2021-2022學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市庵埔洪林迎中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D2.已知sin（+α）=，則cos（﹣2α）=（）A．B． C．﹣D．參考答案：C【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式，求得cos（﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos（﹣2α）的值．【解答】解：∵sin（+α）==cos（﹣α），則cos（﹣2α）=2﹣1=﹣1=﹣，故選：C．3.已知集合A={x|x2+2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，則A∩B=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2） C．[﹣2，1] D．[1，2）參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出A中不等式的解集確定出A，找出A與B的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x﹣1）（x+3）≥0，解得：x≤﹣3或x≥1，即A=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[1，2），故選：D．4.已知雙曲線﹣=1的一條漸近線方程為y=x，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的漸近線方程為y=±，由雙曲線的一條漸近線方程為y=，就可得到含a，b的齊次式，再把b用a，c表示，根據(jù)雙曲線的離心率e=，就可求出離心率的值．【解答】解：∵雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴漸近線方程為y=±，又∵漸近線方程為y=，∴∴∵b2=c2﹣a2，∴化簡(jiǎn)得，即e2=，e=故選A5.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略6.若,則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A

解析：7.直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=，則sin∠BAC=（）A． B． C． D．或參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】設(shè)DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x，先在Rt△ADE中，由tan∠BAD=，得出AE=5k，AD=k，在Rt△BDE中，由勾股定理求出BE，于是AB=AE+BE=5k+，然后根據(jù)AC的長(zhǎng)度不變得出AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，即26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2，解方程求出x=k，或x=k，然后在Rt△ABC中利用正弦函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：設(shè)DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x．∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠BAD==，∴AE=5DE=5k，∴AD==k．∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，∴BE==，∴AB=AE+BE=5k+．∵∠C=90°，∴AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，即26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2，解得k2=x2，或x2，即x=k，或x=k，經(jīng)檢驗(yàn)，x=k，或x=k是原方程的解，∴BC=3k，或k，AB=AE+BE=5k+=6k，或，∴sin∠BAC==，或．8.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則的值為（

）

A． B． C． D．參考答案：A試題分析：因?yàn)?，所以，則.故選A.考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的性質(zhì)；2.二倍角公式的應(yīng)用.

9.集合，，則集合為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B10.橢圓的內(nèi)接三角形（頂點(diǎn)、、都在橢圓上）的邊分別過(guò)橢圓的焦點(diǎn)和，則周長(zhǎng)………（

）（A）總大于

（B）總等于

（C）總小于

（D）與的大小不確定參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為60，則實(shí)數(shù)等于

．參考答案：12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)=

．參考答案：4由二項(xiàng)式定理得，令，則，所以的系數(shù)為，所以，．13.（3分）正四棱錐P﹣ABCD的所有棱長(zhǎng)均相等，E是PC的中點(diǎn)，那么異面直線BE與PA所成的角的余弦值等于．參考答案：考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．專題：空間角．分析：根據(jù)異面直線所成角的定義先找出對(duì)應(yīng)的平面角即可得到結(jié)論．解答：連結(jié)AC，BD相交于O，則O為AC的中點(diǎn)，∵E是PC的中點(diǎn)，∴OE是△PAC的中位線，則OE∥，則OE與BE所成的角即可異面直線BE與PA所成的角，設(shè)四棱錐的棱長(zhǎng)為1，則OE==，OB=，BE=，則cos==，故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角，作出角并能由三角形的知識(shí)求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題14.已知直線和圓,則與直線和圓都相切且半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________．

參考答案：15.正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，分別在拋物線和上，如圖所示．若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是__________．參考答案：略16.直線l的參數(shù)方程是（其中t為參數(shù)），圓c的極坐標(biāo)方程為，過(guò)直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值是

.參考答案：2【知識(shí)點(diǎn)】選修4-4

參數(shù)與參數(shù)方程N(yùn)3∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ+），∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ，

