希臘郵票上的數(shù)學(xué)定理和中國的“商高定理”1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案像是由三個(gè)棋盤排列而成。這張郵票是紀(jì)念2500年前希臘一個(gè)學(xué)術(shù)和宗教團(tuán)體——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，它的成立以及在文化上的貢獻(xiàn)。這圖案事實(shí)上就是數(shù)學(xué)上一個(gè)非常重要定理的證明。在中學(xué)的幾何我們學(xué)到這個(gè)定理：“直角三角形的斜邊的平方等于其他二邊的平方的和?！本褪沁@個(gè)圖案所要表示的定理。畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras生于公元前572年？——死于公元前492年？）是希臘的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家。出生在希臘撒摩亞（Samoa）地方的貴族家庭，年青時(shí)曾到過埃及和巴比侖那里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，游歷了當(dāng)時(shí)世界上兩個(gè)文化水平極高的文明古國。有一個(gè)希臘學(xué)者歐地姆斯（Eudemus）對(duì)于當(dāng)時(shí)埃及的數(shù)學(xué)產(chǎn)生的情況這樣寫道：“幾何是由于埃及人為了測量土地而發(fā)現(xiàn)的。這種測量是必要的，因?yàn)槟崃_河畔常泛濫，洪水把土地的邊界沖壞。因此幾何學(xué)這門數(shù)學(xué)就像其他科學(xué)是產(chǎn)生于人類的實(shí)際需要。所有的知識(shí)從粗糙的環(huán)境產(chǎn)生會(huì)逐漸完美化。人們最初是感性認(rèn)識(shí)，可是逐漸它變成我們默想的對(duì)象，最后進(jìn)入知識(shí)的王國?！碑呥_(dá)哥拉斯后來就到意大利的南部傳授數(shù)學(xué)及宣傳他的哲學(xué)思想，后來和他的信徒們組成了一個(gè)所謂“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”的政治和宗教團(tuán)體。這學(xué)派和另外愛利亞學(xué)派同是古希臘最早的唯心論學(xué)派。他們認(rèn)為世界萬物的本原并不是物質(zhì)，而是一種抽象非物質(zhì)的東西——數(shù)。他們認(rèn)為數(shù)是獨(dú)立存在，是決定客觀世界的東西。數(shù)是在人類認(rèn)識(shí)以前，先已存在。它是主宰萬物的神。他們把數(shù)絕對(duì)化和神秘化，認(rèn)為沒有數(shù)，人就不能認(rèn)識(shí)事物，也不能思考什么。整個(gè)宇宙是由數(shù)有秩序有規(guī)律的組成。畢達(dá)哥拉斯是比同時(shí)代中一些開壇授課的學(xué)者進(jìn)步一點(diǎn)：因?yàn)樗菰S婦女（當(dāng)然是貴族婦女而不是奴隸女婢）來聽課。他認(rèn)為婦女也是和男人一樣在求知的權(quán)利上平等，因此他的學(xué)派中就有十多名女學(xué)者。這是其他學(xué)派所沒有的現(xiàn)象。傳說他是一個(gè)非常優(yōu)秀的教師，他認(rèn)為每一個(gè)人都該懂些幾何。有一次他看到一個(gè)勤勉的窮人，他想教他學(xué)習(xí)幾何，因此對(duì)他建議：如果這人能學(xué)懂一個(gè)定理，那么他就給他一塊錢幣。這個(gè)人看在錢份上就和他學(xué)幾何了，可是過了一個(gè)時(shí)期，這學(xué)生對(duì)幾何這門數(shù)學(xué)引起極大的興趣，反而要求畢達(dá)哥拉斯教快一些，并且建議：如果老師多教一個(gè)定理，他就給一個(gè)錢幣。