K單元概率

K1隨機(jī)事件的概率

20[2014?湖北卷]計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過去50

年的水文資料顯示，水年△源量才（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億

立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35

年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年

的年入流量相互獨(dú)立.

⑴求未來4年中，至冬有1年的年入流量超過120的概率.

⑵水電站希望安裝而展電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量才

限制，并有如下關(guān)系：

年入流量才40</8080W辰120力120

發(fā)電機(jī)最多

123

可運(yùn)行臺(tái)數(shù)

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤為5000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損

800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？

20.解：（1）依題意，n=P（40CK80）=丘=0.2,

uU

35

R=〃（80W后120）=TT=0.7,

bl）

p=P（A>120）=-=0.1.

由二項(xiàng)分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為

p=Cj（l-R）4+Cl（l-A）3P3=0.9!+4X0.93X0.1=0.9477.

（2）記水電站年總利潤為，（單位：萬元）.

①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

由于水庫年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對應(yīng)的年利潤Q5000,

6（力=5000X1=5000.

②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)40</80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)-5000-800=4200,因此。”=4200）

=夕（40<*80）=口=0.2；當(dāng)廬80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)45000X2=10000,因此

A/=ioooo）=p（念80）=n+a=o.8.由此得y的分布列如下:

J,420010000

P0.20.8

所以，以。=4200X0.2+10000X0.8=8840.

③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)40〈*80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)7=5000-1600=3400,因此。（勺3400）

=P（40<*80）=R=0.2；當(dāng)80W啟120時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)勺5000X2—800=9200,

因此尸（Y=9200）=P（80W庇120）=R=0.7；當(dāng)心120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)7=5000X3

=15000,因此尸（片15000）=PQ>120）=R=0.1.由此得V的分布列如下：

Y3400920015000

P0.20.70.1

所以，MD=3400X0.2+9200X0.7+15000X0.1=8620.

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).

17.,,,[2014?四川卷]一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊

鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，

出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得一

200分）.設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為今且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.

(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X求才的分布列.

(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？

(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加

反而減少了.請運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因.

17.解：(1)乃可能的取值為10,20,100,-200.

根據(jù)題意，有

P(i=io)=c；x

夕(才=20)=CsX隊(duì)。一式=4

產(chǎn)?=100)=成乂(￡|3*(1-3

產(chǎn)(才=-200)=C?xQ°x^l-1y=1.

所以才的分布列為：

X1020100-200

331

P

8888

(2)設(shè)“第，盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件4a=1,2,3),則

夕(4)=尸(4)=夕(4)=?(才=-200)=].

O

T

所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1-。(444)=1一I-右

511

512,

5]1

因此，玩三盤游戲至少有?盤舟現(xiàn)音樂的概率是

O1Z

⑶由⑴知，小的數(shù)學(xué)期望為^=10x1+20x1+100x1-200x1=-1.

ooo54

這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù).

因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.

K2古典概型

11.x[2014?廣東卷]從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這

七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為.

11.1[解析]本題主要考查古典概型概率的計(jì)算，注意中位數(shù)的求法.從0,1,2,3,

4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù)，有點(diǎn)。種方法，若七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6,則只需從0,

1,2,3,4,5中選三個(gè)，從7,8,9中選三個(gè)不同的數(shù)即可，有索森種方法.故這七個(gè)數(shù)

的中位數(shù)是6的概率-高=至

18.、、［2014?福建卷］為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對1000位顧客進(jìn)行

獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所

標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.

(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：

(i)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；

(ii)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望.

(2)商場對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和

50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額

盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡,請對袋中的4個(gè)球的面值給出一

個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.

18.解：(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為尤

(i)依題意，得P(K60)=-^r=-

即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為

(ii)依題意，得才的所有可能取值為20,60.

夕(才=60)+

1

P(才=20)=R=5，

Ciz

即開的分布列為

X2060

p0.50.5

所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為￡(?=20X0.5+60X0.5=40(元).

(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元.所以，先尋找期望為60元的可

能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?/p>

60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，

因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,

50,50),記為方案1.

對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,

20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.

以下是對兩個(gè)方案的分析：

對于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為力，則用的分布列為

Xx2060100

121

p

636

121

X的期望為f(^)=20X-+60X-+100X-=60,

636

X的方差為〃(給=20-60)2X-+(60-60)2X-+(100-60)2X-=^-.

