模糊集的基本運(yùn)算演示文稿當(dāng)前第1頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)模糊集的基本運(yùn)算當(dāng)前第2頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)一.模糊集的表示方法

模糊集合是論域X到[0,1]的映射,因此用隸屬函數(shù)來表示模糊集合是最基本的方法。除此以外,還有以下的表示方法：1)序偶表示法A={(x,A(x)|xX}.

例如:用集合X={x1,x2,x3,x4}表示某學(xué)生宿舍中的四位男同學(xué),“帥哥”是一個(gè)模糊的概念。經(jīng)某種方法對這四位學(xué)生屬于帥哥的程度(“帥度”)做的評價(jià)依次為:0.55,0.78,0.91,0.56,則以此評價(jià)構(gòu)成的模糊集合A記為:A={(x1,0.55),(x2,0.78),(x3,0.91),(x4,0.56)}.當(dāng)前第3頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)2)向量表示法當(dāng)論域X={x1,x2,…,xn}時(shí),

X上的模糊集A可表示為向量A=(A(x1),A(x2),…,A(xn)).

模糊集“帥哥”A可記為:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).向量的每個(gè)分量都在0與1之間,稱之為模糊向量。3）Zadeh表示法

當(dāng)論域?yàn)橛邢藜瘂x1,x2,…,xn}時(shí),模糊集合可表示為A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+…+A(xn)/xn.

注意,這里僅僅是借用了算術(shù)符號+和/,并不表示分?jǐn)?shù)和運(yùn)算,而只是描述A中有哪些元素,以及各個(gè)元素的隸屬度值。

對于任意論域X中的模糊集合A可記為:當(dāng)前第4頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)

模糊集“年輕”A可表示為當(dāng)前第5頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)

注意：當(dāng)論域明確的情況下,在序偶和Zadeh表示法中,隸屬度為0的項(xiàng)可以不寫出。而在向量表示法中,應(yīng)該寫出全部分量。

例如,論域X為1到10的所有正整數(shù),模糊集“近似于5”A可表示為：或

或當(dāng)前第6頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)二.典型的隸屬函數(shù)

構(gòu)造恰當(dāng)?shù)碾`屬函數(shù)是模糊集理論應(yīng)用的基礎(chǔ)。一種基本的構(gòu)造隸屬函數(shù)的方法是“參考函數(shù)法”,即參考一些典型的隸屬函數(shù),通過選擇適當(dāng)?shù)膮?shù),或通過擬合、整合、實(shí)驗(yàn)等手段得到需要的隸屬函數(shù)。下面介紹典型隸屬函數(shù)。

1.偏小型降半矩形分布,降半Γ形分布,降半正態(tài)分布,降半柯西分布,降半梯形分布,降嶺形分布。當(dāng)前第7頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)當(dāng)前第8頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)當(dāng)前第9頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)2.偏大型升半矩形分布，升半Γ形分布，升半正態(tài)分布，升半柯西分布，升半梯形分布，升嶺形分布。當(dāng)前第10頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)當(dāng)前第11頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)“年輕”模糊集合的隸屬函數(shù)為降半柯西分布,其中取a=1/5,b=25,c=2.“年老”模糊集合的隸屬函數(shù)為升半柯西分布,其中取a=1/5,b=50,c=2.3.中間型(對稱型)矩形分布,尖Γ形分布,正態(tài)分布,柯西分布,梯形分布,嶺形分布。當(dāng)前第12頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)當(dāng)前第13頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)當(dāng)前第14頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)三.模糊集上的運(yùn)算幾點(diǎn)說明經(jīng)典集合可用特征函數(shù)完全刻畫,因而經(jīng)典集合可看成模糊集的特例(即隸屬函數(shù)只取0,1兩個(gè)值的模糊集)。設(shè)X為非空論域,X上的全體模糊集記作F(X).于是,P(X)F(X),這里P(X)為X的冪集(即X的全體子集構(gòu)成的集合).

