平行四邊形及其性質(zhì)【例1】如圖，O是ABCD對角線的交點．△OBC的周長為59，BD=38，AC=24，則AD=____若△OBC與△OAB的周長之差為15，則AB=____，ABCD的周長=____.分析：由平行四邊形對邊相等知AD=BC，由平行四邊形的對角線互相平分，可知△OBC與△OAB的周長之差就為BC與AB之差，可得AB，進(jìn)而可得ABCD的周長．△OBC的周長-△OAB的周長=(OB＋OC＋BC)-(OB＋OA+AB)=BC-AB=15∴AB=13∴ABCD的周長=AB＋BC＋CD＋AD=2(AB＋BC)=2(13＋28)=82說明：本題條件中的“△OBC占△OAB的周長之差為15”，用符號語言表示出來后，便容易發(fā)現(xiàn)其實質(zhì)，即BC與AB之差是15【例2】判斷題(1)兩條對邊平行的四邊形叫做平行四邊形．()(2)平行四邊形的兩角相等．()(3)平行四邊形的兩條對角線相等．()(4)平行四邊形的兩條對角線互相平分．()(5)兩條平行線中，一條直線上任一點到另一條直線的垂線段叫做兩條平行線的距離．()(6)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)．()分析：根據(jù)平行四邊形的定義和性質(zhì)判斷．解：(1)錯“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”是兩組對邊，而不是兩條對邊．如圖四邊形ABCD，兩條對邊AD∥BC．顯然四邊形ABCD不是平行四邊形．(2)錯平行四邊形的性質(zhì)定理1，“平行四邊形的對角相等．”對角是指四邊形中設(shè)有公共邊的兩個角，也就是相對的兩個角．(3)錯平行四邊形的性質(zhì)定理3，“平行四邊形的對角線互相平分．”一般地不相等．(矩形的兩條對角線相等)．(4)對根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)定理3可判斷是正確的．(5)錯線段是圖形，而距離是指線段的長度，是正值，正確的說法是：兩條平行線中，一條直線上任一點到另一條直線的垂線段的長度叫做這兩條平行線的距離．(6)對由定義知道，平行四邊形的對邊平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知．平行四邊形的鄰角互補(bǔ)．【例3】．如圖，在ABCD中，E、F是AC上的兩點．且AE=CF．求證：ED∥BF．分析：欲證DE∥BF，只需∠DEC=∠AFB,轉(zhuǎn)證△ABF≌△CDF,因ABCD，則有ABCD，從而有∠BAC=∠DCA．再由AF=CF得AF=CE．滿足了三角形全等的條件．證明：∵AE=CFAE+EF=CF+EF∴AF=CE在ABCD中AB∥CD(平行四邊形的對邊平行)∴∠BAC=∠DCA(兩直線平行內(nèi)錯角相等)AB=CD(平行四邊形的對邊相等)∴△ABF≌△CDE(SAS)∴∠AFB=∠DEC∴ED∥BF(內(nèi)錯角相等兩直線平行)說明：解決平行四邊形問題的基本思想是化為三角形問題來處理．【例4】如圖，已知在△ABC中，DE∥BC∥FG，若BD=AF，求證：DE＋FG=BC．分析1：要證DE＋FG=BC由于它們是平行線，由平行四邊形定義和性質(zhì)．考慮將DE平移到BC上，為此，過E(或D)作EH∥AB(或DM∥AC)，得到DE=BH、只需證HC=FG，因AF=BD=EH，∠CEH=∠A，∠AGF＝∠C，所以△AFG≌△EHC．此方法稱為截長法．分析2：過C點作CK∥AB交DE的延長線于K，只需證FG=EK，轉(zhuǎn)證△AFG≌△CKE．證法1：過E作EH∥AB交BC于H∵DE∥BC∴四邊形DBHE是平行四邊形(平行四邊形定義)∴DB=EHDE=BH(平行四邊形對邊相等)又BD=AF∴AF=EH∵BC∥FG∴∠AGF=∠C(兩直線平行同位角相等)同理∠A=∠CEH∴△AFG≌△EHC(AAS)∴FG=HC∴BC=BH+HC=DE+FG即DE+FG=BC證法2：過C作CK∥AB交DE的延長線于K.∵DE∥BC∴四邊形DBCK是平行四邊形(平行四邊形定義)∴CK=BDDK=BC(平行四邊形對邊相等)又BD=AF∴AF=CK∵CK∥AB∴∠A=∠ECK(兩直線平行內(nèi)錯角相等)∵BC∥FG∴∠AGF=∠AED(兩直線平行同位角相等)又∠CEK=∠AED(對頂角相等)∴∠AGF=∠CEK∴△AFG≌△CKE(AAS)FG=EKDE+EK=BC∴DE+FG=BC【例5】如圖ABCD中，∠ABC=3∠A，點E在CD上,CE=1，EF⊥CD交CB延長線于F，若AD=1，求BF的長．