6363

對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為龍，則石的分布列為

X2406080

121

P

636

191

龍的期望為￡(/6)=40X-+60X-+80X-=60,

636

191400

%的方差為Z?U)=(40-60)2X-+(60-60)2X-+(80-60)2X-=—

6363

由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以

應(yīng)該選擇方案2.

5.［2014?新課標(biāo)全國卷I］4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),

則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()

5.D［解析］每位同學(xué)有2種選法，基本事件的總數(shù)為2'=16,其中周六、周日中有

97

一天無人參加的基本事件有2個(gè)，故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為1一六=1

168

6.［2014?陜西卷］從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)

的距離不小于該正方形邊長的概率為()

1234

C

-一--

5B.55D.5

6.C［解析］利用古典概型的特點(diǎn)可知從5個(gè)點(diǎn)中選取2個(gè)點(diǎn)的全部情況有戊=

10(種)，選取的2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的情況有：選取的2個(gè)點(diǎn)的連線為正方形

的4條邊長和2條對角線長，共有6種.故所求概率—白=去

1U0

16.、、［2014?天津卷］某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)

中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)

從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相

同).

(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；

(2)設(shè)才為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量才的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.解：(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件4則

z八C；?C?+d?C?49

山)=-S-=而

所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為京.

60

(2)隨機(jī)變量力的所有可能值為0,1,2,3.

內(nèi)=左)=包沿-(-0,1,2,3),

Lio

所以隨機(jī)變量才的分布列是

才0123

1131

p

62To30

隨機(jī)變量乃的數(shù)學(xué)期望以①-0X^+1X1+2XT7-+3X^-=1.

0Z1U3Uo

9.、［2014?浙江卷］已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有小個(gè)紅球和〃個(gè)藍(lán)球

E23,〃23）,從乙盒中隨機(jī)抽取〃？=1,2）個(gè)球放入甲盒中.

（a）放入/個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為2。=1,2）；

（b）放入/個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為“（/=1,2）.

則(）

A.,

B..￡（蠹）＞￡（。）

C.n,＞。,￡（入）＞￡（打）

D..△熟）＜以上）

QOO1Qp2QrF

9.A[解析]方法一：不妨取卬=〃=3,此時(shí)，pi=-X-+-X-=~,^=-7X-+-TFX

bzbz4&35

2

2,19Q33C?ddC?

則P1>R；Mf1)=1X-+2X-=-,￡(f2)=1X占+2X寸+3X^=2,則

3，6JJOOZLHCf；Cts

￡(△)7(f2).故選A.

?、入一m2,n12m+nCi3.ClCl2,Cn1

方法—.：p\=-~工~,p尸不—乂三+不-+~2—X[=

m+n2m+n22urn-n)30+〃33

3后一3%+4他+〃2—〃

3(m+n)(ZZT+Z?-1)’

mn+n(〃-1)

則p\—pi—-------------------------------->0-

6(m+n)(?+77—1)'

E（外=1義鼎+2義in20+〃

ni-\-nm+n'

F2X衿3義會(huì)=

E(；2)=1

Carl-.v/jdH-z?CJH-/1

3/z/—3R+4+d—n

(m+ri')(勿+n-1)’

—m+m—mn

￡(△)一￡([2)<0,故選A.

C/n+n)(ZZ/+77—1)

18.,［2014?重慶卷］一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字

是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片.

（1）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；

（2）1表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求小的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（注：若三個(gè)數(shù)a,b,c滿足a〈6Wc,則稱6為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)）

C：+C5

18.解：（1）山古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為々

C-84,

（2）1的所有可能值為1,2,3,且

dCs+d17

P{X=1)-Cj-=42，

CCC+C窕1+點(diǎn)43

P(>=2)=

Cs?84'

戲C；1

0(1=3)=

故才的分布列為

X123

17431

P

428412

y/入17I43,147

從而f(/O=1X—+2X—+3X—=—

o^t1ZZo

K3幾何概型

14.>[2014?福建卷]如圖1?4,在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒

一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_______.