特別地,空集的隸屬函數(shù)恒為0,全集X的隸屬函數(shù)恒為1,即、X都是X上的模糊集。當(dāng)前第15頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)2.模糊集的包含關(guān)系設(shè)X為非空論域,A,B為X上的兩個(gè)經(jīng)典集合。AB當(dāng)且僅當(dāng)屬于A的元素都屬于B.易證AB當(dāng)且僅當(dāng)對任意xX有CA(x)CB(x).X1X1當(dāng)前第16頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)

定義

設(shè)X為非空論域,A,B為X上的兩個(gè)模糊集合。稱A包含于B(記作AB),如果對任意xX有A(x)B(x).這時(shí)也稱A為B的子集。X1A(x)B(x)當(dāng)前第17頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)例

論域X={x1,x2,x3,x4}時(shí),X上的模糊集A為:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).X上的模糊集B為:B=(0.35,0.52,0.65,0.37).則根據(jù)定義有BA.帥哥超男定義論域X上的模糊集A與B稱為是相等的,如果AB

且BA,即對任意xX有A(x)=B(x).當(dāng)前第18頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)

3.模糊集的并設(shè)X為非空論域,A,B為X上的兩個(gè)經(jīng)典集合。A∪B={xX|xA或xB}.易證CAB(x)=max{CA(x),CB(x)}=CA(x)CB(x).X1X1當(dāng)前第19頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)

定義設(shè)X為非空論域,A,B為X上的兩個(gè)模糊集合。A與B的并(記作A∪B)是X上的一個(gè)模糊集,其隸屬函數(shù)為(A∪B)(x)=max{A(x),B(x)}=A(x)B(x),xX.(A∪B)(x)當(dāng)前第20頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)

4.模糊集的交定義非空論域X上的兩個(gè)模糊集合A與B的交(記作A∩B)是X上的一個(gè)模糊集,其隸屬函數(shù)為

(A∩B)(x)=min{A(x),B(x)}=A(x)B(x),xX.(A∩B)(x)當(dāng)前第21頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)5.模糊集的補(bǔ)定義非空論域X上的一個(gè)模糊集合A的補(bǔ)(記作A或AC)X上的一個(gè)模糊集,其隸屬函數(shù)為A(x)=1A(x),xX.當(dāng)前第22頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)

注：兩個(gè)模糊集的并、交運(yùn)算可以推廣到一般情形,即對任意指標(biāo)集I,若Ai是X上的模糊集,iI.則模糊集的(任意)并、(任意)交定義為:當(dāng)前第23頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)例設(shè)論域X={x1,x2,x3,x4}為一個(gè)4人集合,X上的模糊集合A表示“高個(gè)子”:A={(x1,0.6),(x2,0.5),(x3,1),(x4,0.4)}.

模糊集合B表示“胖子”:B={(x1,0.5),(x2,0.6),(x3,0.3),(x4,0.4)}.則模糊集合“高或胖”為:A∪B={(x1,0.6∨0.5),(x2,0.5∨0.6),(x3,1∨0.3),(x4,0.4∨0.4)}={(x1,0.6),(x2,0.6),(x3,1),(x4,0.4)}.模糊集合“又高又胖”為:A∩B={(x1,0.5),(x2,0.5),(x3,0.3),(x4,0.4)}.模糊集合“個(gè)子不高”為:A={(x1,0.4),(x2,0.5),(x3,0),(x4,0.6)}.當(dāng)前第24頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)四.模糊集的運(yùn)算性質(zhì)

1.經(jīng)典集合的運(yùn)算性質(zhì)經(jīng)典集合關(guān)于并、交、補(bǔ)運(yùn)算具有以下性質(zhì):設(shè)X為論域,A,B,C為X上的經(jīng)典集合,則

(1)冪等律:A∪A=A,A∩A=A;(2)交換律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(3)結(jié)合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(4)吸收律:A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A;(5)分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);當(dāng)前第25頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)(6)對合律(復(fù)原律):(A)=A;(7)兩極律(同一律):A∩X=A,A∪X=X,

A∩=,A∪=A;(8)DeMorgan對偶律:(A∪B)=A∩B,(A∩B)=A∪B;(9)排中律(互補(bǔ)律):A∪A=X,A∩A=.注：滿足上述前四條規(guī)律的代數(shù)系統(tǒng)稱為格(可誘導(dǎo)出一個(gè)序ABA∩B=AA∪B=B)。

滿足以上9條性質(zhì)的代數(shù)系統(tǒng)稱為布爾代數(shù)(Booleanalgebra,即“有補(bǔ)的有界分配格”.當(dāng)前第26頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)2.模糊集合的運(yùn)算性質(zhì)

定理

設(shè)X為論域,A,B,C為X上的模糊集合,則(1)冪等律:A∪A=A,A∩A=A;(2)交換律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(3)結(jié)合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(4)吸收律:A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A;(5)分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);(6)對合律(復(fù)原律):(A)=A;(7)兩極律(同一律):A∩X=A,A∪X=X,