分析：根據(jù)平行四邊形對角相等，鄰角互補(bǔ)，可得∠C=∠F=45°進(jìn)而由勾股定理求出CF，再根據(jù)平行四邊形對邊相等，得BF的長．解：在ABCD中，AD∥BC∴∠A＋∠ABC=180°(兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ))∵∠ABC=3∠A∴∠A=45°，∠ABC=135°∴∠C=∠A=45°(平行四邊形的對角相等)∴EF⊥CD∴∠F=45°(直角三角形兩銳角互余)∴EF=CE=1∵AD=BC=1【例6】如圖1，ABCD中，對角線AC長為10Cm，∠CAB=30°，AB長為6C解：過點C作CH⊥AB，交AB的延長線于點H．(圖2)∵∠CAB=30°∴＝AB·CH＝6×5=30(Cm2)答：ABCD的面積為30Cm說明：由于=底×高，題設(shè)中已知AB的長，須求出與底AB相應(yīng)的高，由于本題條件的制約，不便于求出過點D的高，故選擇過點C作高．【例7】如圖，E、F分別在ABCD的邊CD、BC上，且EF∥BD求證：S△ADE=S△ABF分析：運(yùn)用平行四形的性質(zhì)，利用三角形全等，將其轉(zhuǎn)化為等底同高的三角形．證明：將EF向兩邊延長分別交AD、AB的延長線于G、DE∥AB∴∠DEG=∠BHF(兩直線平行同位角相等)∠GDE=∠DAB(同上)AD∥BC∴∠DAB=∠FBH(同上)∴∠GDE=∠FBH∵DE∥BH，DB∥EH∴四邊形BHED是平行四邊形∵DE=BH(平行四邊形對邊相等)∴△GDE≌△FBH(ASA)∴S△GDE=S△FBH(全等三角形面積相等)∴GE=FH(全等三角形對應(yīng)邊相等)∴S△ADE=S△AFH(等底同高的三角形面積相等)∴S△ADE＝S△ABF說明：平行四邊形的面積等于它的底和高的積．即=A·hA．A可以是平行四邊形的任何一邊，h必須是A邊與其對邊的距離．即對應(yīng)的高，為了區(qū)別，可以把高記成hA，表明它所對應(yīng)的底是A．【例8】如圖，在ABCD中，BE平分∠B交CD于點E，DF平分∠D交AB于點F，求證BF=DE．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴DE∥FB，∠ABC=∠ADC(平行四邊形的對邊平行對角相等)∴∠1=∠3(兩直線平行內(nèi)錯角相等)∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴DF∥BE(同位角相等兩條直線平行)∴四邊形BEDF為平行四邊形(平行四邊形定義)∴BF=DE．(平行四邊形的對邊相等)說明：此例也可通過△ADF≌△CBE來證明，但不如上面的方法簡捷．【例9】如圖，CD的Rt△ABC斜邊AB上的高，AE平分∠BAC交CD于E，EF∥AB，交BC于點F，求證CE=BF．分析：作EG∥BC，交AB于G，易得EG=BF．再由基本圖，可得EG=EC，從而得出結(jié)論．證明：過E點作EG∥BC交AB于G點．∴∠EGA=∠B∵EF∥AB∴EG=BF∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的高∴∠BAC＋∠B=90°．∠BAC＋∠ACD＝90°∴∠B=∠ACD∴∠ACD=∠EGA∵AE平分∠BAC∴∠1=∠2又AE=AE∴△AGE≌△ACE(AAS)∴CE=EG∴CE=BF．說明：(1)在上述證法中，“平移”起著把條件集中的作用．(2)本題也可以設(shè)法平移AE．(過F點作FG∥AE，交AB于G)【例10】如圖，已知ABCD的周長為32Cm，AB∶BC=5∶3，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=2∠C，求AE和分析：從化簡條件開始①由ABCD的周長及兩鄰邊的比，不難得到平行四邊形的邊長．②∠EAF=2∠C告訴我們什么？這樣，立即可以看出△ADF、△AEB都是有一個銳角為30°的直角三角形．再由勾股定理求出解：ABCD的周長為32即AB+BC+CD+DA=32∵AB=CDBC=DA(平行四邊形的對邊相等)又AB∶BC=5∶3∠EAF+∠AFC+∠C+∠CEA=360°(四邊形內(nèi)角和等于360°)∵AE⊥BC∠AEC=90°AF