第十一章計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第5節(jié)古典概型與幾何概型考試要求1.理解古典概型及其概率計算公式；2.會計算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率；4.了解幾何概型的意義.知識診斷基礎(chǔ)夯實內(nèi)容索引考點突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實1知識梳理(1)基本事件的特點①任何兩個基本事件是______的.②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.(2)古典概型的定義具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.1.古典概型互斥有限個相等(3)古典概型的概率公式P(A)＝___________________________.(1)幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的____________________成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.(2)幾何概型的兩個基本特點2.幾何概型長度(面積或體積)無限多個等可能性常用結(jié)論1.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時P(A∩B)＝0.2.幾何概型的基本事件的個數(shù)是無限的，古典概型中基本事件的個數(shù)是有限的.×診斷自測(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(

)(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件.(

)(3)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.(

)(4)概率為0的事件一定是不可能事件.(

)1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)×√×解析對于(1)，發(fā)芽與不發(fā)芽不一定是等可能，所以(1)不正確；對于(2)，三個事件不是等可能，其中“一正一反”應(yīng)包括正反與反正兩個基本事件，所以(2)不正確；對于(4)，概率為0的事件有可能發(fā)生，所以(4)不正確.A2.袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球抽到白球的概率為(

)A3.(2020·全國Ⅰ卷)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為(

)CA.10% B.50% C.60% D.90%5.(2022·長春質(zhì)量監(jiān)測)張老師居住的一條街上，行駛著甲、乙兩路公交車，這兩路公交車的數(shù)目相同，并且都是每隔十分鐘就到達(dá)車站一輛(即停即走).張老師每天早晨都是在6：00到6：10之間到達(dá)車站乘車到學(xué)校，這兩條公交線路對他是一樣的，都可以達(dá)到學(xué)校，甲路公交車的到站時間是6：09，6：19，6：29，6：39，…，乙路公交車的到站時間是6：00，6：10，6：20，6：30，…，則張老師乘坐上甲路公交車的概率是(

)D6.(易錯題)將一段長為3米的木棒鋸成兩段，則這兩段木棒長度都不少于1米的概率為________.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一古典概型的簡單計算1.生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標(biāo).若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為(

)B2.(2021·全國甲卷)將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為(

)C3.(2022·大同調(diào)研)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)齊王與田忌各出上等馬、中等馬、下等馬一匹，共進(jìn)行三場比賽，規(guī)定每一場雙方均任意選一匹馬參賽，且每匹馬僅參賽一次，勝兩場或兩場以上者獲勝，則田忌獲勝的概率為________.解析不妨記齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A1，A2，A3，田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為B1，B2，B3，則所有可能的情況為古典概型中基本事件個數(shù)的探求方法：(1)枚舉法：適合于給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的問題.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定基本事件時(x，y)可看成是有序的，如(1，2)與(2，1)不同，有時也可看成是無序的，如(1，2)與(2，1)相同.(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的基本事件個數(shù)時，可利用排列或組合的知識.感悟提升考點二古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用例1

(2022·江西八所重點中學(xué)調(diào)研)某校為了宣傳垃圾分類知識，面向該校學(xué)生開展了“垃圾分類知識”網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位學(xué)生僅有一次參與機(jī)會，通過抽樣，得到100人的得分情況，將樣本數(shù)據(jù)分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五組，并整理得到如下頻率分布直方圖；解∵中位數(shù)為75，∴0.005×10＋10y＋0.04×(75－70)＝0.5，∴y＝0.025，又∵0.05＋0.25＋0.4＋10x＋0.1＝1，∴x＝0.02，已知成績的中位數(shù)為75.(1)求x，y的值，并求出成績的平均數(shù)(同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間中點值代替)；解法一第四組與第五組人數(shù)的比為2∶1，∴從第四組抽選4人，記為1，2，3，4，從第五組抽選2人，記為a，b，所有基本事件為(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，4)，(2，a)，(2，b)，(3，4)，(3，a)，(3，b)，(4，a)，(4，b)，(a，b)共15種，來自同一組的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(a，b)，共7種情況，(2)現(xiàn)用分層抽樣從第四組和第五組按照比例抽選出6人進(jìn)行垃圾分類知識競答活動，再從中選出兩人進(jìn)行一對一PK，求抽出的兩人恰好來自同一組的概率.法二第四組與第五組的人數(shù)之比為2∶1，所以利用分層抽樣從第四組與第五組中分別抽選4人，2人.設(shè)從6人中抽選兩人恰好來自同一組為事件A，有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型.概率與統(tǒng)計的結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵.感悟提升(1)請判斷小組A與小組B哪一個更像是由專業(yè)人士組成的，并說明理由；訓(xùn)練1

(2022·東北三省四市模擬)在一個文藝比賽中，5名專業(yè)人士和5名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分.下面是兩組評委對同一名選手的打分：小組A9295939590小組B9880908597解A打分更穩(wěn)定.理由如下：由表格數(shù)據(jù)，知：故小組A打分穩(wěn)定，更像是由專業(yè)人士組成的.(2)若從A組的5位評委中任選2位評委，求其中恰有一位評委打分為95的概率.角度1與長度(角度)有關(guān)的幾何概型考點三幾何概型例2

(1)在[－6，9]內(nèi)任取一個實數(shù)m，設(shè)f(x)＝－x2＋mx＋m，則函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點的概率等于(

