重視方程解法教學(xué)加強(qiáng)運(yùn)算能力培養(yǎng)摘要：根據(jù)中考試題的批閱結(jié)果，結(jié)合平時的教學(xué)實(shí)踐，分析一元二次方程解法教學(xué)中存在的不足，并從發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的角度，談?wù)勁囵B(yǎng)運(yùn)算能力的五點(diǎn)做法體會和感悟思考。關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué),一元二次方程解法,運(yùn)算能力培養(yǎng) 引言:筆者有幸參加了2019年安徽省中考試題第15題的批閱，它是一道解答題：解方程（x-1）2＝4。這道題的難度系數(shù)為0.75，是解答題中最容易的一道題 ，滿分率卻只有66%。錯誤的類型主要有:開平方出錯、應(yīng)用公式出錯、解方程步驟缺失、弄錯符號。最重要的是由于一元二次方程解法選擇不當(dāng)出現(xiàn)了錯誤，比如有考生去括號整理成方程的一般形式再運(yùn)用公式法求解，由于求根公式記錯或計算錯誤造成失分。分析主要原因是：解法掌握不牢固，運(yùn)算能力不足。為促進(jìn)運(yùn)算能力的進(jìn)一步提升，結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，從一元二次方程解法的角度，淺談對運(yùn)算能力培養(yǎng)的體會及感悟。一、做法與體會1．把握知識的整體性一元二次方程是初中學(xué)段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中方程的重點(diǎn)內(nèi)容，它在課程內(nèi)容中起到了呈上啟下的作用。一元二次方程的解法體現(xiàn)了“降次”、“化歸”、“類比”及“特殊化”、“一般化”等數(shù)學(xué)思想方法，它與前面利用“消元”法解二元一次方程組內(nèi)容奠定了方程（組）解法的基礎(chǔ)。一元二次方程的解法涉及到代數(shù)運(yùn)算，又與不等式，函數(shù)聯(lián)系緊密，是后續(xù)學(xué)習(xí)高次方程及無理（超越）方程解法的基本支撐，也是一種應(yīng)用更為廣泛的數(shù)學(xué)模型，又因?yàn)樗慕夥ǖ撵`活性及綜合性，故中考試題頻繁出現(xiàn)求解一元二次方程及其相關(guān)問題，以安徽省為例，多年來，安徽（畢業(yè)）學(xué)業(yè)水平考試中，考察一元二次方程的解法及應(yīng)用分值最高達(dá)10分左右。因此，學(xué)好一元二次方程的解法對于學(xué)生鞏固代數(shù)運(yùn)算，促進(jìn)推理能力的發(fā)展，培養(yǎng)其應(yīng)用意識，有著重要意義。2．夯實(shí)運(yùn)算的準(zhǔn)確性

一元二次方程的解法涉及數(shù)與式的運(yùn)算及代數(shù)式變形，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022版（以下簡稱新《課程標(biāo)準(zhǔn)》）與2011版均指出：運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確運(yùn)算的能力。正確性是運(yùn)算能力的首要特征，為了夯實(shí)運(yùn)算的準(zhǔn)確性，應(yīng)從以下幾方面入手。（1）理解好關(guān)鍵概念從方程根的個數(shù)上，一元二次方程區(qū)別于一元一次方程就是在有解的情況下，一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，這與定義中未知數(shù)的最高次數(shù)有關(guān)，故理解一元二次方程的概念可避免漏解。配方在解方程時，是將左邊加上一個適當(dāng)?shù)臄?shù)變成（x+a）2的形式，同時方程右邊也要加上這個適當(dāng)?shù)臄?shù)，以使得方程的解不變。故理解配方是在方程兩邊的變形，目的使方程盡快變成(x+a)2=b的形式以利用開平方法求解。教學(xué)中，通過問題還要讓學(xué)生知道配方法還是代數(shù)式變形的一種重要方法。開平方與平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算，由于開平方運(yùn)算的結(jié)果一般有兩個，而學(xué)生易受運(yùn)算結(jié)果只有一個這個思維定勢的影響，往往在開平方中弄丟一個值，究其因，是對開平方概念的本質(zhì)認(rèn)識不到位，弄清概念的差別有利于減少運(yùn)算的失誤。因式分解與整式乘法最易混淆。學(xué)生對因式分解的結(jié)果形式認(rèn)識不充分，比如：方程（x+1）（x-1）-2=0求解時出現(xiàn)x+1=0或x-1-2=0的錯誤，因式分解法解方程的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)姆椒▽⒆筮呉蚴椒纸?，右邊變?yōu)?。求解一元二次方程時，通常會出現(xiàn)含根號的無理根，對于無理數(shù)有不少學(xué)生僅僅理解成披著根號外衣的有限小數(shù)。故在求解方程出現(xiàn)的無理根總是化成小數(shù)形式。故必須加強(qiáng)無理數(shù)概念的教學(xué)。（2）掌握好求根公式

求根公式是配方法推出方程根的結(jié)果，是解一元二次方程普適的方法。它用一元二次方程的系數(shù)來表示根的形式，理解好方程存在根式解的條件是b2-4ac≧0，根的判別式?jīng)Q定了方程有無實(shí)數(shù)根及兩根的關(guān)系。利用好這種方法要注意將方程化為一般形式，驗(yàn)算b2-4ac的值同時要牢記根的表達(dá)式，并要簡化根的形式。（3）處理好符號問題解方程中，移項(xiàng)、去括號、應(yīng)用公式等都應(yīng)注意符號的變化，符號方面的失誤是提升運(yùn)算能力的最大障礙。消除這個“絆腳石”，首先要理解算理掌握算法，算理中以理解加法，乘法的法則及混合運(yùn)算的順序?yàn)楹诵模柗▌t就是核心中的關(guān)鍵。其次，從基礎(chǔ)抓起，通過分類分層適量訓(xùn)練，加強(qiáng)符號間的轉(zhuǎn)化及聯(lián)系，是提高運(yùn)算準(zhǔn)確性的重要措施。 3．提升運(yùn)算的靈活性

