多元函數(shù)復(fù)合求導(dǎo)和隱函數(shù)第1頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(全導(dǎo)數(shù)公式)第2頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里表示固定y對(duì)x求導(dǎo),表示固定v對(duì)x求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一例1.設(shè)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一例2.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到,下列例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).第7頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一為簡便起見,引入記號(hào)例4.設(shè)

f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一例1.例6.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一第11頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法第12頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一兩邊對(duì)x求導(dǎo)回顧—利用隱函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一例1.方程解:令則求第16頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則第17頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一解法1利用公式設(shè)則兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.設(shè)第18頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一解法2利用隱函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束再對(duì)x求導(dǎo)例2.設(shè)第19頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.設(shè)解法3.利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).第20頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一思路：解令則第21頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一整理得第22頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一整理得整理得第23頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一解法2.利用公式第六節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)則第24頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一解法3.利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).第六節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束由dy,dz的系數(shù)即可得第25頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一有隱函數(shù)組則兩邊對(duì)x求導(dǎo)得設(shè)方程組公式目錄上頁下頁返回結(jié)束二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.第26頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一由F、G的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比(Jacobi)行列式.雅可比目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第28頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一解:二元線性代數(shù)方程組解的公式第29頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一例4.設(shè)解:方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí):求機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束答案:故有第30頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如,2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是因變量,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第31頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一3、隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算;方法2.代公式;方法3.利用微分形式不變性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第32頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一思考題1.已知求解:由兩邊對(duì)x求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第33頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一第34頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一第35頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),3.

設(shè)解:兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得(2001考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解得因此第36頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一4.設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),求解法1分別在各方程兩端對(duì)x求導(dǎo),得(99考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第37頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一解法2微分法.對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡得消去機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束可得第38頁，共44頁，2023年，2月20日，星期一