線性變換和特征值第1頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二6.1n維空間的線性變換

定義6.1設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合。若對(duì)于X

中的任一元素x,按照一定的對(duì)應(yīng)法則T，總有Y中一個(gè)確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱T

為從集合X到集合Y的映射，記為或，稱y是X在映射T下的像，x是y在映射T下的源,X稱為映射T的源集，像的全體所構(gòu)成的集合稱為像集，記作。第2頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

定義6.2設(shè)是實(shí)數(shù)域上的向量空間，

T是一個(gè)從到的映射，若映射T滿足

1)2)

則稱T為從到的線性映射，或稱線性變換。線性映射就是保持線性組合的映射。第3頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例6.1

試證所有矩陣相乘的關(guān)系式即都是的線性映射。證：利用矩陣的數(shù)乘及乘法運(yùn)算，是的映射。顯然有及即T是的線性映射。第4頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例6.2向量空間V中的恒等變換是線性變換。

證明：設(shè)，則有所以恒等變換E是線性變換。第5頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二6.2方陣的特征值和特征向量6.2.1特征值和特征向量的定義和計(jì)算定義6.3

設(shè)是階方陣，若存在數(shù)和維非零列向量，使得

（6-1）成立，則稱數(shù)為方陣A的特征值，稱非零向量為方陣A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。將（6-1）式變形為

(或)（6-2）

第6頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

滿足這個(gè)方程的和就是我們要求的特征值和特征向量。（6-2）式是含個(gè)方程的元齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是

（6-3)

記作（6-4）

稱為方陣A的特征多項(xiàng)式，方程稱為方陣A的特征方程，特征值即為特征方程的根。由于是的次多項(xiàng)式，所以方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。第7頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

矩陣A的特征值和特征向量的計(jì)算步驟：

第一步：求特征值。先通過(guò)行列式（6-4）的計(jì)算，寫出其特征多項(xiàng)式，這一步的難度是計(jì)算一個(gè)高階的矩陣的行列式，需要很大的計(jì)算工作量；

第二步：并進(jìn)行因式分解然后求出特征方程的全部根這就是A的所有特征值；

第三步：把每個(gè)特征值分別代入方程，求齊次線性方程組的非零解，它就是A對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量（不是惟一的）。第8頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例6.4求矩陣的特征值和特征向量。

解：

A的特征多項(xiàng)式所以A的全部特征值為對(duì)于特征值解齊次線性方程組，即可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系第9頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

所以都不為零）是A對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量。對(duì)于特征值，解齊次線性方程組，得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以是A對(duì)應(yīng)于特征值8的全部特征向量。第10頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二6.2.2方陣的特征值和特征向量的性質(zhì)

性質(zhì)1

階矩陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值。性質(zhì)2設(shè)是矩陣A的個(gè)特征值，則

1)2)

稱為矩陣A的跡，記為第11頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

性質(zhì)3

設(shè)為方陣A的特征值，則

1）當(dāng)A可逆時(shí)，是的特征值

2）是A的伴隨矩陣的特征值

3）是的特征值；進(jìn)而有矩陣A的次多項(xiàng)式的特征值為第12頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例6.5設(shè)矩陣

1)求及的特征值；

2)進(jìn)一步求矩陣的特征值。

解：

1）由A的特征方程可得A的全部特征值為1，2，-1。的特征值為，即-2,13,-8。第13頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2）

解法1：先計(jì)算，令，求出特征方程的根即可。

解法2：因?yàn)樗訟可逆，為對(duì)應(yīng)于A的特征值的特征向量，則又

所以

從而矩陣的特征值為，即第14頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

定理6.1設(shè)為方陣A的互不相同的特征值，分別為對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，則線性無(wú)關(guān)。推論矩陣A的個(gè)互不相同特征值所對(duì)應(yīng)的組各自線性無(wú)關(guān)的特征向量并在一起仍是線性無(wú)關(guān)的。第15頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二6.2.3特征值和特征向量的MATLAB求法

