數(shù)據(jù)庫(kù)關(guān)系運(yùn)算理論1第一頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六任何一種運(yùn)算都是將一定的運(yùn)算符作用于一定的運(yùn)算對(duì)象，得到預(yù)期的運(yùn)算結(jié)果。關(guān)系代數(shù)的運(yùn)算對(duì)象和結(jié)果都是關(guān)系。運(yùn)算符包括四類：集合運(yùn)算符、專門關(guān)系運(yùn)算符、算術(shù)比較符、邏輯運(yùn)算符第三節(jié)：關(guān)系代數(shù)第二頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六3第三頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六1.關(guān)系代數(shù)的基本操作（1）定義

關(guān)系代數(shù)是一組建立在關(guān)系上的高級(jí)運(yùn)算，每個(gè)運(yùn)算都以一個(gè)或多個(gè)關(guān)系作為它的運(yùn)算對(duì)象，并且生成一個(gè)關(guān)系作為運(yùn)算結(jié)果。(a)運(yùn)算對(duì)象：關(guān)系

(b)運(yùn)算結(jié)果：關(guān)系

第四頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)關(guān)系運(yùn)算分類(a)傳統(tǒng)的集合運(yùn)算：

合并∪、相交∩、求差-（相減）、笛卡爾積×

(運(yùn)算從關(guān)系的水平（行）的角度來(lái)進(jìn)行）

(b)專門的關(guān)系運(yùn)算：

選擇σ

、投影π

、聯(lián)接、求商÷

（運(yùn)算不僅涉及行而且涉及列）第五頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六

具有相同屬性集的兩個(gè)關(guān)系R1，R2

的合并，是由屬于R1或?qū)儆赗2（或?qū)儆趦烧撸┑乃性Mt（不計(jì)重復(fù)元組）組成的一個(gè)新的關(guān)系，新關(guān)系具有和R1相同的屬性名集合。

運(yùn)算符：“∪”

記為：R1∪R2

①合并第六頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六例如ABC123456789ABC7894565112RSR∪S的結(jié)果為：ABC1234567895112第七頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六②差（相減）

具有相同屬性集的兩個(gè)關(guān)系R1,R2的求差，是由屬于R1而不屬于R2的所有元組t組成的一個(gè)新的關(guān)系，新關(guān)系具有和R1相同的屬性名集合。

運(yùn)算符：“－”

記為：R1-R2

第八頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六例如ABC123456789ABC7894565112RSR-S的結(jié)果為：ABC123第九頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六③

笛卡爾積

兩個(gè)關(guān)系R,S（設(shè)R為k1元關(guān)系，M個(gè)元組，S為k2元關(guān)系，N個(gè)元組）的廣義笛卡爾積，是一個(gè)（K1+K2）列的元組的集合，是由屬于R1的任何一個(gè)元組tk1和屬于S的元組tk2連接而成的新元組t所組成的一個(gè)新關(guān)系。（新關(guān)系中元組的前K1列是關(guān)系R的一個(gè)元組，后K2列是關(guān)系S的一個(gè)元組，基數(shù)為M*N）

運(yùn)算符："×"

記為：R

×S

第十頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六例如：第十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六例如：R×SABCabcbceedcCDcdefRSABR.CS.CDabccdabcefbcecdbceefedccdedcefR×S結(jié)果為：R×S結(jié)果中元組的個(gè)數(shù)（即基數(shù),行數(shù)）=R和S中行數(shù)之積；屬性的個(gè)數(shù)(即元數(shù),列數(shù))=R和S中列數(shù)之和。第十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六④

交具有相同屬性集的兩個(gè)關(guān)系R1,R2的相交，是由既屬于R1又屬于R2的所有元組t組成的一個(gè)新的關(guān)系，新關(guān)系具有和R1相同的屬性名集合。

運(yùn)算符："∩"

記為：R1∩R2第十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六S-RR-SR∩SR∩S=R-(R-S)

R∩S=S-(S-R)第十四頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六例如ABC123456789ABC7894565112RSR∩S的結(jié)果為：ABC456789第十五頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六⑤選擇（限制）從現(xiàn)有關(guān)系中選擇滿足一定條件的元組組成新的關(guān)系。（從行的角度進(jìn)行運(yùn)算）

運(yùn)算符“δ”

記為：δF（R）={t|t

∈R∧F(t)=true}其中F為選擇條件，是一個(gè)邏輯表達(dá)式——運(yùn)算對(duì)象：常量、屬性名(序號(hào))、簡(jiǎn)單函數(shù)運(yùn)算符：算術(shù)比較運(yùn)算符、邏輯運(yùn)算符

