8.6.1直線與直線垂直學習目標1.會求給定兩條異面直線所成的角的大??；2.理解異面直線所成的角的概念；3.理解異面直線垂直的定義；4.會證明空間中兩條直線垂直．復習回顧回顧1你能將下面的判定定理與性質進行描述嗎？直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行觀察可能導致發(fā)現，觀察將揭示某種規(guī)律模式或定律.——波利亞新知探究回顧2

空間中兩條直線的位置關系有哪些？

相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點共面直線

平行直線：同一平面內，沒有公共點異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點思考：它們都是異面直線嗎，A′D與AC相對于BC′的位置關系相同嗎？思考：如何描述這種差異？初中我們已經研究了平行直線和相交直線，本節(jié)主要研究異面直線新知探究

在平面內,兩條直線相交成四個角,其中不大于90度的角稱為它們的夾角,它刻畫了一條直線相對于另一條直線傾斜的程度,如圖.O思考：異面直線有沒有夾角呢？若有，那如何找出這個夾角？如圖,已知兩條異面直線a，b,經過空間任一點O作直線a′//a，b′//b,則把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).思考：這個角的大小與O點的位置有關嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?不會，等角定理新知探究特別地,如果θ=90o,我們就稱這兩條直線互相垂直,記為a⊥b.范圍：異面直線夾角的范圍是什么？異面直線夾角的定義體現了什么思想？

轉化思想

①將空間圖形轉化為平面圖形

②異面直線夾角轉化為相交直線的夾角

異面垂直新知探究例1如右圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？

(2)求直線BA′與CC′所成角的大小.

(3)求直線BA′與AC所成角的大小.解：(1)與直線AA1垂直的棱所在直線有AB,BC,CD,DA,A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.

(2)在正方體ABCD-A′B′C′D′中,∵CC′∥BB′,∴∠B′BA為直線BA′與CC′所成的角.而∠B′BA=45°.∴直線BA′與CC′所成角的大小為45°.

(3)連接A′C′,BC′.∴∠BA′C′為直線BA′與AC所成的角.在正方體ABCD-A′B′C′D′中，△A′BC′是等邊三角形，∴∠BA′C′=60°，∴直線BA′與AC所成的角等于60°.新知探究(1)作角：通過平移直線，作出夾角；(2)求角：常利用解三角形知識；(3)定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角.你能歸納求兩條異面直線所成的角的一般步驟嗎？簡記：一作、二求、三定新知探究

例2如右圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心，求證：AO1⊥BD.證明：如圖示，連接B1D1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴BB1

DD1.∴四邊形BB1D1D是平行四邊形.∴B1D1//BD.∴直線AO1與B1D1所成的角即為AO1與BD所成的角.

連接AB1，AD1，易證AB1=AD1.又O1為底面A1B1C1D1的中心，∴O1是B1D1的中點，∴AO1⊥B1D1，∴AO1⊥BD.BDCA1B1C1D1AO1?新知探究變式1四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為_______解：畫出圖如圖所示，將AP平移到BE的位置，連接DE，則角DBE即是兩條異面直線所成的角.由于三角形BDE為等邊三角形，故兩條異面直線所成的角為60°.新知探究變式2

在棱長為4的正四面體ABCD中，求異面直線AB和CD所成的角.解：取BC中點E,AC中點M,AD中點F,連接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB∴∠EMF即異面直線AB和CD所成的角或其補角MF=ME=2，EF=∴MF2+ME2=EF2∴∠EMF=90°∴異面直線AB和CD的夾角是90°.新知探究新知探究新知探究1.如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB＝AD＝

，AA'＝2，求:(1)直線BC和A'C'所成的角的大小；(2)直線AA'和BC'所成的角的大小.BDCA'B'C'D'A解：(1)在長方體ABCD-A′B′C′D′中,∵BC∥B′C′,∴∠B′C′A′為直線BC與A′C′所成的角.在Rt△A′B′C′中，

A′B′=B′C′，∴∠B′C′A′=45°.∴直線BC與A′C′所成的角的大小為45°.鞏固練習

2.如圖，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D為棱AC的中點，AB=BB′=2.求證：BD⊥AC′.證明

如圖