一、高中數(shù)學(xué)解題思維策略

第一講數(shù)學(xué)思維的變通性

一、概念

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不

必須具有思維的變通性一一善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活的設(shè)想和解

根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練：

(1)善于觀察

心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識事物的最初級形式，而觀察則是知

級狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識事物最基本

它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。

任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依

的具體特征，對題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過

象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。

例如，求和1111.

122334n(n1)

這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒

1~1,因此，原式等于1?!；1111睫

n(n1)nn[!!；nn1n1

解決了。

(2)善于聯(lián)想

聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明

間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到

靈活運(yùn)用有關(guān)知識，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。

xy2

這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為2,這兩個(gè)數(shù)的積為3。由此聯(lián)想到韋達(dá)定

y是一元二次方程￡22/30的兩個(gè)根，

x1

x3

.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。

例如，解方程組

所以或

成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有

之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。

..,,III1

例r如，已知■,(abc0,abc0),

jabc

求證Q、Z?、C三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。

恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)

(ab)(bc)(ca)0

思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個(gè)人

種思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題。它

是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大

必須加以克服。

綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性

體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

(1)觀察能力的訓(xùn)練

雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以

重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具

采用特殊方法來解題。

例1已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，求證“2biC2di(ac)2(b

思路分析從題目的外表形式觀察到，要證的

結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而

左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，

可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。!A(a/)

證明不妨設(shè)A(a,h),B(c,d)如圖1-2-1所示，

22

OAa2。2,OBcid2,

在OAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知：

OAOBAB當(dāng)且僅當(dāng)0在AB上時(shí)，等號成立。

因此，02biC2di(ac)2(bd)2.

則柿\a4(bd).

IIJ

例2已知3%22y26%,試求X2yi的最大值。

解由3%22y26%得

32

>2-

2

n32

%o,-

力321/69

又X2>2X2--(X3)2

當(dāng)％2時(shí)，X2>2有最大值，最大值為(23)2■4.

21

思路分析要求X2》2的最大值，由已知條件很快將X2>2變?yōu)橐辉?/p>

1Q

/(X)~(x3)2然后求極值點(diǎn)的X值，聯(lián)系到)>20,這一條件，既快

求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。

思維障礙大部分學(xué)生的作法如下：

由3%22y26%得先!

321八2

X2〉2X2~~(X3)22，

9

當(dāng)x3時(shí)，X2y2取最大值，最大值為一

2

這種解法由于忽略了九0這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要

題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，

意主要的已知條件，

又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。

有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。

例3已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc0(a0),滿足關(guān)系

/(2x)/(2x),試比較/(0.5)與/()的大小。

思路分析由已知條件/(2x)/(2x)可知，在與x2左

解(如圖1-2-2)由"2x)/(2x),

知/(%)是以直線x2為對稱軸，開口向上的拋物線

它與x2距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。

20.52/(0.5)/()

思維障礙有些同學(xué)對比較〃0.5)與/()的大小，只想到求出它們的值

函數(shù)/(%)的表達(dá)式不確定無法代值，所以無法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是

分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問題，對每一個(gè)

件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通

(2)聯(lián)想能力的訓(xùn)練

例4在ABC中，若C為鈍角，則tgA吆8的值

(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能確

思路分析此題是在ABC中確定三角函數(shù)tgAtgB的值。因此，聯(lián)想到三

tgAtgB可得下面解法。

13tgB

解C為鈍角，tgC0.在ABC中48CC(AB)

且A、B均為銳角，

織AtgB

tgCtg(AB)次(AB)0.

1tgAtgB

蜂40,tgB0,1tgAtgB0.即tgAtgB1.

故應(yīng)選擇(B)

思維障礙有的學(xué)生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函

本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基

例5若(zx)24(xy)(yz)0,證明：yxz.

