第2講代數(shù)式與整式考點(diǎn)1代數(shù)式

字母溫馨提示代數(shù)式的書寫必須遵循下列規(guī)則:1.數(shù)字與字母、字母與字母相乘時,乘號可以省略不寫或用“·”代替,省略乘號時,數(shù)字因數(shù)應(yīng)寫在字母因數(shù)的前面,數(shù)字是帶分?jǐn)?shù)時要改寫成假分?jǐn)?shù),數(shù)字與數(shù)字相乘時仍要寫“×”號.2.代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時,一般要寫成分?jǐn)?shù)的形式.3.用代數(shù)式表示某一個量時,代數(shù)式后面要帶單位,如果代數(shù)式是和、差形式,要用括號把代數(shù)式括起來.考點(diǎn)2整式及相關(guān)概念

數(shù)字因數(shù)之和次數(shù)最高的項所含字母相同字母的指數(shù)考點(diǎn)3整式的運(yùn)算1.加減運(yùn)算、合并同類項系數(shù)字母和字母的指數(shù)相同b+cb-c相反b-cb+cb+cb+c2.冪的運(yùn)算

相加am+n相乘amn等于各因式乘方的積相減am-n3.乘法運(yùn)算

相乘指數(shù)每一項相加4.乘法公式

a2-b2a2±2ab+b2考點(diǎn)4因式分解

多項式積因式m(a+b+c)(a+b)(a-b)(a±b)2溫馨提示(1)因式分解要分解徹底;(2)一般結(jié)果只留小括號;(3)相同因式的乘積寫成冪的形式;(4)因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.核心素養(yǎng)1.小強(qiáng)是一位密碼翻譯愛好者,在他的密碼手冊中,有這樣一條信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分別對應(yīng)下列六個字:城、愛、我、宜、游、美,現(xiàn)將(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是(

)A.我愛美

B.宜城游C.我愛宜城 D.美我宜城C2.在多項式的乘法公式中,完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2是其中重要的一個.(1)請補(bǔ)全完全平方公式的推導(dǎo)過程.(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+___________+___________+b2

=a2+___________+b2.

abba2ab(2)如圖,將邊長為a+b的正方形分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分,請你結(jié)合圖形給出完全平方公式的幾何解釋.邊長為a+b的正方形的面積等于邊長分別為a和b的兩個小正方形面積的和,再加上兩個長為a,寬為b的長方形的面積.(或邊長為a+b的正方形的面積等于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分面積之和)(3)用完全平方公式求5982的值.5982=[600+(-2)]2=6002+2×600×(-2)+(-2)2=360000-2400+4=357604.或5982=(600-2)2=6002-2×600×2+22=360000-2400+4=357604.3.神奇的等式:當(dāng)a≠b時,一般來說會有a2+b≠a+b2,然而,當(dāng)a和b是特殊的分?jǐn)?shù)時,這個等式卻可能是成立的!例如:(1)特例驗證:請再寫出一個具有上述特征的等式:__________________;

(2)猜想結(jié)論:用n(n為正整數(shù))表示分?jǐn)?shù)的分母,上述等式可表示為:____________________;

(3)證明推廣:①(2)中得到的等式一定成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;成立,請寫出一個這種形式的等式(要求m,n中至少有一個為無理數(shù));若不成立,請說明理由.①等式成立.∴左邊=右邊,∴等式成立.②此等式成立.數(shù)學(xué)文化4.如圖①為2019年10月份的日歷表,某同學(xué)任意框出了其中的四個數(shù)字,如圖②,若用m表示框圖中相應(yīng)位置的數(shù)字,則“?”位置的數(shù)字可表示為(

)A.m+1 B.m+5 C.m+6 D.m+7C5.我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出下表,此表揭示了(a+b)n(n為非負(fù)數(shù))展開式的各項系數(shù)的規(guī)律.例如:例如:(a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…則(a+b)9展開式中所有項的系數(shù)和是(

)A.128 B.256

C.512 D.1024C解析:解法一:取a=1,b=1,則可以計算(a+b)9展開式中所有項的系數(shù)和是29=512.解法二:(a+b)0的展開式中所有項的系數(shù)和為1,(a+b)1的展開式中所有項的系數(shù)和為2,(a+b)2的展開式中所有項的系數(shù)和為4,(a+b)3的展開式中所有項的系數(shù)和為8,(a+b)4的展開式中所有項的系數(shù)和為16,…,(a+b)9的展開式中所有項的系數(shù)和為29=512.6.《莊子·天下篇》中寫道:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永遠(yuǎn)也截取不完,如圖:由圖易得:命題1代數(shù)式及其求值【典例1】已知代數(shù)式a2-2a-3的值為0,那么代數(shù)式2a2-4a-5=___________.

【思路導(dǎo)引】要求代數(shù)式2a2-4a-5的值,先把代數(shù)式2a2-4a-5變形為2(a2-2a-3)+1,再整體代入求值.1解析:2a2-4a-5=2(a2-2a-3)+1=2×0+1=1.故填1.【變式訓(xùn)練】1.(2020·濰坊)若m2+2m=1,則4m2+8m-3的值是(

)A.4 B.3

C.2

D.1D2.(2020·棗莊)圖(1)是一個長為2a,寬為2b(a>b)的長方形,用剪刀沿圖中虛線(對稱軸)剪開,把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形,然后按圖(2)那樣拼成一個正方形,則中間空余的部分的面積是(

)A.ab

B.(a+b)2

C.(a-b)2 D.a2-b2C3.(2020·臨沂)若a+b=1,則a2-b2+2b-2=___________.