MATLAB提供了計(jì)算方陣的特征值和特征向量各步驟的函數(shù)。這三個(gè)步驟是：（1）用f=poly(A)可以計(jì)算方陣A的特征多項(xiàng)式系數(shù)向量f；（2）用lamda=roots(f)可以求特征多項(xiàng)式f的全部根lamda（表示為列向量）；（3）用函數(shù)p=null([lamda*I-A])直接給出基礎(chǔ)解p,將n個(gè)特征列向量p排在一起，就是的特征向量矩陣。第16頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

取例6.4為典型，解題的程序ea604為

A=[3,2,4;2,0,2;4,2,3];f=poly(A), r=roots(f),r=real(r)B1=r(1)*eye(3)-A;B1=rref(B1,1e-12),p1=null(B1,‘r’)B2=r(2)*eye(3)-A;p2=null(B2,‘r’)B3=r(3)*eye(3)-A;p3=null(B3,‘r’)第17頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

程序運(yùn)行的結(jié)果為：

f=1.0000-6.0000-15.0000-8.0000(特征多項(xiàng)式系數(shù)向量)

r=8.0000(三個(gè)特征根即特征值,后兩個(gè)是重根)

-1.0000+0.0000i (微小虛數(shù)可用r=real(r）去除)

-1.0000-0.0000i第18頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

實(shí)際上MATLAB已經(jīng)把求特征根和特征向量的步驟集成化，其中也包括了處理計(jì)算誤差的功能，所以一條命令就解決問(wèn)題了。這個(gè)功能強(qiáng)大的子程序名為eig(特征值英文是eigenvalue,特征向量英文是eigenvector)，調(diào)用的形式是：

[p,lamda]=eig(A)

輸出變?cè)械膌amda是特征值，p是特征向量。把例6.4的系數(shù)矩陣A代入，即可得到：第19頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二6.3相似矩陣與矩陣的對(duì)角化

定義6.4

設(shè)A和B是階方陣，若存在可逆矩陣P，使得，則稱矩陣A與B相似，把A變成的變換稱為相似變換，可逆矩陣P被稱為把A變成B的相似變換矩陣。相似矩陣具有以下性質(zhì)。設(shè)矩陣A與B相似

1)2)第20頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3)A與B的跡相同

4)若A可逆，則B必可逆，且也相似定理6.2設(shè)矩陣A與B相似，則它們的特征多項(xiàng)式相同，從而有相同的特征值.

推論若階方陣A與對(duì)角矩陣相似，則是矩陣A的全部特征值。此時(shí)，必存在可逆矩陣P，使得，稱為把矩陣A對(duì)角化，也稱矩陣A可對(duì)角化。第21頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

定理6.3階方陣A可對(duì)角化的充分必要條件A是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。證明：

必要性設(shè)階方陣A可對(duì)角化，則存在可逆矩陣使，從而即于是有，所以是方陣A的特征值，是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。由于矩陣P可逆，det(P)0，必線性無(wú)關(guān)。第22頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

充分性設(shè)是A的個(gè)特征值，是與之對(duì)應(yīng)的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，令，則有即所以方陣A可對(duì)角化。推論若階方陣A的特征值互不相同，則方陣A一定可對(duì)角化。第23頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例6.7判斷矩陣能否對(duì)角化？解：由得A的特征值為求得對(duì)應(yīng)的特征向量，再求對(duì)應(yīng)的特征向量。把作行階梯變換，得到相當(dāng)于方程組它只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,即A總共只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A不能對(duì)角化。第24頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

用MATLAB解此題時(shí)，要檢驗(yàn)特征向量組的秩，判斷獨(dú)立的特征向量數(shù)。故程序如下：

A=[-1,1,0;-4,3,0;1,0,2],[p,lamda]=eig(A),rp=rank(p)運(yùn)行的結(jié)果是：由于特征向量組的秩為2，說(shuō)明只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此不能對(duì)角化。

第25頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二6.4實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

定理6.4實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值必為實(shí)數(shù)。定理6.5

實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必正交。證明：

設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，是矩陣A對(duì)應(yīng)的特征向量，即因?yàn)橛谑怯捎?，所以，即正交。?6頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

定理6.6

設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣P，使得這里是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。推論1設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，是A的重特征值，則A必有個(gè)對(duì)應(yīng)于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量.

