斂，則稱其和為隨機變量X

的數(shù)學(xué)期望(Expectation)記作E(X)Ch4-5定義設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為若廣義積分絕對收斂，則稱此積分為隨機變量X

的數(shù)學(xué)期望(Expectation)記作E(X)例

X~P(),求E(X)

.解例

X服從0–1分布，求E(X)

.例

X~N(,2),求E(X)

.解Ch4-7例設(shè)X~參數(shù)為p

的幾何分布，求E(X).解Ch4-8注意：不是所有的隨機變量都有數(shù)學(xué)期望例如：Cauchy分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在Ch4-92隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)X為離散型隨機變量，概率分布為Y=g(X),若級數(shù)絕對收斂，則

設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為f(x)Y=g(X),

絕對收斂，則若廣義積分Ch4-10設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機變量，概率分布為Z=g(X,Y),絕對收斂，則若級數(shù)

設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量,密度函數(shù)為f(x,y)Z=g(X,Y),

絕對收斂，則若廣義積分Ch4-11幾個重要的隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望—X的k

階原點矩—X的k

階絕對原點矩—X的k

階中心矩—X的方差Ch4-12—X,Y的k+l

階混合原點矩—X,Y的k+l

階混合中心矩—X,Y的二階混合原點矩—X,Y的二階混合中心矩

X,Y的協(xié)方差—X,Y的相關(guān)系數(shù)Ch4-13例設(shè)(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的數(shù)學(xué)期望.解例

市場上對某種產(chǎn)品每年的需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬元,售不出去，需要降價處理，則每噸虧損1萬元，問應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少噸,才能使平均利潤最大？解設(shè)每年生產(chǎn)y噸的利潤為Y,顯然，2000<y<4000顯然，故y=3500時，E(Y)最大，E(Y)=8250萬元Ch4-173數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：

E(C)=C

E(aX)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

當X,Y相互獨立時，E(XY)=E(X)E(Y).

若存在常數(shù)

a使

P(Xa)=1,則

E(X)a；若存在常數(shù)

b使

P(Xb)=1,則

E(X)b.注：逆命題不成立，即E(XY)=E(X)E(Y)X，Y不一定相互獨立，反例有興趣見后續(xù)Ch4-18例

X~B(n,p),求E(X)

.解1例

X~B(n,p),求E(X)

.解2用性質(zhì)引入隨機變量1第i次試驗事件A發(fā)生0第i次試驗事件A不發(fā)生則易計算故Ch4-20P112常見隨機變量的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p

的0-1分布pB(n,p)npP()幾何分布Ch4-21分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E()N(,2)Ch4-22例設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解

Ch4-23數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)Ch4-24數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)注意：X,Y相互獨立Ch4-25Ch4-26

設(shè)X為連續(xù)型，密度函數(shù)為f(x),分布函數(shù)為

F(x),則故證性質(zhì)5Ch4-27例將4個球隨機地放入4個盒子中，每盒容納的球數(shù)無限，求空著的盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解一設(shè)X為空著的盒子數(shù)，則

X的概率分布為XP0123Ch4-28解二再引入Xi,i=1,2,3,4Xi

P0

1

Ch4-29例五個獨立元件，壽命分別為都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，若將它們(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)成整機，求整機壽命的均值.解(1)設(shè)整機壽命為

N,即N~E(5),

Ch4-30(2)設(shè)整機壽命為

Ch4-31例

為普查某種疾病,n個人需驗血.驗血方案有如下兩種：分別化驗每個人的血,共需化驗n

次；分組化驗,k

個人的血混在一起化驗,若結(jié)果為陰性,則只需化驗一次;若為陽性,則對k

個人的血逐個化驗,找出有病者,此時k

個人的血需化驗k+1次.設(shè)每人血液化驗呈陽性的概率為

p,且每人化驗結(jié)果是相互獨立的.試說明選擇哪一方案較經(jīng)濟.解

只須計算方案(2)所需化驗次數(shù)的期望.為簡單計,設(shè)n

是k

的倍數(shù)，共分成n/k組.(更一般見教材P130）設(shè)第i組需化驗的次數(shù)為Xi,則Xi

P

1k+1

Ch4-33作業(yè)p149習(xí)題四

2，5、6（加法性質(zhì)）、9、11、12、思考：超幾何分布的均值如何計算？

測試

1.求問，X與Y是否獨立？2.假設(shè)由自動線加工的某種零件的直徑X(mm)~N(,1).已知銷售每個零件的利潤T(元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下的關(guān)系：求（1）平均利潤；（2）問平均直徑

為何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？E(XY)=E(X)E(Y)，X，Y不一定相互獨立，反例X

Y

pij-101-1010p?jpi?Ch4-36XY

P

-101但Ch4-37例Ch4-38而由上述可知X與Y

不相互獨立Ch4-39