不需要多少時(shí)間，畢達(dá)哥拉斯把他以前給那學(xué)生的錢全部收回了。他在幾何上的貢獻(xiàn)相當(dāng)多，如證明了直角三角形的三個(gè)內(nèi)角和是180°。知道在三維空間正多面體只有五種。最著名的結(jié)果當(dāng)然就是那個(gè)所謂“畢氏定理”了。傳說當(dāng)他得到了這個(gè)定理時(shí)，非常的高興，殺了一頭牛作為犧牲獻(xiàn)給天神。（有些歷史學(xué)家說是100頭牛，這個(gè)代價(jià)可太大了！）這個(gè)定理在數(shù)學(xué)上是基本而且非常重要，是數(shù)學(xué)上有最多種不同證明的定理——有400多種證明！我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)習(xí)的證法就像那希臘郵票上所示，是最初記載在歐幾里得的《幾何原本》里。畢達(dá)哥拉斯是死在意大利科多拿城里，在一場城市暴動(dòng)中，他被人暗殺掉。幾年前我游歷意大利時(shí)，到這個(gè)古山城去還看到他的墳?zāi)?，這墳?zāi)咕拖裰袊酿z頭式墳。2000多年過去了，這墳還保留下來，可見人們對(duì)這學(xué)者的重視。說這定理是畢達(dá)哥拉斯所發(fā)現(xiàn)的是不大確切。因?yàn)樵谶@之前1000年，埃及、巴比倫和中國的勞動(dòng)人民已懂得利用一些特殊的直角三角形來切割方型的石塊，從事建筑廟宇、城墻等。考古學(xué)家從巴比侖的泥板書的記載發(fā)現(xiàn)古巴比侖人已經(jīng)懂得了一些和直角三角形有關(guān)的問題。在中國最古老的數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》里，一開頭就有周公問商高：“天不可階而升，地不可將尺寸而度?！碧斓母叨群偷孛娴囊恍y量的數(shù)字是怎樣得到的呢？這個(gè)據(jù)說是公元前1100年間的中國數(shù)學(xué)家商高講到：“勾廣三，股修四，徑隅五。”就是說可以用直角三角形的定理來算。里面在講到立竿測影的問題時(shí)，另外一個(gè)古代數(shù)學(xué)家陳子講道：“勾股各自乘，并而開方得弦?！边@就很明確的說出畢氏定理。周髀算經(jīng)里還這樣記載：“周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也。正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益長。候勾六尺，即取竹，空經(jīng)一寸，長八尺，捕影而觀之，室正掩日，而日應(yīng)空之孔。由此觀之，率八十寸而得徑一寸，故此勾為首，以髀為股，從髀至日下六萬里而髀無影，從此以上至日，則八萬里?！币私庵袊嗣窭眠@定理在科學(xué)上實(shí)踐的重要意義，最好是看看錢偉長教授對(duì)這段文字的說明：“……商高，陳子等利用立竿（即周髀）測定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在鎬京（今西安附近）一帶，夏至日太陽影長一尺六寸，再正南千里，影長一尺五寸。正北千里，影長一尺七寸。祖先天才地用測量日影的辦法，推算了夏至日太陽離地的斜高，用同理測定了冬至日的太陽斜高。又取中空竹管，徑一寸長八尺，用來觀測太陽，我們的祖先發(fā)現(xiàn)太陽圓影恰好充滿竹管的視線，于是用太陽的斜高和勾股的原則，推算太陽的直徑。這些測定的數(shù)據(jù)，雖然非常粗略，和實(shí)際相差很遠(yuǎn)，但在3000年前那樣早的年代，有這樣天才的創(chuàng)造和實(shí)踐的觀測精神，是我們應(yīng)該學(xué)習(xí)的?！