2021年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（理科）含解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）1．復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣12．用反證法證明命題“如果a＞b，那么＞”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是（）A．= B．＜ C．=且＞ D．=或＜3．（x﹣2）5的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為（）A．5 B．10 C．15 D．204．有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有（）A．60種 B．70種 C．75種 D．150種5．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）A．144個(gè) B．120個(gè) C．96個(gè) D．72個(gè)6．六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（）A．192種 B．216種 C．240種 D．288種7．6把椅子排成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）A．144 B．120 C．72 D．248．已知（1+ax）（1+x）5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣19．已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）10．設(shè)函數(shù)f′（x）的偶函數(shù)f（x）（x∈R且x≠0）的導(dǎo)函數(shù)，f（2）=0且當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）﹣f（x）＞0，則使f（x）＜0成立的x的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．已知函數(shù)f（x）=x（x+a）2在x=1處取得極小值，則實(shí)數(shù)a的值為．12．復(fù)數(shù)z滿足=i，則|z|=．13．將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是．14．在10件產(chǎn)品中有6件一級品，4件二級品，從中任取3件，其中至少有一件為二級品的概率為．15．已知a=的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為．三、解答題16．已知復(fù)數(shù)z=3+bi，b為正實(shí)數(shù)，且（z﹣2）2為純虛數(shù)（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若，求復(fù)數(shù)w的模|w|．17．已知函數(shù)f（x）=ex（x2﹣ax+1）（a∈R）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為3x+y﹣1=0．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）求實(shí)數(shù)f（x）的極值．18．（+）n的展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：3．（1）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．19．用數(shù)學(xué)歸納法證明（1+x）n＞1+nx，這里x＞﹣1且x≠0，n∈N*且n≥2．20．盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同．（1）從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)球，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率P；（2）從盒中一次隨機(jī)取出4個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為x1，x2，x3，隨機(jī)變量X表示x1，x2，x3中的最大數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（X）．21．已知函數(shù)f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

xx學(xué)年山東省德州市武城二中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）1．復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)==1﹣2i的虛部為﹣2．故選：B．2．用反證法證明命題“如果a＞b，那么＞”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是（）A．= B．＜ C．=且＞ D．=或＜【考點(diǎn)】反證法與放縮法．【分析】反證法是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即結(jié)論的反面成立，所以只要考慮＞的反面是什么即可．【解答】解：∵＞的反面是≤，即=或＜．故選D．3．（x﹣2）5的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為（）A．5 B．10 C．15 D．20【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】展開式中共有6項(xiàng)，根據(jù)展開式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故第3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，問題得以解決．【解答】解：展開式中共有6項(xiàng)，根據(jù)展開式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大故第3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C52=C53=10，故選：B．4．有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有（）A．60種 B．70種 C．75種 D．150種【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題；排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分2步分析，先從6名男醫(yī)生中選2人，再從5名女醫(yī)生中選出1人，由組合數(shù)公式依次求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，先從6名男醫(yī)生中選2人，有C62=15種選法，再從5名女醫(yī)生中選出1人，有C51=5種選法，則不同的選法共有15×5=75種；故選C．5．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）A．144個(gè) B．120個(gè) C．96個(gè) D．72個(gè)【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．【分析】根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個(gè)，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個(gè)；進(jìn)而對首位數(shù)字分2種情況討論，①首位數(shù)字為5時(shí)，②首位數(shù)字為4時(shí)，每種情況下分析首位、末位數(shù)字的情況，再安排剩余的三個(gè)位置，由分步計(jì)數(shù)原理可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由分類加法原理，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個(gè)，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個(gè)；分兩種情況討論：①首位數(shù)字為5時(shí)，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，放在剩余的3個(gè)位置上，有A43=24種情況，此時(shí)有3×24=72個(gè)，②首位數(shù)字為4時(shí)，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，放在剩余的3個(gè)位置上，有A43=24種情況，此時(shí)有2×24=48個(gè)，共有72+48=120個(gè)．故選：B6．六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（）A．192種 B．216種 C．240種 D．288種【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．【分析】分類討論，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根據(jù)加法原理可得結(jié)論．【解答】解：最左端排甲，共有=120種，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96種，根據(jù)加法原理可得，共有120+96=216種．故選：B．7．6把椅子排成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）A．144 B．120 C．72 D．24【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】使用“插空法“．第一步，三個(gè)人先坐成一排，有種，即全排，6種；第二步，由于三個(gè)人必須隔開，因此必須先在1號位置與2號位置之間擺放一張凳子，2號位置與3號位置之間擺放一張凳子，剩余一張凳子可以選擇三個(gè)人的左右共4個(gè)空擋，隨便擺放即可，即有種辦法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)論．【解答】解：使用“插空法“．第一步，三個(gè)人先坐成一排，有種，即全排，6種；第二步，由于三個(gè)人必須隔開，因此必須先在1號位置與2號位置之間擺放一張凳子，2號位置與3號位置之間擺放一張凳子，剩余一張凳子可以選擇三個(gè)人的左右共4個(gè)空擋，隨便擺放即可，即有種辦法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，6×4=24．故選：D．8．已知（1+ax）（1+x）5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得展開式中x2的系數(shù)為+a?=5，由此解得a的值．【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）展開式中x2的系數(shù)為+a?=5，解得a=﹣1，故選：D．9．