∴x2+y2=x-y，即（x-）2+（y+）2=1，

∴圓C是以M（，-）為圓心，1為半徑的圓

化直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）為普通方程：x-y+4=0，

∵圓心M（，-）到直線l的距離為d==5，

要使切線長(zhǎng)最小，必須直線l上的點(diǎn)到圓心的距離最小，此最小值即為圓心M（，-）到直線的距離d，由勾股定理求得切線長(zhǎng)的最小值為==2．【思路點(diǎn)撥】將圓的極坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離，要使切線長(zhǎng)最小，必須直線l上的點(diǎn)到圓心的距離最小，此最小值即為圓心到直線的距離d，求出d，由勾股定理可求切線長(zhǎng)的最小值．17.已知,且滿足，則__________。參考答案：由，所以,(kz)。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，對(duì)任意的，滿足，其中為常數(shù)．（1）若的圖像在處切線過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）已知，求證：；（3）當(dāng)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．參考答案：（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）.試題分析：第一問(wèn)根據(jù)題中所給的條件，給賦值，得出的關(guān)系，再根據(jù)小題中所給的圖像在某點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，得出的關(guān)系式，聯(lián)立可以求得的值，對(duì)于第二問(wèn)，寫(xiě)出的式子，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決，第三問(wèn)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值的符號(hào)來(lái)解決即可得結(jié)果.試題解析：（1）在中，取，得，又，所以．

……1分從而，，．又，所以，．

………………3分（2）．令，則．所以，時(shí)，，單調(diào)遞減，

……………5分故時(shí)，．所以，時(shí)，．

………………7分（3）．①當(dāng)時(shí)，在上，，遞增，所以，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

…………………8分②當(dāng)時(shí)，在上，，遞減，所以，也至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

………10分③當(dāng)時(shí)，令，得，．此時(shí)，在上遞減，上遞增，上遞減，所以，至多有三個(gè)零點(diǎn)．

…………12分因?yàn)樵谏线f增，所以．又因?yàn)?，所以，使得．……?3分又，，所以恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)：，，．綜上所述，當(dāng)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是．………………14分考點(diǎn)：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí),函數(shù)的極值、零點(diǎn)，二次方程根的分布等知識(shí)，函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.19.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明其表示什么軌跡；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，求直線被曲線截得的弦長(zhǎng).參考答案：(1)的極坐標(biāo)方程為,表示圓；(2).試題分析：(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可;(2)將轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，由勾股定理求弦長(zhǎng)即可.

（2）∵直線的直角坐標(biāo)方程為∴圓心到直線的距離為，∴弦長(zhǎng)為.考點(diǎn)：1.參數(shù)方程與普通方程的互化；2.直線坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化；3.直線與圓的位置關(guān)系.20.設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若{bn}為等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：（Ⅰ）依題意得，即．

……………1分

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1+1=2

……………2分

當(dāng)n≥2時(shí)，

……………4分

滿足上式

……………5分

所以

……………6分（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，解得，又

，

……………8分

，

……………9分

……………12分21.如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高為3，底面是邊長(zhǎng)為4且∠DAB=的菱形，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中點(diǎn).（1）求證：平面O1AC⊥平面O1BD；（2）求二面角O1－BC－D的大??；（3）求點(diǎn)E到平面O1BC的距離.參考答案：解析：證明：（1）在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∵底面是菱形，且AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，∴OO1∥CC1，又四棱柱是直四棱柱，∴OO1⊥面ABCD，且AC面ABCD，∴OO1⊥AC，又底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥面O1BD，又AC面O1AC，故平面O1AC⊥平面O1BD.（2）過(guò)O作OF⊥BC于F，連結(jié)O1F，根據(jù)三垂線定理，得O1F⊥BC，∴∠O1FO為所求角，∵底面是邊長(zhǎng)為4且∠DAB=的菱形，∴OF=，又OO1=3，故tan∠O1FO=，即∠O1FO=，故二面角O1－BC－D的大小是.（3）設(shè)點(diǎn)A到面O1BC的距離為h，根據(jù)（2）可知，O1F=2

，∴，即×h×BC×O1F=×O1O××42×sin，∴h=3，又E是O1A的中點(diǎn)，故E到面O1BC的距離為.22.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于x軸上方的A，B兩點(diǎn)，且，(1)求橢圓的離心率；(2)(i)求直線AB的斜率；(ii)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線F2B上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值.

參考答案：解：(1)由得，-------------------------1分從而

-------------------------2分

整理，得，

-------------------------3分故離心率

------------------------4分(2)解法一：(ⅰ)由（I）得，所以橢圓的方程可寫(xiě)------------5分

設(shè)直線AB的方程為，即.

由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得.

------------------------6分依題意，而

①

②

------------------------7分由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以

③聯(lián)立①③解得，

------------------------8分將代入②中，解得.

------------------------9分解法二：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，帶入橢圓方程

消去，解得解出(依照解法一酌情給分)(ⅱ)由(ⅰ)可知當(dāng)時(shí)