)D(2)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點M，則AM＜AC的概率為________.解析過點C作CN交AB于點N，使AN＝AC，如圖所示.顯然當(dāng)射線CM處在∠ACN內(nèi)時，AM＜AC，又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍，當(dāng)考查對象為點，且點的活動范圍在線段上時，用“線段長度”為測度計算概率，求解的核心是確定點的邊界位置.2.當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角對應(yīng)的弧長的大小作為區(qū)域度量來計算概率.事實上，當(dāng)半徑一定時，曲線弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比.感悟提升例3

(1)(2021·南充聯(lián)考)如圖所示的陰影部分是由x軸及曲線y＝sinx圍成的，在矩形區(qū)域OABC內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點取自陰影部分的概率是(

)角度2與面積有關(guān)的幾何概型AB幾何概型與平面幾何的交匯問題：要利用平面幾何的相關(guān)知識，先確定基本事件對應(yīng)區(qū)域的形狀，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸剑嬎愠銎涿娣e，進(jìn)而代入公式求概率.感悟提升角度3與體積有關(guān)的幾何概型B對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及構(gòu)成事件的區(qū)域的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求.感悟提升訓(xùn)練2

(1)(2022·延安一模)在區(qū)間[－1，1]上隨機(jī)取一個數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為(

)C(2)中華文化博大精深，我國古代算書《周髀算經(jīng)》中介紹了用統(tǒng)計概率得到圓周率π的近似值的方法.古代數(shù)學(xué)家用體現(xiàn)“外圓內(nèi)方”文化的錢幣(如圖1)做統(tǒng)計，現(xiàn)將其抽象成如圖2所示的圖形，其中圓的半徑為2cm，正方形的邊長為1cm，在圓內(nèi)隨機(jī)取點，若統(tǒng)計得到此點取自陰影部分的概率是p，則圓周率π的近似值為(

)A(3)有一個底面半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級基礎(chǔ)鞏固1.一枚硬幣連擲2次，恰好出現(xiàn)1次正面的概率是(

)A2.設(shè)m，n∈{0，1，2，3，4}，向量a＝(－1，－2)，b＝(m，n)，則a∥b的概率為(

)B3.(2021·永州模擬)2018年湖南等8省公布了高考改革綜合方案，將采取“3＋1＋2”模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門，則某同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為(

)C4.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(

)B5.在集合A＝{2，3}中隨機(jī)取一個元素m，在集合B＝{1，2，3}中隨機(jī)取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為(

)B6.(2021·上饒模擬)在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)部任取一點P，則滿足∠APB為銳角的概率為(

)D解析以AB為直徑的半圓外的區(qū)域滿足∠APB為銳角，當(dāng)k＝±2時，冪函數(shù)f(x)＝xk為偶函數(shù)，從而冪函數(shù)f(x)＝xk為偶函數(shù)包含的基本事件個數(shù)為2，(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；10.某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊.解設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事件A，記“參賽女生有2人”為事件B，“參賽女生有3人”為事件C.(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機(jī)抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.抽獎活動的獎勵規(guī)則是：①若取出的兩個小球上數(shù)字之積大于4，則獎勵飛機(jī)玩具一個；②若取出的兩個小球上數(shù)字之積在區(qū)間[1，4]內(nèi)，則獎勵汽車玩具一個；③若取出的兩個小球上數(shù)字之積小于1，則獎勵飲料一瓶.11.在某親子游戲結(jié)束時有一項抽獎活動，抽獎規(guī)則是：盒子里面共有4個小球，小球上分別寫有0，1，2，3的數(shù)字，小球除數(shù)字外其他完全相同，每對親子中，家長先從盒子中取出一個小球，記下數(shù)字后將小球放回，孩子再從盒子中取出一個小球，記下小球上數(shù)字將小球放回.解基本事件總數(shù)有16個，分別為(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)；記“獲得飛機(jī)玩具”為事件A，則事件A包含的基本事件有3個，分別為(2，3)，(3，2)，(3，3).(1)求每對親子獲得飛機(jī)玩具的概率；解記“獲得汽車玩具”為事件B，“獲得飲料”為事件C，事件B包含的基本事件有6個，分別為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(2)試比較每對親子獲得汽車玩具與獲得飲料的概率，哪個更大？請說明理由.B級能力提升12.(2021·長春質(zhì)檢)我國古人認(rèn)為宇宙萬物是由金、木、水、火、土這五種元素構(gòu)成的，歷史文獻(xiàn)《尚書·洪范》提出了五行的說法，到戰(zhàn)國晚期，五行相生相克的思想被正式提出.這五種物質(zhì)屬性的相生相克關(guān)系如圖所示，若從這五種物質(zhì)中隨機(jī)選取三種，則取出的三種物質(zhì)中，彼此間恰好有一個相生關(guān)系和兩個相克關(guān)系的概率為(

)B法三

(列舉法)依題意，三種物質(zhì)間相生相克關(guān)系如下表，金木水金木火金木土金水火金水土金火土木水火木水土木火土水火土×√√√×××√×√解析因為a∈A，b∈A，所以可用列表法得到基本事件的個數(shù)為9(如下表所示).13.已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，則A∩B＝B的概率是(

)Cab

1231(1，1)(1，2)(1，3)2(2，1)(2，2)(2，3)3(3，1)(3，2)(3，3)因為A∩B＝B，所以B可能是?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}.當(dāng)B＝?時，a2－4b<0，滿足條件的a，b為a＝1，b＝1，2，3；a＝