2

14.-[解析]因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx的圖像與函數(shù)尸e'的圖像關(guān)于正方形的對角線所在

e

直線尸x對稱，則圖中的兩塊陰影部分的面積為

e

S=2CJnx辦=2(x/〃x—x)1=2[(e/〃e—e)—(In1—1)]=2,

11

2

故根據(jù)幾何概型的概率公式得，該粒黃豆落到陰影部分的概率P=T

后0,

7.[2014?湖北卷]由不等式組確定的平面區(qū)域記為0,不等式組

jx—2W0

、C確定的平面區(qū)域記為在化中隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)恰好在a內(nèi)的概率為

x+y^—2

()

1137

A-8B-4C4D-8

7.D[解析]作出口，0表示的平面區(qū)域如圖所示，

)/y-x-2=0

x+y=-2

「1111L-八173

Sm=5k.[如=]X2X2=2,見落萬=]X1X]=7，貝ljS四邊形/OEC=—S^BCE=2--=-故山

7

幾何概型得，所求的概率—*羅=3=(?故選D.

D3/1ZO

14.[2014?遼寧卷]正方形的四個(gè)頂點(diǎn)加一1,-1),4(1,-1),C(l,1),〃(一1,

1)分別在拋物線尸=一/和尸f上，如圖1-3所示.若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形/版中,

則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是

圖1-3

2

14.-［解析］正方形力筋的面積S=2X2=4,陰影部分的面積S=2.(1一方也=

-1

8

1Xo39

(X—故質(zhì)點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率P=4=3,

K4互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

17.、［2014?湖南卷］某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別

93

為§和g.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品笈設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.

(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率.

(2)若新產(chǎn)品4研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品笈研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企

業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.

17.解：記￡=｛甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功｝,尸=｛乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功｝,由題設(shè)知

2132

-㈤P(玲PS

3355

且事件/與用E與F,E與F,“與少都相互獨(dú)立.

192

⑴記H=｛至少有?種新產(chǎn)品研發(fā)成功｝,則H=EF,于是P(力=〃(￡)P3=-X-=—,

3515

213

故所求的概率為P(田=1一P⑵=1一卷=苦.

Io10

(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為1(萬元)，則1的可能取值為0,100,120,220.因?yàn)镻(￥=0)=

/八122/?131

,P{X=100)=P(EP)=-X-=-,

3515355

224

23?

?(>=220)=P(ER=oX7=7.

故所求的分布列為

X0100120220

2142

P

?55155

數(shù)學(xué)期望為

~訃八2「八八1……4?2300+480+13202100

^=0X-+100X-+120X-+220X-==140.

1515

16.、、［2014?天津卷］某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)

中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)

從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相

同).

(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；

(2)設(shè)才為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量才的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.解：(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件4則

八C?C?+d?C?49

P{A)=-----------,

Cio60

所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為方

(2)隨機(jī)變量才的所有可能值為0,1,2,3.

cf?C受

/(『)=':(仁0,1,2,3),

Cio

所以隨機(jī)變量1的分布列是

X0123

1131

P

62To30

隨機(jī)變量才的數(shù)學(xué)期望￡00=OX：+1X〈+2X得+3xJ；=2

ON1UoU0

K5相互對立事件同時(shí)發(fā)生的概率

17.、［2014?安徽卷］甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽

2

完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為可，乙獲勝

的概率為:，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

O

(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；

(2)記才為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求才的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

17.解：用力表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，4表示“第4局甲獲勝”，

21

員表示“第4局乙獲勝”，則2(4)==，P⑻=q,k=l,2,3,4,5.

OO

⑴-(4)=P(A而+尸(8AA)+-(4544)=。(4)夕(4)+。(加。(㈤?(4)+

P(4)P⑻/(A)尸(4)=(1)2+卜斷+

21化￥56

⑵開的可能取值為2,3,4,5.

