第1課時基本不等式第二章

§2.2基本不等式學習目標1.了解基本不等式，理解基本不等式的推導過程.(難點)2.能夠應用基本不等式解決簡單的最值問題.(難點)導語一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你覺得店主這個買賣做到誠信無欺了嗎？為解決這個問題，我們一起進入今天的課堂吧！一、基本不等式的證明與理解二、求簡單代數(shù)式的最值三、最值定理隨堂演練內(nèi)容索引基本不等式的證明與理解

一問題1

如圖是不等式第一節(jié)課我們抽象出來的在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，你還記得我們得出什么樣的結(jié)論嗎？實際上該不等式對任意的實數(shù)a，b都能成立，我們稱該不等式為重要不等式.問題3上述不等式是在重要不等式基礎上轉(zhuǎn)化出來的，是否對所有的a>0，b>0都能成立？請給出證明.提示方法一

(作差法)方法二

(利用不等式性質(zhì)證明)方法三(利用幾何意義證明)如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC＝a，BC＝b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD，顯然，當且僅當點C與圓心重合，即當a＝b時，上述不等式的等號成立，由此也可以得出圓的半徑不小于半弦.知識梳理基本不等式：(2)兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)

它們的幾何平均數(shù).a＝b算術(shù)不小于注意點：求簡單代數(shù)式的最值

二例1故原式的最大值為－4.A.1

B.2

C.3

D.4√當且僅當a＝2時取“＝”.反思感悟在利用基本不等式求最值時要注意三點一是各項均為正；二是尋求定值，求和式的最小值時應使積為定值(恰當變形，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號成立的條件是否具備，檢驗多項式取得最值時的x的值是否為已知范圍內(nèi)的值，三點缺一不可.跟蹤訓練1

(1)(多選)下面四個推導過程正確的有√√B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的條件，－1∵x<3，則3－x>0，最值定理

三問題4你能寫出基本不等式的幾種變形嗎？由此我們發(fā)現(xiàn)若兩個正數(shù)的和為定值，我們可以求這兩個數(shù)乘積的最大值，若兩個數(shù)的乘積為定值，我們可以求這兩個數(shù)和的最小值.知識梳理最值定理已知x，y都為正數(shù)，則(1)如果積xy等于定值P，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值

；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值

，簡記為：積定和最

，和定積最

.小大注意點：(1)三個關鍵點：一正、二定、三相等.①一正：各項必須為正；②二定：各項之和或各項之積為定值；③三相等：必須驗證取等號時的條件是否具備.(2)探求過程中常需依據(jù)具體的問題進行合理的拆項、湊項、配項等變換.例2

(1)設x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為A.80

B.77

C.81

D.82√因為x>0，y>0，當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，(xy)max＝81.(2)已知0<x<1，則y＝x(1－x)的最大值為____.反思感悟通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于“拼”系數(shù)、“湊”常數(shù)，應注意以下幾個方面：①拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價轉(zhuǎn)換；②代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；③拆項、添項應注意檢驗“一正二定三相等”.跟蹤訓練2

(1)若m>0，n>0，mn＝9，則m＋n的最小值是√因為m>0，n>0，mn＝9，當且僅當m＝n＝3時，等號成立.(2)當0＜x＜4時，求3x(4－x)的最大值.∵0＜x＜4，∴4－x＞0，當且僅當x＝2時，等號成立，∴3x(4－x)的最大值為12.課堂小結(jié)1.知識清單：(1)基本不等式的推導與證明.(2)