思路分析此題一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件

正切的兩角和公式火(AB)--------------

2

可看作是關(guān)于t的一元二次方程(%y)ti(zx)t(yz)0有等根的條

進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1,根據(jù)韋達(dá)定理就有：

■'1即2yxz

%y

若％y0,由已知條件易得zx0,即％yz，顯然也有2yx

例6已知a、b、c均為正實(shí)數(shù)，滿足關(guān)系式Q2biC2,又〃為不小于

數(shù)，求證：QnbnCn.

思路分析由條件42biC2聯(lián)想到勾股定理，a、b、c可構(gòu)成直角三角

邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。

證明設(shè)。、從c所對的角分別為A、B、C.則。是直角，A為銳角，

ab

cc

當(dāng)〃3時(shí)，有sin“Asin2A,cos?Acos2A

于是有sin/；Acos>iAsin2Acos2A1

(1b

即

從而就有CInbnCn.

思維阻礙由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)”的命題，一些學(xué)生都會想到用數(shù)學(xué)

來證明，難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，

代數(shù)，學(xué)幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來

(3)問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練

我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具

聯(lián)想有關(guān)知識，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當(dāng)

往往使問題很快得到解決，所以，進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。

1轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目

1,求證a、b、c中至少有一個(gè)等于1?

sinA,cosA，且0sinA1,0cosA1,

()"()"1,

例11已知abc

證明1,heacabahc.

aIf

于是（a1）（b1）（c1）abc（abacbe1）（abc）0.

a1>h1>c1中至少有一個(gè)為零，即a、b、c中至少有一個(gè)為1

思維障礙很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證

中至少有一個(gè)為1,其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生

為熟悉問題。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段

例12直線L的方程為x，其中p0;桶圓E的中心為0-（2

；,0

在X軸上，長半軸為2,短半軸為1,它的一個(gè)頂點(diǎn)為4（J。），問p在什么范

值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線

離。

思路分析從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物

>22px

是，又從已知條件可得橢圓E的方程為

[%（2）]

2V21

4

因此，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組（1）、（2）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求p的

圍。將（2）代入（1）得：

2P：2Po.

4

確定p的范圍，實(shí)際上就是求（3）有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組

740

2

P

P

4

P22

4

P)

0

(7p4)

2

—2P0

2逆向思維的訓(xùn)練

逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種

式。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題得

例13已知函數(shù)/Q)2x2mxn,求證/⑴、/(2)、/(3)中至少有

小于1.

思路分析反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)

解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考

反證法。

證明(反證法)假設(shè)原命題不成立，即/(I)、/(2)、/(3)都小于L

/(1)112mn\3mn1

則/⑵1

1183mn1193mn17

①+③得112mn9,

與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即/(I)、/(2)、/(3)中至少有一個(gè)不小于1

3一題多解訓(xùn)練

由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識不同，因而，同

可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)

觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。

例14已知復(fù)數(shù)z的模為2,求zi的最大值。

解法一(代數(shù)法)設(shè)z尤yi(xyyR),

則%=4.zixi(y1)252y.

y2,當(dāng)y2時(shí)，zimax3.

解法二(三角法)設(shè)z2(cosisin),

則zi4cos2+(2sin1)254siny

182mn192mn7

J

II

Z2,點(diǎn)Z是圓X2y24上的點(diǎn)，

Zi表示z與i所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離。

如圖1-2-3所示，可知當(dāng)22i時(shí)，z3由3.

解法四(運(yùn)用模的性質(zhì))

zi1zz213

而當(dāng)z21時(shí)，zi3.zi3.

max

解法五(運(yùn)用模的性質(zhì))

zi2(z0(z/)zz(zz)i1

52/(2),(/(2)表名的虛部)?

2

第二講數(shù)學(xué)思維的反思性

一、概述

數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見解，精細(xì)地檢查思維過

從、不輕信。在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問題

它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培

的創(chuàng)造性思維。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

(1)檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。

例1已知/(%)ax?，若31/⑴i0,3i/(2)i6,求〃3)的范圍.

i

錯(cuò)誤解法由條件得

b

①

②

II

又心月|9,4imax

ZZmax3.