5

夕(方=2)=0(4&+P(M=。(4)2(4)+夕(加P(B)=g,

P(>=3)=P(BiAiAj+。(4氏及)=

2

P的尸(4)尸(4)+P(4)P1BD尸(氏)

P(X=4)=P(4844)+=尸(4)尸(反)尸(4)夕(4)+P⑻P⑷P⑻，P?=

10

81，

g

夕(>=5)=1—P(X=2)一尸(1=3)一。(44)=—

ol

故1的分布列為

X2345

52108

P

998181

z,c5,c2,10,8224

￡r=2X-+3X-+4X-+5X-^—

16.、［2014?北京卷］李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計(jì)如下(假設(shè)各場比賽相互

獨(dú)立)：

場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)

主場12212客場1188

主場21512客場21312

主場3128客場3217

主場4238客場41815

主場52420客場52512

(1)從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；

(2)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個(gè)主場和一個(gè)客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6,

一場不超過0.6的概率；

(3)記x為表中10個(gè)命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，記乃為李明在這

場比賽中的命中次數(shù)，比較打與x的大小.(只需寫出結(jié)論)

16.解：(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的有5場，

分別是主場2,主場3,主場5,客場2,客場4.

所以在隨機(jī)選擇的?場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5.

(2)設(shè)事件4為“在隨機(jī)選擇的一場主場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6”，事件5

為“在隨機(jī)選擇的一場客場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6"，事件C為“在隨機(jī)選擇

的一個(gè)主場和一個(gè)客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6,一場不超過0.6”.

則C=4夙J",A,8相互獨(dú)立.

根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，以4=￡,

55

=25-

所以，在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場和一個(gè)客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6,一場不

13

超過0.6的概率為亞.

zb

⑶￡￥=7.

17.、［2014?廣東卷］隨機(jī)觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)(單

位：件),獲得數(shù)據(jù)如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,

49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.

根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[25,30]30.12

(30,35]50.20

(35,40]80.32

(40,45]n\fi

(45,50]fi

(1)確定樣本頻率分布表中s,m,￡和6的值；

(2)根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；

(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)

間(30,35］的概率.

20....［2014?湖北卷］計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過去50

年的水文資料顯示，水年人申革1(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億

立方米)都在40以上，4市，木足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35

年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年

的年入流量相互獨(dú)立.

⑴求未來4年中，至冬有1年的年入流量超過120的概率.

(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量才

限制，并有如下關(guān)系：

年入流量才40<K8080W辰120?120

發(fā)電機(jī)最多

123

可運(yùn)行臺(tái)數(shù)

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤為5000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損

800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？

20.解：(1)依題意，n=/(40CK80)=L=0.2,

R=P(80W啟120)===0.7,

5

p；=P(Z>120)=—=0.1.

由二項(xiàng)分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為

3：l

p=d(l-A)'+C'l(l-p3)Ja=0.9'+4X0.9X0.1=0.9477.

(2)記水電站年總利潤為K單位：萬元).

①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

由于水庫年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對應(yīng)的年利潤『=5000,

￡(丹=5000X1=5000.

②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)40<*80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)7=5000-800=4200,因此夕(F=4200)

>

=/(40<^<80)=pl=0.2；當(dāng)后80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)y=5000X2=10000,因此

p(r=ioooo)(廬80)=R+R=O.8.由此得y的分布列如下:

Y420010000

P0.20.8

所以,￡(0=4200X0.2+10000X0.8=8840.

③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)40</80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)7=5000-1600=3400,因此AK=3400)

=P(40〈/80)=R=0.2；當(dāng)80W啟120時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)^=5000X2-800=9200,

因此尸(Q9200)=P(80W后120)=A=0.7；當(dāng)心120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)7=5000X3

=15000,因此夕(y=15ooo)=20>12。)=網(wǎng)=0.1.由此得y的分布列如下：

Y3400920015000

P0.20.70.1

所以，E{Y}=3400X0.2+9200X0.7+15000X0.1=8620.

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).

21.、、［2014?江西卷］隨機(jī)將1,2,…，2〃(〃eN*,〃22)這2〃個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成4

6兩組，每組〃個(gè)數(shù).力組最小數(shù)為國,最大數(shù)為&；6組最小數(shù)為打，最大數(shù)為醫(yī)記f=

az—a>,Q=bi-b\*

(1)當(dāng)〃=3時(shí)，求f的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)令。表示事件“S與〃的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率一(。；

(3)對(2)中的事件G下表示C的對立事件，判斷必。和P(Z)的大小關(guān)系，并說明理

由.

21.解：(1)當(dāng)〃=3時(shí)，孑的所有可能取值為2,3,4,5.