A∩=,A∪=A;(8)DeMorgan對偶律:(A∪B)=A∩B,(A∩B)=A∪B.當(dāng)前第27頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)證明DeMorgan對偶律:對任意xX,由于

((A∪B))(x)=1(A∪B)(x)=1(A(x)∨B(x))=(1A(x))∧(1B(x))=A(x)∧B(x)=(A∩B)(x).所以(A∪B)=A∩B.同理可證(A∩B)=A∪B.當(dāng)前第28頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)

注：模糊集中互補(bǔ)律不成立(參見下面的反例).滿足以上8條性質(zhì)的代數(shù)系統(tǒng)稱為DeMargan代數(shù),也稱為軟代數(shù)(softalgebra).反例設(shè)論域X={a,b}上的模糊集A={(a,0.6),(b,0.3)}.

則A={(a,0.4),(b,0.7)}.

從而A∪A={(a,0.6),(b,0.7)}X,A∩A={(a,0.4),(b,0.3)}.當(dāng)前第29頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)五.L型模糊集本節(jié)把模糊集合的隸屬度取值范圍推廣到一般格上,并研究這類廣義模糊集合及其性質(zhì)。1.偏序集與格

定義

稱(P,)為偏序集,若P上的二元關(guān)系滿足以下三個(gè)條件:(1)自反性:aP,aa;(2)反對稱性:ab且baa=b;(3)傳遞性:ab且bcac.對于偏序集(P,),如果對于任意a,bP總有ab或ba成立,則稱P為線性序集或全序集。當(dāng)前第30頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)設(shè)(P,)為偏序集,若存在aP使得對任意bP都有ab,則稱a為P的最小元。若存在aP使得對任意bP都有ba,則稱a為P的最大元。易知,如果偏序集有最小元或最大元,則最小元或最大元是惟一的。為此,記0為最小元素,1為最大元素。設(shè)(P,)為偏序集,XP,

若存在aP使得對任意xX都有xa,則稱a為X的上界。如果X的上界集合有最小元素,則稱它為X的最小上界或上確界,

記為supX或∨X.對偶地,可以定義下界、最大下界或下確界(記為infX或∧X)。當(dāng)前第31頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)

定義偏序集(L,)稱為格,如果a,bP,上確界a∨b與下確界a∧b都存在。任意子集都有上、下確界的格稱為完備格。上、下確界運(yùn)算滿足分配律的格稱為分配格,這里分配律指有限分配律。定理

設(shè)(L,)為格,則上、下確界運(yùn)算滿足:(1)冪等律:a∨a=a,a∧a=a;(2)交換律:a∨b=b∨a,a∧b=b∧a;(3)結(jié)合律:(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c);(4)吸收律:a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a.當(dāng)前第32頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)定理

設(shè)代數(shù)系統(tǒng)(L,∨,∧)中的二元運(yùn)算∨,∧滿足:冪等律:a∨a=a,a∧a=a;交換律:a∨b=b∨a,a∧b=b∧a;結(jié)合律:(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c);吸收律:a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a.則:(1)a∧b=aa∨b=b;(2)在L中定義二元關(guān)系如下aba∧b=a.那么

(L,)是格,且∨,∧是這個(gè)格(L,)的上、下確界運(yùn)算。當(dāng)前第33頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)2.Boole代數(shù)與DeMorgan代數(shù)定義

設(shè)L是有界分配格,0,1分別是其最大元和最小元。對任意aL,若存在aL使得a∨a=1,a∧a=0,則稱L為布爾代數(shù)。定義

設(shè)P是偏序集,h:PP是映射。如果當(dāng)ab時(shí)恒有h(a)h(b),則稱h為保序映射。如果當(dāng)ab時(shí)恒有h(b)h(a),則稱h為逆序映射。如果逆序映射h滿足對合律h(h(a))=a,則h稱為逆序?qū)蠈?yīng)或逆合映射,也稱h為偽補(bǔ)。定義

設(shè)L是有界分配格,h:LL是L上的一元運(yùn)算且滿足(1)h(h(a))=a,(2)h(a∨b)=h(a)∧h(b),h(a∧b)=h(a)∨h(b).則稱L為DeMorgan代數(shù)。當(dāng)前第34頁\共有37頁\編于星期四\2點(diǎn)易知DeMorgan代數(shù)中h是逆合映射。設(shè)X為非空集合,則冪集格(P(X),∪,∩,c)為布爾