運(yùn)算的靈活性包括會用多種解法求解及選擇簡便的解法。靈活性，最終指向解法的簡潔。新《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：選擇合理簡潔的運(yùn)算策略解決問題。例如：解方程（x-1）2=4，利用直接開平方法、因式分解法，求根公式法均可，但能提高解題效率的最簡潔的方法是直接開平方法。中考中，由于解法選擇不當(dāng)，造成步驟繁瑣，運(yùn)算失誤。再如解方程x2-2x=24（2016年安徽中考題），利用配方法是考查的重點(diǎn)，也是最適當(dāng)?shù)姆椒ā＝虒W(xué)中，教師要合理使用教材，靈活設(shè)計教學(xué)方案，以增強(qiáng)學(xué)生選擇簡便解法的意識。針對一元二次方程解法內(nèi)容，由四個版本：人教版、北師大版、華師大版及滬科版比對得：“開平方法”解方程教學(xué)時間安排為一課時，人教版處理較好，重視因式分解法（適用范圍較廣），滬科版較好；華師大版按照先開平方法，再因式分解法，隨后介紹配方法及公式法的順序編排內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)了解法的簡便性，我認(rèn)為更好。因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)中由于開平方法教學(xué)時間不充分，學(xué)生往往重視不夠。在一元二次方程應(yīng)用中，關(guān)于“平均增長（降低）率”問題的數(shù)學(xué)模型就是a(1±x)2=b，忽視開平方法會直接影響問題的解決。對于因式分解法在解決利潤等常見問題時，會比較方便，因?yàn)檫@時的方程系數(shù)往往較大，用公式法或配方法會非常麻煩，由于部分教材先介紹配方法后學(xué)習(xí)因式分解法，受“先入為主”首因效應(yīng)的影響，學(xué)生拿到方程，不考慮其特點(diǎn)，多數(shù)都用配方法，忽視了解法的簡潔性。故從優(yōu)選解法的角度，不能被教材牽著鼻子走，要擅用教學(xué)資源，豐富教學(xué)智慧，注重學(xué)法指導(dǎo)。運(yùn)算律的運(yùn)用，可以給運(yùn)算帶來的簡便，在利用分配律時，強(qiáng)調(diào)不要漏乘，乘法公式的靈活應(yīng)用，是教學(xué)的一個重點(diǎn)，多提醒從整體上把握代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，多提供公式逆用的相應(yīng)訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)平方和（差）與和（差）的平方區(qū)別。 4．強(qiáng)化推理能力

從數(shù)與代數(shù)在初中課程內(nèi)容所占的比重及學(xué)生在考試中失分現(xiàn)象看，代數(shù)推理能力必須加強(qiáng)，不能削弱。新《課程標(biāo)準(zhǔn)》在數(shù)與代數(shù)部分的教學(xué)提示中提到：“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”三個主題，是學(xué)生初步形成抽象能力和推理能力，感悟用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的重要載體。運(yùn)算也是一種推理，在實(shí)施運(yùn)算分析和解決問題的過程中，“由因?qū)Ч焙汀皥?zhí)果索因”的推理模式也是經(jīng)常用到的。它表現(xiàn)為有效探索運(yùn)算的條件和結(jié)論，已知與未知的相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化，思維方向是互逆的，更是相輔相成的[1]。對于一元二次方程求解來說，步驟不全，程序不當(dāng)，導(dǎo)致漏洞百出。比如配方法解方程，運(yùn)算程序雖然較復(fù)雜，但配方、開平方、寫出根的步驟絕不能少。教學(xué)中，對方程解法步驟的要求要嚴(yán)格。要體現(xiàn)推理的嚴(yán)密性，要在過程中引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。要創(chuàng)設(shè)多樣化的活動，由簡到繁，由特殊到一般地發(fā)展學(xué)生的推理能力。5．突出反思能力在評閱解方程過程中，發(fā)現(xiàn)約有10%左右的學(xué)生把方程驗(yàn)根的過程寫了出來，這說明解方程反思能力還是有的，教學(xué)中解分式方程及方程應(yīng)用必須強(qiáng)調(diào)驗(yàn)根的步驟，一是可能產(chǎn)生增根，二是根要符合實(shí)際意義，反思能力是運(yùn)算能力發(fā)展的拓展[2]。它包括解法簡潔化的反思，驗(yàn)算反思，因錯反思等。通過優(yōu)化課堂教學(xué)設(shè)計，重點(diǎn)引導(dǎo)對根據(jù)一元二次方程的特征靈活選擇解法上，對解法的步驟上進(jìn)行反思，不斷培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成勇于探索、自我反思的科學(xué)精神。二、感悟與思考運(yùn)算能力的形成不是一蹴而就的，它要經(jīng)歷從低級到高級，從具體到抽象有層次地發(fā)展過程。發(fā)展運(yùn)算能力應(yīng)體現(xiàn)發(fā)展的基礎(chǔ)性、層次性、階段性和整體性。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)多關(guān)注基礎(chǔ)運(yùn)算較差的學(xué)生，及時補(bǔ)差補(bǔ)缺，耐心細(xì)致對待他們的不足，給出個性化的輔導(dǎo)方案，倡導(dǎo)多