16第十六頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六選擇運(yùn)算是從行的角度進(jìn)行的運(yùn)算σ例如設(shè)有一個(gè)學(xué)生-課程數(shù)據(jù)庫(kù)，包括學(xué)生關(guān)系Student、課程關(guān)系Course和選修關(guān)系SC。17第十七頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六選擇（續(xù)）學(xué)號(hào)Sno姓名Sname性別Ssex年齡Sage所在系Sdept95001李勇男20CS95002劉晨女19IS95003王敏女18MA95004張立男19IS(a)

Student18第十八頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六選擇（續(xù)）(b)Course課程號(hào)課程名先行課學(xué)分CnoCnameCpnoCcredit1數(shù)據(jù)庫(kù)542數(shù)學(xué)

23信息系統(tǒng)144操作系統(tǒng)635數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)746數(shù)據(jù)處理

27PASCAL語(yǔ)言6419第十九頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六選擇（續(xù)）

(c)SC學(xué)號(hào)課程號(hào)成績(jī)SnoCnoGrade950011929500128595001388950022909500238020第二十頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六選擇（續(xù)）[例1]查詢信息系（IS系）全體學(xué)生

σSdept

='IS'(Student)

或σ5='IS'(Student)結(jié)果：SnoSnameSsexSageSdept95002劉晨女19IS95004張立男19IS注意：常量要用單引號(hào)括起來(lái)，而屬性名或?qū)傩孕蛱?hào)不用加引號(hào)。21第二十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六選擇（續(xù)）[例2]查詢年齡小于20歲的學(xué)生

σSage<’20’(Student)

或σ4<’20’(Student)

結(jié)果：

SnoSnameSsexSageSdept95002劉晨女19IS95003王敏女18MA95004張立男19IS

22第二十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六⑥投影從現(xiàn)有關(guān)系中選取某些屬性（列），可對(duì)選取的屬性重新排序，并刪除重復(fù)的行（元組）,組成新的關(guān)系。(從列的角度進(jìn)行運(yùn)算）

πA(R）={t[A]|t∈R}A為R的屬性列。t[A]表示元組在相應(yīng)A屬性中的分量。

第二十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六投影操作主要是從列的角度進(jìn)行運(yùn)算但投影之后不僅取消了原關(guān)系中的某些列，而且還可能取消某些元組（避免重復(fù)行）π24第二十四頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六投影（續(xù)）[例3]查詢學(xué)生的姓名和所在系 即求Student關(guān)系上學(xué)生姓名和所在系兩個(gè)屬性上的投影

πSname，Sdept(Student)

或π2，5(Student)結(jié)果：25第二十五頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六投影（續(xù)）SnameSdept李勇CS劉晨IS王敏MA張立IS26第二十六頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六投影（續(xù)）[例4]查詢學(xué)生關(guān)系Student中都有哪些系

πSdept(Student)

結(jié)果：SdeptCSISMA27第二十七頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六⑦聯(lián)結(jié)聯(lián)結(jié)也稱為θ聯(lián)結(jié)，它是從兩個(gè)關(guān)系的笛卡爾積中選取屬性間滿足一定條件的元組。記作：RS={trts|tr∈R∧ts∈S∧tr[A]θts[B]}

其中A和B分別為R和S上度數(shù)相等并且可比的屬性組。θ是比較運(yùn)算符。聯(lián)結(jié)運(yùn)算從R和S的廣義笛卡爾積R×S中選取R關(guān)系在A屬性組上的值與S關(guān)系在B屬性組上的值滿足比較運(yùn)算符θ的元組。AθB第二十八頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六兩類常用聯(lián)結(jié)運(yùn)算等值聯(lián)結(jié)（equijoin）什么是等值連接θ為“＝”的聯(lián)結(jié)運(yùn)算稱為等值聯(lián)結(jié)等值聯(lián)結(jié)的含義從關(guān)系R與S的廣義笛卡爾積中選取A、B屬性值相等的那些元組，即等值聯(lián)結(jié)為：RS={|tr

R∧tsS∧tr[A]=ts[B]}A=Btrts29第二十九頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六自然聯(lián)結(jié)（Naturaljoin）

什么是自然聯(lián)結(jié)自然聯(lián)結(jié)是一種特殊的等值聯(lián)結(jié)兩個(gè)關(guān)系中進(jìn)行比較的分量必須是相同的屬性組在結(jié)果中把重復(fù)的屬性列去掉自然聯(lián)結(jié)的含義