316//?-]0

3q2a2-i6

①X2-②得:

J

④

鳳上公徨102i4310cm43

③+④付二13。：1二，0即n二】〃3)[；.

3iJJJ

錯(cuò)誤分析采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件

/(x)ax,其值是同時(shí)受a和b制約的。當(dāng)a取最大(小)值時(shí)，b不一定

i

(小)值，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。

正確解法由題意有

b

2

12

33

/(3)3a上雙/(2)'/(I).

399

把/⑴和/(2)的范圍代入得個(gè)小3)[:.

在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有

只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識，才能反思性地看問題。

例2證明勾股定理：已知在ABC中，C90,求證C2“2bi.

錯(cuò)誤證法ab

ab

錯(cuò)誤分析在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，sin2Acos2A1這個(gè)公式本身是從勾

推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循

的錯(cuò)誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對所學(xué)的每

法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)

才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思

現(xiàn)。

/(I)ab

解得：a[2/(2)A1)],^[2/(1)/(2)],

在放ABC中，sinA,cosA，而sinNcosM1,

()2()21,即C2U2b2.

例3已知數(shù)列an的前八項(xiàng)和Sa2“1,求a”.

錯(cuò)誤解法anSnSn!(2n1)(2"11)2.2?12?1.

錯(cuò)誤分析顯然，當(dāng)n1時(shí)，GS132111,錯(cuò)誤原因，沒有注

anSnSnI成立的條件是〃2(〃N).因此在運(yùn)用UnSnSn1時(shí)，必須檢

S(n1)

時(shí)的情形。即：Q"1

1

2

點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法L

2

付Xi(2aai10(x0).

0

因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得2a0

2

?210.

17

8

錯(cuò)誤分析(如圖2-2-1;2-2-2)顯然，當(dāng)a0時(shí)，圓與拋物線有兩

占

八、、O

yyo

X

Sn(n2,nN)

例4實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓%2y22ax。210與拋物線yzx有兩

將圓X2y22ax4210與拋物線/入聯(lián)立，消去

1

解之，得a

0

解之，得1a1.

一或1a1時(shí)，圓X2y2laxaz10與拋物線yi

8

個(gè)公共點(diǎn)。

1

2

(1)有一個(gè)公共點(diǎn)；

(2)有三個(gè)公共點(diǎn)；

(3)有四個(gè)公共點(diǎn)；

(4)沒有公共點(diǎn)。

養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理

對數(shù)方程、對數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能

變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢臉，舍棄增根，找回

(3)獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解

受思維定勢或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，

于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對題目

表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

例530支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問需要安排多少場比賽？

解因?yàn)槊繄鲆蕴?個(gè)隊(duì)，30個(gè)隊(duì)要淘汰29個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。

安排29場比賽。

思路分析傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有1

+2+1=29場比賽。而上面這個(gè)解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰1

淘汰29支隊(duì)，那么必有29場比賽。

例6解方程X22x3cosx.

考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)y(x1)22,ycosx,它們的圖象無交點(diǎn)

所以此方程無解。

例7設(shè)、是方程登2kxk60的兩個(gè)實(shí)根，則(1)2(1)

值是()

7；⑻8;(C)18;(0不存在

4

思路分析本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。

當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得2

因此，當(dāng)a

思考題：實(shí)數(shù)。為何值時(shí)，圓X2y22ax10與拋物線/x,

(1)2(1)2221221

()222()2

有的學(xué)生一看到-,常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思

4

反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來源和它們之間

就能從中選出正確答案。

原方程有兩個(gè)實(shí)根、，

4k24（攵6）0,k、2或攵3.

當(dāng)k3時(shí)，（1）2（1）2的最小值是8;當(dāng)心2時(shí)，（1）2（

小值是18;

這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。

第三講數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

二、概述

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問

格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏

科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征

的影響，中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面

概念模糊概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理

因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不

易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。

判斷錯(cuò)誤判斷是對思維對象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一

形式。數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判

1

3

推理錯(cuò)誤推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判

合。任何一個(gè)論證都是由推理來實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說明思維不嚴(yán)密。

1

X

解I%21,

X

)

例如，"函數(shù)y()、是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。

例如，解不等式尤.