-14.(2020·黔西南州)如圖,是一個運(yùn)算程序的示意圖,若開始輸入x的值為625,則第2020次輸出的結(jié)果為___________.

1…依此類推,以5,1循環(huán),(2

020-2)÷2=1

009,能夠整除,所以輸出的結(jié)果是1.命題2整式的相關(guān)概念

A.2 B.3

C.4

D.5B27.(2020·綿陽)若多項式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是關(guān)于x,y的三次多項式,則mn=___________.

8.(2020·黔西南州)若7axb2與-a3by的和為單項式,則yx=_______.0或8解析:由題意,得n-2=0,1+|m-n|=3,即n=2,|m-n|=2,解得n=2,m=4或m=0,∴mn=0或8.8命題3數(shù)式規(guī)律【典例2】(2020·濱州)觀察下列各式:根據(jù)其中的規(guī)律可得an=___________(用含n的式子表示).

【思路導(dǎo)引】觀察分母的變化為3、5、7,…,2n+1次冪;分子的變化為:奇數(shù)項為n2+1;偶數(shù)項為n2-1;即第n項的分子式是n2

+

,依此即可求解.【變式訓(xùn)練】9.(2020·達(dá)州)如圖,正方體的每條棱上放置相同數(shù)目的小球,設(shè)每條棱上的小球數(shù)為m,下列代數(shù)式表示正方體上小球總數(shù),則表達(dá)錯誤的是(

)A.12(m-1) B.4m+8(m-2)C.12(m-2)+8 D.12m-16A解析:正方體共有12個棱,8個頂點(diǎn),每條棱上的小球數(shù)為m,其中每個頂點(diǎn)處的小球被重復(fù)記了2次,所以小球總數(shù)=12m-8×2=12m-16,故D正確;每條棱上不重復(fù)的小球數(shù)為(m-2),再加上重復(fù)的小球8即為小球總數(shù),則小球總數(shù)=12(m-2)+8,故C正確;每條棱都有兩個頂點(diǎn),都被重復(fù)記數(shù),被重復(fù)記數(shù)的頂點(diǎn)為8,可以分配給4條棱,在其余8條棱計算小球數(shù)時都不要再算頂點(diǎn)數(shù),則小球總數(shù)=4m+8(m-2),故B正確.10.(2020·聊城)人行道用同樣大小的灰、白兩種不同顏色的小正方形地磚鋪設(shè)而成,如圖中的每一個小正方形表示一塊地磚,如果按圖①②③…的次序鋪設(shè)地磚,把第n個圖形用圖n表示,那么圖50中的白色小正方形地磚的塊數(shù)是(

)A.150

B.200

C.355

D.505C解析:方法1:根據(jù)圖形規(guī)律可知,白色小正方形地磚的塊數(shù)分別為:①

5×3-3×1;②

5×5-3×2;③

5×7-3×3;…則圖n有白色小正方形地磚的塊數(shù)是5(2n+1)-3n=7n+5,圖50中的白色小正方形地磚的塊數(shù)是7×50+5=355.方法2:從數(shù)字規(guī)律考慮,圖①②③中白色小正方形地磚的塊數(shù)分別為12,19,26,…發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)的差均為7,即有①

12=7×1+5;②

19=7×2+5;③

26=7×3+5;…則圖n中白色小正方形地磚的塊數(shù)是7n+5,50中的白色小正方形地磚的塊數(shù)是7×50+5=355.方法3:從函數(shù)角度入手考慮,根據(jù)題意,初步猜想白色小正方形地磚的塊數(shù)s與圖形序號n具有一次函數(shù)關(guān)系,設(shè)s=kn+b,把(1,12),(2,19)代入,驗證:當(dāng)n=3時,s=7×3+5=26,符合題意.當(dāng)n=50時,s=7×50+5=355.11.(2020·德州)下面是用黑色棋子擺成的美麗圖案,按照這樣的規(guī)律擺下去,第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數(shù)為(

)A.148

B.152

C.174

D.202C解析:根據(jù)圖形,第1個圖案有12枚棋子,第2個圖案有22枚棋子,第3個圖案有34枚棋子,…第n個圖案有2(1+2+…+n+2)+2(n-1)=n2+7n+4枚棋子,故第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數(shù)為102+7×10+4=100+70+4=174(枚).故選C.12.(2020·安徽)觀察以下等式:

按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第6個等式:________________;

(2)寫出你猜想的第n個等式:_______________(用含n的等式表示),并證明.

∴等式成立.命題4整式的運(yùn)算13.(2020·聊城)下列計算正確的是(

)A.a2·a3=a6

B.a6÷a-2=a-3C.(-2ab2)3=-8a3b6 D.(2a+b)2=4a2+b214.(2020·濰坊)下列運(yùn)算正確的是(

)A.2a+3b=5ab

B.a3·a2=a5C.(a+b)2=a2+b2 D.(a2b)3=a6bCBC16.(2020·北京)已知5x2-x-1=0,求代數(shù)式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.

解:(3x+2)(3x-2)+x(x-2)=9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4,∵5x2-x-1=0,∴