已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】由題意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分類討論確定函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣3x2+1有兩個(gè)零點(diǎn)，不成立；②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零點(diǎn)，故不成立；③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上沒有零點(diǎn)；而當(dāng)x=時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3?+1＞0；故a＜﹣2；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）；故選：D．10．設(shè)函數(shù)f′（x）的偶函數(shù)f（x）（x∈R且x≠0）的導(dǎo)函數(shù)，f（2）=0且當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）﹣f（x）＞0，則使f（x）＜0成立的x的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)得到，g（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，再根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)f（2）=0，解得f（x）＜0的解集．【解答】解：令g（x）=，∴g′（x）=，∵x＞0時(shí)，xf′（x）﹣f（x）＞0，∴x＞0時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∵f（2）=0，∴g（2）==0，當(dāng)0＜x＜2，g（x）＜g（2）=0，即f（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，g（x）＞g（2）=0，即f（x）＞0，∵f（x）是偶函數(shù)，∴當(dāng)﹣2＜x＜0，f（x）＜0，故不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（0，2），故選：B．二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．已知函數(shù)f（x）=x（x+a）2在x=1處取得極小值，則實(shí)數(shù)a的值為﹣1．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】通過對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x=1處有極值，可知f′（1）=0，解得a的值，再驗(yàn)證可得結(jié)論．【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x2+4ax+a2，∴f′（1）=3+4a+a2=0，解得a=﹣1，或a=﹣3，當(dāng)a=﹣1時(shí)，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），函數(shù)在x=1處取得極小值，符合題意；當(dāng)a=﹣3時(shí)，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），函數(shù)在x=﹣3處取不到極大值，不符合題意，∴a=﹣1．故答案為：﹣1．12．復(fù)數(shù)z滿足=i，則|z|=1．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【分析】直接由=i利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算求出z，則z的?？汕螅窘獯稹拷猓骸?i，∴．則|z|=1．故答案為：1．13．將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是96．【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．【分析】求出5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號的組數(shù)，然后分給4人排列即可．【解答】解：5張參觀券全部分給4人，分給同一人的2張參觀券連號，方法數(shù)為：1和2，2和3，3和4，4和5，四種連號，其它號碼各為一組，分給4人，共有4×=96種．故答案為：96．14．在10件產(chǎn)品中有6件一級品，4件二級品，從中任取3件，其中至少有一件為二級品的概率為．【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】根據(jù)對立事件的概率公式計(jì)算即可．【解答】解：10件產(chǎn)品中有6件一級品，4件二級品，從中任取3件，全是一級品的概率為=，則至少有一件為二級品的為1﹣=，故答案為：15．已知a=的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為﹣40．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】由條件求得a=2，在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于，1，求出r的值，即可求得展開式中x的系數(shù)．【解答】解：∵a==sinx=1﹣（﹣1）=2，∴=的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?（﹣1）r?25﹣r?x10﹣3r，令10﹣3r=1，求得r=3，故展開式中x的系數(shù)為﹣?22=﹣40，故答案為：﹣40．三、解答題16．已知復(fù)數(shù)z=3+bi，b為正實(shí)數(shù)，且（z﹣2）2為純虛數(shù)（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若，求復(fù)數(shù)w的模|w|．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義即可得出；（2）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．【解答】解：（1）（1+bi）2=1﹣2bi﹣b2，∴1﹣b2=0，．又b為正實(shí)數(shù)，∴b=1．∴z=3+i．（2），∴．17．已知函數(shù)f（x）=ex（x2﹣ax+1）（a∈R）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為3x+y﹣1=0．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）求實(shí)數(shù)f（x）的極值．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線的斜率是﹣3，從而求出a的值；（Ⅱ）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ex，而切線方程為3x+y﹣1=0，斜率k=﹣3，∴f′（0）=1﹣a=﹣3，解得：a=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=ex（x2﹣4x+1），f′（x）=ex（x﹣3）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）遞增，在（﹣1，3）遞減，∴f（x）極小值=f（3）=﹣，f（x）極大值=f（﹣1）=﹣．18．（+）n的展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：3．（1）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）由條件可得=，由此求得n的值．（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【解答】解：（1）∵的展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：3，即=，求得n=15．（2）根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?，可得當(dāng)r=7或8時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值，故展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T8=?x﹣3，T9=?為．．19．用數(shù)學(xué)歸納法證明（1+x）n＞1+nx，這里x＞﹣1且x≠0，n∈N*且n≥2．【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（1）驗(yàn)證當(dāng)n=2時(shí)，原不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，由數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立即可．【解答】證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+2x+x2，右邊=1+2x，∵x2＞0，∴左邊＞右邊，原不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即（1+x）k＞1+kx，則當(dāng)n=k+1時(shí)，∵x＞﹣1，∴1+x＞0，在不等式（1+x）k＞1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k?（1+x）＞（1+kx）?（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，∴（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．綜合（1）（2）可得對一切正整數(shù)n，不等式都成立．20．盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同．（1）從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)球，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率P；（2）從盒中一次隨機(jī)取出4個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為x1，x2，x3，隨機(jī)變量X表示x1，x2，x3中的最大數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（X）．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】（1）先求出取2個(gè)球的所有可能，再求出顏色相同的所有可能，最后利用概率公式計(jì)算即可；（2）先判斷X的所有可能值，在分別求出所有可能值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可．【解答】解（1）一次取2個(gè)球共有=36種可能，2個(gè)球顏色相同共有=10種可能情況∴取出的2個(gè)球顏色相同的概率P=．（2）X的所有可能值為4，3，2，則P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列為X234P故X數(shù)學(xué)期望E（X）=．21．已知函數(shù)f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn)，然后列表討論，求函