九，

思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。

（1）有關(guān)概念的訓(xùn)練

概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開概念?！罢_理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)

知識的前提。”《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（試行草案）

例1、不等式log（x22）（3x22x4）log（x22）。23x2）.

錯(cuò)誤解法X221,

3尤22x4X23尤2,

3

2

錯(cuò)誤分析當(dāng)x2時(shí)，真數(shù)X23尤20且x2在所求的范圍內(nèi)（因2

明解法錯(cuò)誤。原因是沒有弄清對數(shù)定義。此題忽視了“對數(shù)的真數(shù)大于零”這

造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

正確解法X221

113、113

2X學(xué)％3

尤23x20X2或％1

3

2

x2或％2.

例2、求過點(diǎn)（0,1）的直線，使它與拋物線yi2x僅有一個(gè)交點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法設(shè)所求的過點(diǎn)（0,1）的直線為ykx1,則它與拋物線的交點(diǎn)為

ykx1

，消去y得：（1）2

2kx2x0.

整理得

kixi(2k2)x10.直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn),

11

2x2x60,x或x2.

3x2x40

3x22x4X23x2

x或％2

y2x

0,解得攵.所求直線為y%1.

承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而

法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切

有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判

以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即k0,而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)

正確解法當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直X軸，因?yàn)檫^點(diǎn)(0,1),所以

y軸，它正好與拋物線yi2x相切。

當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y1,平行x軸，它正好與拋物線加2%只有

點(diǎn)。

設(shè)所求的過點(diǎn)(0,1)的直線為y依1(左0)則

ykx1I

2

1

2

綜上，滿足條件的直線為：

1

2

⑵判斷的訓(xùn)練

造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們在學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。

①注意定理、公式成立的條件

數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，

難免出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例3、實(shí)數(shù)m,使方程X2(m4/)x12mi0至少有一個(gè)實(shí)根。

錯(cuò)誤解法方程至少有一個(gè)實(shí)根，

(m4Z)24(12mi)m2200.

m25,或用i25.

2

J

正確解法設(shè)a是方程的實(shí)數(shù)根，則

以2(m4i)a12mi0,

Q2ma1(4a2m)i0.

由于a、山都是實(shí)數(shù)，

a2ma10

4a2m0

解得m2.

例4已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x4,右焦點(diǎn)F(10,0)，離心率e2，求雙曲

線

錯(cuò)解1x"-4,c10,az40,biC2a260.

c

故所求的雙曲線方程為

也丫2]

4060

錯(cuò)解2由焦點(diǎn)產(chǎn)(10,0)知c10,

c

a

故所求的雙曲線方程為

足]

2575

錯(cuò)解分析這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告

在原點(diǎn)這個(gè)條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件

產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。

正解1設(shè)P(%,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為x4，

F(10,0)，離心率e2,由雙曲線的定義知

（X10）2”

|x4|一

e2,a5,biciai75.

J

正解2依題意，設(shè)雙曲線的中心為(m,0)

Q2

a4

則C加10解得

2.m2.

a

所以bicia2641648,

故所求雙曲線方程為a2)2p1

1648

②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用

我們知道：

如果A成立，那么B成立，即AB,則稱A是B的充分條件。

如果B成立，那么A成立，即BA,則稱A是B的必要條件。

如果AB,則稱A是B的充分必要條件。

充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條

的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會

例5解不等式x1x3.

錯(cuò)誤解法要使原不等式成立，只需

x10

,解得31x]5.

X1(X3)2

A0

錯(cuò)誤分析不等式

x10

x1(%3)2

x

,而忽視了另一種情況

X

所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件,而不是充分必要條件，其錯(cuò)誤解

cm4

c8

%30

r

ABi

原不等式的解法只考慮了一種情況0

x10

X10

或

xi（%3）2y

31X15,或11x13.

