4.1.1

n次方根與分數(shù)指數(shù)冪第四章

§4.1指數(shù)學習目標1.理解n次方根、根式的概念.2.能正確運用根式運算性質(zhì)化簡求值.(重點)3.會對分式和分數(shù)指數(shù)冪進行轉(zhuǎn)化.4.掌握并運用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).(重難點)導語公元前五世紀，古希臘有一個數(shù)學學派名叫畢達哥拉斯學派，其學派中的一個成員希伯斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)來表示，希伯斯的發(fā)現(xiàn)導致了數(shù)學史上第一個無理數(shù)

的誕生.這就是本節(jié)課我們要學習的根式.一、n次方根與根式二、分數(shù)指數(shù)冪三、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)隨堂演練內(nèi)容索引n次方根與根式

一問題1

(1)若x2＝3，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？若x2＝－3呢？提示若x2＝3，則這樣的x有2個，它們都稱為3的平方根，記作

；若x2＝－3，則這樣的x不存在.(2)若x3＝3，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？若x3＝－3呢？提示若x3＝3，則這樣的x有1個，它叫做3的立方根，記作

；若x3＝－3，則這樣的x也只有1個，它叫做－3的立方根，記作

.(3)若x4＝3，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？若x4＝－3呢？提示若x4＝3，則這樣的x有2個，它們都稱為3的四次方根，記作

；若x4＝－3，則這樣的x不存在.(4)若x5＝3，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？若x5＝－3呢？提示若x5＝3，則這樣的x有1個，它叫做3的五次方根，記作

；若x5＝－3，則這樣的x也只有1個，它叫做－3的五次方根，記作

.問題2根據(jù)n次方根的定義，當n為奇數(shù)時，是否對任意實數(shù)a都存在n次方根？當n為偶數(shù)時呢？3.根式式子

叫做

，這里n叫做

，a叫做

.知識梳理1.n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的

，其中n>1，且n∈N*.2.n次方根的性質(zhì)n次方根n為奇數(shù)n為偶數(shù)a∈Ra>0a＝0a<0x＝____x＝_____x＝0不存在根式根指數(shù)被開方數(shù)4.根式的性質(zhì)(1)

沒有偶次方根.負數(shù)0aa注意點：例1(1)化簡下列各式：原式＝(－2)＋(－2)＝－4.原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(2)若

＝a－1，求實數(shù)a的取值范圍.∴a－1≥0，∴a≥1，∴實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞).∵－3<x<3，∴當－3<x<1時，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；當1≤x<3時，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.延伸探究∴a－1≤0，∴a≤1，∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].2.在本例(3)中，若將“－3<x<3”變?yōu)椤皒≤－3”，則結(jié)果又是什么？∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.反思感悟跟蹤訓練1

化簡下列各式：分數(shù)指數(shù)冪

二問題3觀察下列各式，你能得出什么結(jié)論？提示通過觀察兩式可以得出，當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式.問題4類比以上兩式，你能運用分數(shù)指數(shù)冪表示出下列各式嗎？由此你能得出什么結(jié)論？可以得出：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.問題5因為a－n(a≠0)可以寫成

，那么(a≠0)能否寫成

？提示能.1.根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化(1)規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1)；(2)規(guī)定正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：

＝

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1)；(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于

,0的負分數(shù)指數(shù)冪

.知識梳理0沒有意義2.整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).注意點：(1)分數(shù)指數(shù)冪

不可理解為

個a相乘，它是根式的一種寫法；(2)有理數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)的記憶口訣：乘相加，除相減，冪相乘；(4)不要自創(chuàng)公式，嚴格按照公式化簡、運算.例2(1)化簡

的結(jié)果是√A.B.C.D.都不對√原式＝√原式＝

＝

.反思感悟根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)

分數(shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)

分數(shù)指數(shù)的分子.(2)在具體計算時，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)解題.跟蹤訓練2原式＝a·＝.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

三(1)＝_____.(式中的字母均是正數(shù))例3原式＝＝

＝

＝(2)計算：

－

－(π－3)0＋

.反思感悟關(guān)于指數(shù)式的化簡、求值問題(1)無論是化簡還是求值，一般的運算順序是先乘方，再乘除，最后加減.(2)仔細觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，確定運算層次，避免運用運算性質(zhì)時出錯.跟蹤訓練3