睘榱思o(jì)念中國人民在這方面的成就，把這個(gè)定理叫作“勾股定理”或是“商高定理”。漢朝的數(shù)學(xué)家趙君卿，在注周髀算經(jīng)時(shí)，附了一個(gè)圖（見圖一）來證明“商高定理”。這個(gè)證明是四百多種“商高定理”的證明中最簡單和最巧妙的。（見圖二）外國人用同樣的方法來證明的，最早是印度數(shù)學(xué)家巴斯卡拉·阿查雅（Bhaskara－Acharya生于公元1114年，死于1185年），那是公元1150年的時(shí)候，可是比趙君卿還晚了1000年。東漢初年根據(jù)西漢和西漢以前數(shù)學(xué)知識(shí)積累而編纂的一部數(shù)學(xué)著作：《九章算術(shù)》里面有一章就是講“商高定理”在生產(chǎn)事業(yè)上的應(yīng)用?？上е袊嗽谶@之后對(duì)這個(gè)定理很少作進(jìn)一步的研究，一直到清朝時(shí)才有華蘅芳、李銳、項(xiàng)名達(dá)、梅文鼎等創(chuàng)立了這個(gè)定理的幾種巧妙的證明，讀者如有興趣可以找許純舫著的《中算家的幾何學(xué)研究》一書來看。在本世紀(jì)初，有許多科學(xué)家相信火星上是有高度智慧的生物。因?yàn)閺耐h(yuǎn)鏡上可以看到火星上有運(yùn)河的樣子，人們猜想可能是“火星人”用極冠的冰雪融化了來灌溉干燥的土地。我們要怎么樣傳達(dá)訊息給火星人，讓他們知道在這個(gè)太陽系里的另一個(gè)行星——地球也有像他們那樣聰明的生物呢？有人想到既然在地球上的不同地區(qū)不同民族，因?yàn)樯a(chǎn)的需要而先后發(fā)現(xiàn)了這個(gè)“商高定理”。那么如果火星上的生活條件和地球一樣，火星人肯定也會(huì)知道這個(gè)定理。因此我們可以在西伯利亞種上闊排的樹林，形成一個(gè)直角三角形。或者在撒哈拉沙漠挖一個(gè)直角三角形的大運(yùn)河，然后在上面倒上石油，晚上點(diǎn)起火來?；鹦侨丝赡軓耐h(yuǎn)鏡（如果他們有的話！）看到，就知道地球上有人，可能還會(huì)乘飛碟過來訪問我們！由于工程太大，這些方法從來沒有實(shí)現(xiàn)過。可是人類并沒有放棄和地球外生物聯(lián)系的念頭，最近美國科學(xué)家用激光把有關(guān)地球和人類的一些訊息傳播到宇宙去就是一個(gè)大膽的嘗試。當(dāng)然這些科學(xué)技術(shù)上的理論不可避免的就有用到了這個(gè)數(shù)學(xué)上最重要的定理。我們這里列下幾個(gè)有關(guān)問題，讓讀者動(dòng)動(dòng)腦筋：1．美國開國以來，只有一個(gè)總統(tǒng)是在數(shù)學(xué)上有貢獻(xiàn)。他就是Garfield總統(tǒng)，他在1876年給了畢氏定理的一個(gè)證法（這也是他唯一的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)?。?。你知道他怎么樣證明呢？（見圖三）2．在一張白紙上畫一個(gè)直角三角形，然后像郵票上的圖案在每邊上畫一個(gè)正方形，然后找股邊上的正方形的中心，由這點(diǎn)畫和弦平行的直線，以及垂直這線的線（如圖四）。用剪刀把有線的地方剪下。你能不能用a，b，c，d，e五個(gè)方塊把以弦為邊的正方形鋪滿？3．畫那著名的“蒙娜麗莎”的意大利文藝復(fù)興時(shí)代畫家達(dá)·芬奇，是一個(gè)多才多藝的人。他也是對(duì)數(shù)學(xué)有一些研究，底下是他對(duì)“商高定理”的證明，你能猜出他怎么樣證嗎？（圖五）4．凡是滿足代數(shù)式x2+y2=z2的正整數(shù)，我們稱為“商高數(shù)組”，如{3，4，5}就是一個(gè)。52+122=132所以{5，12，13}也是一個(gè)。可以證明“