,p

原不等式的解集為{X|11%i5}M

例6（軌跡問題）求與y軸相切于右側(cè)，并與

OC:X2yi6x0也相切的圓的圓心*

的軌跡方程。°C（3,0）

錯(cuò)誤解法如圖3-2-1所示，

已知。C的方程為（％3）2yi9.圖3—2—

1

設(shè)點(diǎn)P（x,y）（x0）為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且。P與y軸相切于M點(diǎn),

與。C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得

\CP\\PM\3,即（x3”>2X3.

化簡得yi12x（x0）.

錯(cuò)誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足

而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)

題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)

正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條

以y0（x0且x3）也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是y212x

y0（x0且％3）。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分

這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。

③防止以偏概全的錯(cuò)誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問

部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

例7設(shè)等比數(shù)列扇的全〃項(xiàng)和為S".若S3S62s9,求數(shù)列的公比

x30

x30

ai(lqs)ai(lg6)2ai(1*)

1q1q1q

整理得q3(2^6q31)=0.

由90得方程2*夕310.(2G1)(/1)0,

34

q2或qi

錯(cuò)誤分析在錯(cuò)解中，由色皿3)2

1q1q1q

整理得43(2/q31)=0.時(shí)，應(yīng)有ai0和q1.在等比數(shù)列I中,G10是

但公比q完全可能為1,因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比q1的情況，再在q

下，對式子進(jìn)行整理變形。

正確解法若q1,則有S33ai,Se6ai,So9al.

但QI0即得S3562s9,與題設(shè)矛盾，故91.

又依題意S3S62s9,

可得a\(lq3)m(l〃6)2ai(14)

1q1q1q

整理得q3(2q6q31)=0.即(2^31)01)0,

因?yàn)閝1,所以9310,所以2幻10.

3

所以q

2

說明此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解

誤解法，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。

④避免直觀代替論證

面和所成的二面角y軸一等于60.已知內(nèi)的曲線「的

>22px\p0）,求曲線「在內(nèi)的射影的曲線方程。

錯(cuò)誤解法依題意，可知曲線C八是拋物線，

在內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是尸入（，0）,p0.

因?yàn)槎娼莥軸一等于60,

且二軸y軸，x軸y軸，所以xox"60.

設(shè)焦點(diǎn)尸在內(nèi)的射影是F（x,y）,那么，F(xiàn)位于x軸上，

從而y0,F^OF60,F^FO90,

PlPP

2244

是一條拋物線，開口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。

所以曲線。人在內(nèi)的射影的曲線方程是丁2px.

錯(cuò)誤分析上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為尸是射影（曲線）

其次，未經(jīng)證明默認(rèn)C人在內(nèi)的射影（曲線）是一條拋物線。

正確解法在內(nèi)，設(shè)點(diǎn)M（r,/）是曲線上任意一點(diǎn)

（如圖3-2-3）過點(diǎn)M作MN,垂足為N,

過N作N"y軸，垂足為”.連接MH,

X人

則MHy軸。所以MHN是二面角）‘尸八M

°NJ

y軸一的平面角，依題意，MHN60.H

又知HMHx八螭(或M與0重合)，一

2圖3

所以。尸。廣cos60—廝以點(diǎn)尸(,0)是所求射影的焦點(diǎn)。依題意

在用MNH中,HNHMcos60V.

1

%"2x

則2

A

yy

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線y22px\p0)上，所以y22p(2x).

即所求射影的方程為y24Px(p0).

(3)推理的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求

心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)

方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意

的命題之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推理

例9設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸%在軸上，離心率e,已知點(diǎn)P

2

這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是7,求這個(gè)橢圓的方程。

錯(cuò)誤解法依題意可設(shè)橢圓方程為12)，2IQb0)

aibi

(n.1C2aib21b23

則ei1

aiQ2ai4

所以b2-a2b.

az4

設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d,

貝”小X2(y)

2

w9

0?2)'23y;

12

3(y

2

xx

人

J

,即

32

Q(1

)4b23.