將6個(gè)正整數(shù)平均分成46兩組，不同的分組方法共有索=20(種)，所以；的分布列

為：

2345

1331

P

5ToTo5

13,317

E；=2X-+3X—+4X—+5X-=-

5101052

(2)f和〃恰好相等的所有可能取值為〃一1,n,n+1,2/7-2.

又孑和〃恰好相等且等于〃一1時(shí)，不同的分組方法有2種；

f和〃恰好相等且等于〃時(shí)I不同的分組方法有2種；

1和〃恰好相等且等于力+AG=1,2,…,力-2)523)時(shí),不同的分組方法有2(1種.

42

所以當(dāng)力=2時(shí)、

63

2(2+/上)

當(dāng)〃23時(shí)，尸(。=二一.

⑶由⑵得，當(dāng)〃=2時(shí)，2(。=/，因此P(O>P(。.而當(dāng)〃》3時(shí)，pg4pg.

O

理由如下：

n-2

尸(。<2(0等價(jià)于4(2+E匿)①

k=\

用數(shù)學(xué)歸納法來證明：

(i)當(dāng)〃=3時(shí)，①式左邊=4(2+0=4(2+2)=16,①式右邊=a=20,所以①式成立.

(ii)假設(shè)〃=卬(加)3)時(shí)①式成立，即

4(2+￡二引?成立,

那么，當(dāng)n=m+l時(shí),

/E-2\/t、(20)I

左邊=4(2+￡4%)=4(2+￡上+4Cj<CL+4Cj+

4?(2加一2)!(R+1)z(2加(2加一2)!(4m-l),

---------------------=-------------------------------------<

(/?—1)!(2Z7—1)!(zH-1)!(zzz+l)!

(加+1)2(2加(2/〃-2)!(4加

(葉1)!Y""*

(0+1)

2(次+1)加

<C以i+i>=右邊,

(2加+1)(2m-1)

即當(dāng)n—/n+l時(shí)，①式也成立.

綜合(i)(ii)得，對于的所有正整數(shù)，都有以。＜?(。成立.

18.、、［2014?遼寧卷］一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的

頻率分布直方圖，如圖1-4所示.

頻率

W,

0.006-------------------------

0.005----------------

0.004.............................................

0.003--------

0.002..........................................................

O50―100—150—2m—250日銷售:/個(gè)

圖1-4

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.

(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的II銷售量

低于50個(gè)的概率；

(2)用才表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量乃的分布列，期

望￡(4及方差〃(心.

18.解：(D設(shè)4表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，4表示事件“日銷售量低于50

個(gè)”，8表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另1天銷售量低

于50個(gè)”.因此

2(4)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,

P(4)=0.003X50=0.15,

P(B)=0.6X0.6X0.15X2=0.108.

(2)才可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率分別為

孫了=0)=C§?(1-0.6尸=0.064,

Pgl)=C；?0.6(1-0.6)2=0.288,

P(X=2)=C1?0.62(l-0.6)=0.432,

夕(1=3)=C；?0.63=0.216.

才的分布列為

X0123

P0.0640.2880.4320.216

因?yàn)閔6(3,0.6),所以期望夙心=3X0.6=1.8,方差〃(a=3X0.6X(1—0.6)=

0.72.

20.、［2014?全國卷］設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為

0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.

(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；

(2)1表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求才的數(shù)學(xué)期望.

20.解：記4表示事件：同一工作日乙、丙中恰有，人需使用設(shè)備，，=0,1,2.

6表示事件：甲需使用設(shè)備.

C表示事件：丁需使用設(shè)備.

〃表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備.

(1)因?yàn)槭?而=0.6,尸(0=0.4,尸(4)=C：X0.5?,7=0,1,2,

所以P(/J)=0(4?B-C+A2?B+A2?0=

?(4?B>0+AA?B)+AA?小。=

夕(4)P⑦P9+夕(4)P0+。(4)P出2(。=

0.31.

(2)一的可能取值為0,1,2,3,4,其分布列為

P(X=6=P0Av0

=P(0P(4)P(0

=(1-0.6)X0.52X(l-0.4)

=0.06,

P(X=D=P(B?4?C+B?4?C+B?4?0=

尸⑶尸(4)P(。+PSP⑷P(O+P(一尸(4)尸(。=0.6X0.52X