R和S具有相同的屬性組B

R

S={|trR∧tsS∧tr[B]=ts[B]}trts30第三十頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六一般的聯(lián)結(jié)操作是從行的角度進(jìn)行運(yùn)算。自然聯(lián)結(jié)還需要取消重復(fù)列，所以是同時(shí)從行和列的角度進(jìn)行運(yùn)算。

AθBRS31第三十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六[例5]ABCa1b15a1b26a2b38a2b412BEb13b27b310b32b52RS32第三十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六

R

S

AR.BCS.BEa1b15b27a1b15b310a1b26b27a1b26b310a2b38b310

C＜E33第三十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六等值聯(lián)結(jié)R

SR.B=S.B

AR.BCS.BEa1b15b13a1b26b27a2b38b310a2b38b3234第三十四頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六自然連接R

S

ABCEa1b153a1b267a2b3810a2b38235第三十五頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六自然聯(lián)接的具體的計(jì)算過(guò)程如下：①計(jì)算R╳S②設(shè)R和S的公共屬性是A1，A2，…AK，挑選R╳S中滿足R.A1=S.A1，R.A2=S.A2，…，R.AK=S.AK的那些元組③從R╳S結(jié)果中去掉S.A1，S.A2，…S.AK這些列

36第三十六頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六自然聯(lián)接與等值聯(lián)接的區(qū)別：（1）在做自然聯(lián)接的兩個(gè)關(guān)系中，要求值相等的屬性名也必須相等，而在等值聯(lián)接中不要求值相等的屬性名相等。（2）在自然聯(lián)接的結(jié)果中，去掉重復(fù)的屬性名，而在等值聯(lián)接的結(jié)果中不去掉重復(fù)的屬性名?！锶魞蓚€(gè)關(guān)系沒(méi)有公共屬性，則其自然聯(lián)接就轉(zhuǎn)化為笛卡爾積操作。第三十七頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六ABCabcdbcbbfcadBCDbcdbceadbRSABCDabcdabcedbcddbcecadbRS自然聯(lián)接第三十八頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六ABCabcdbcbbfcadBCDbcdbceadbRSAR.BR.CS.BS.CDabcbcdabcbcedbcbcddbcbcecadadbRS等值聯(lián)接3=2RS1=1AR.BR.CS.BS.CDbbfbcdbbfbceabcadb第三十九頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六

⑧除運(yùn)算（Division）設(shè)關(guān)系R和S的元數(shù)分別為m和n（設(shè)m>n>0），那么R÷S是一個(gè)（m-n）元的元組集合。

R÷S是滿足下列條件的最大關(guān)系：最大關(guān)系中每個(gè)元組t與S中每個(gè)元組u組成的新元組〈t,u〉必在關(guān)系R中。為了方便起見(jiàn)，我們假設(shè)關(guān)系S的屬性為關(guān)系R中后S個(gè)屬性。40第四十頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六則R÷S的具體計(jì)算過(guò)程如下：（1）

T=Π1,2,…m-n（R）（2）

W=（T╳S）-R（計(jì)算T╳S中不在R的元組）（3）

V=Π1,2,…m-n（W）（4）

R÷S=T-V即R÷S=Π1,2,…m-n（R）-Π1,2,…m-n（（Π1,2,…m-n（R）╳S）-R）除運(yùn)算是同時(shí)從行和列角度進(jìn)行運(yùn)算41第四十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六象集

給定一個(gè)關(guān)系R(X,Y)，X和Y為屬性組。定義，當(dāng)t[X]=x時(shí)，x在R中的象集為：Yx={t[Y]|t∈R,t[X]=x}它表示R中屬性組X上值為x的諸元組在Y上各分量的集合。t[Y]

Y為R中的一個(gè)屬性組，Y={yi1,yi2…yik}，t[Y]=(t[yi1],t[yi2]…t[yik])表示R中的元組t在屬性組Y上各分量的集合42第四十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六(1)將R中屬性分為兩個(gè)集合X和Y，

R(X,Y），其中Y就是S中的前半部分屬性的集合,S(Y,Z)。(2)若X的某個(gè)值x的象集YxYx={t[Y]∣t∈R∧t[X]=x}

包含S表中t[Y]的所有元組

，則將x放入結(jié)果集中。因此，求R÷S的操作步驟如下：43第四十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六例如：ABCDabcdabefabdebcefedcdedefCDcdefRSXYY當(dāng)x=(b,c)時(shí)，其象集Yx為：

C

D

e

f44第四十四頁(yè)，共四十八頁(yè)，編輯于2023年，星期六R÷S的結(jié)果為：ABabedX當(dāng)x=(a,b)時(shí)，其象集Yx為：CDcdefd