于是所求橢圓的方程為y21.

4

錯(cuò)解分析盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的

確只是碰巧而已。由當(dāng)y2時(shí)，心有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒有考

的取值范圍。事實(shí)上,由于點(diǎn)（%,y）在橢圓上,所以有b-iy-i因此在求

大值時(shí)，應(yīng)分類討論。即:

1

2

32311

于是(7)2(b

2222

所以必有b1,此時(shí)當(dāng)y2時(shí)，（從而d）有最大值,

所以4b23(7)2,解得bi1,?24.

于是所求橢圓的方程為止y21.

4

28的最小值

sin2%C0S2X

28288

錯(cuò)解12

2222

sinxcosx

16

16,.ymin16.

|sin2r|

28

錯(cuò)解2ysin2x)(C0S2X)12228116

22

2

錯(cuò)誤分析在解法1中，y16的充要條件是且|sin2x

2

COS2XI

1

2

在解法2中,y162的充要條件是

若b,則當(dāng)y〃時(shí)，di（從而d）有最大值。

），從而解得b7J,與b矛盾。

例10求y

siiucosxsiaxcosx

siaxcosx

siiu

即|fgx|且卜inx|1.這是自相矛盾的。ymin16.

2(1Ctg2X)8(1tg2X)

102(ctg2X4fg2%)

1022ctg2x4rg2x

18.

其中，當(dāng)ctg2x4tg2X,即c7g2%2時(shí)，y18.ymin18.

正確解法2取正常數(shù)k,易得

28

y(2《sin2x)(,kcos2x)k

22k28kk62kk.

其中“”取“=”的充要條件是

2,.g81

,攵sin2x且

sin2%cos2x2

1

2

第四講數(shù)學(xué)思維的開拓性

一、概述

數(shù)學(xué)思維開拓性指的是對一個(gè)問題能從多方面考慮；對一個(gè)對象能從多種角

對一個(gè)題目能想出多種不同的解法，即一題多解。

“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們

每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，

會貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的

決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

積極性，達(dá)到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)

在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點(diǎn)，善于發(fā)現(xiàn)解題

中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。

數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在：

(1)一題的多種解法

例如已知復(fù)數(shù)Z滿足|z|1,求|zi1的最大值。

我們可以考慮用下面幾種方法來解決:

①運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；

②運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式；

--------kcoszr,BPfgix且左18.

因此，當(dāng)時(shí)、y62kkiJILn18.

⑤運(yùn)用復(fù)數(shù)的模與共輒復(fù)數(shù)的關(guān)系|z|2zZ；

⑥(數(shù)形結(jié)合)運(yùn)用復(fù)數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓|z|1與|z

公共點(diǎn)時(shí)，r的最大值。

(2)一題的多種解釋

1

2

1

2

1

2

1

2

又如“1”這個(gè)數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡

可以變換為：logoa,,sin2xCOS2X,(log?Z?)(logt?),sec?xtgix,等

1.思維訓(xùn)練實(shí)例

例1已知Z?2\,X2yi1.求證：axby

分析1用比較法。本題只要證1(axby)0.為了同時(shí)利用兩個(gè)已知條

需要觀察到兩式相加等于2便不難解決。

證法1i

2

1

2

1

2

1

2

所以axby-\l.

分析2運(yùn)用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運(yùn)用已知的條件、定理

等，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立

例如，函數(shù)式y(tǒng)原2可以有以下幾種解釋:

①可以看成自由落體公式Sgt2.

②可以看成動(dòng)能公式Emv2.

③可以看成熱量公式。Rh.

1(axby)(11)(axby)

3biX2”)(axby)

[(6Z22axX2)(bi2byp)]

[(?x)2(by)2]0,

只需證1(axby)0,

即22(QXby)0,Iy

因?yàn)?222

0

所以只需證2222

即(ax)2(by)20.

因?yàn)樽詈蟮牟坏仁匠闪?，且步步可逆。所以原不等式成立。圖4