推論2

實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化.

推論3n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，存在n個(gè)正交單位特征向量。第27頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二n階實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的步驟第一步：解特征方程，求出A的全部互不相等的特征值它們的重?cái)?shù)依次為

第二步：求出矩陣A的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，得到個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；第三步：將每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化、單位化，這樣得到n個(gè)兩兩正交的單位特征向量；第四步：令，P是正交矩陣，使得。必須注意：中對(duì)角元素的排列次序與P中列向量的排列次序要一致。第28頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例6.10

設(shè)解：

當(dāng)時(shí)，，即解得單位特征向量可取為第29頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

解得為任意常數(shù)。基礎(chǔ)解系中的兩個(gè)向量恰好正交,只需單位化,可得兩個(gè)單位正交的特征向量第30頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

從而得到正交矩陣有本例用MATLAB解時(shí)的程序?yàn)椋篈=[4,0,0;0,3,1;0,1,3];[p,lamda]=eig(A)程序運(yùn)行的結(jié)果與筆算的相同，為：

第31頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二6.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

6.5.1二次型的概念

定義6.5含有n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)：

(6-10)

稱為n元二次型，簡(jiǎn)稱二次型。為實(shí)數(shù)時(shí)，稱為實(shí)二次型；為復(fù)數(shù)時(shí)，稱為復(fù)二次型。本章書僅討論實(shí)二次型。第32頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

令，則二次型（6.10）可寫成用矩陣形式表示為（6-11）其中第33頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例6.13寫出下列二次型的矩陣

解：由已知的二次型系數(shù)，得矩陣元素為：

故得的矩陣為第34頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二6.5.2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及慣性定理

定義6.6

若秩為r的二次型通過(guò)可逆線性變換x=Cy

可化為只含平方項(xiàng)的二次型，即

(6-12)

那么，此二次型稱為的標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形中所含平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)等于二次型的秩.

例6.15設(shè)二次型

分別作下列二個(gè)可逆線性變換，求新二次型.第35頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1)=2)解：

1）將線性關(guān)系直接代入并化簡(jiǎn)、整理

第36頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2）由于因此，此例表明：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的。第37頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二*實(shí)二次型的規(guī)范形的定義：對(duì)秩為r的實(shí)系數(shù)二次型，設(shè)它通過(guò)可逆線性變換x=Cy化為下面的標(biāo)準(zhǔn)形：其中()>0，若再作如下的可逆變換：

則上面的標(biāo)準(zhǔn)形可進(jìn)一步化為如下的形式：這個(gè)二次型稱為實(shí)二次型的規(guī)范形，顯然它是唯一的.第38頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

定理6.7（慣性定理）設(shè)秩為r的實(shí)二次型，通過(guò)可逆線性變換，可化為如下的標(biāo)準(zhǔn)形：其中>0()，則數(shù)p稱為實(shí)二次型的正慣性指數(shù)，q=r-p稱為負(fù)慣性指數(shù).

慣性定理是指：實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的，它等于正慣性指數(shù)，而系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)也是唯一確定的，它就等于負(fù)慣性指數(shù)。第39頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二6.5.3化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法

1）正交變換法

正交變換法的具體步驟與求特征值和特征向量相仿第一步：寫出二次型的矩陣A,并由特征方程求出全部互不相同特征值第二步：求出A的對(duì)應(yīng)于的特征向量，即求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。如果某些是重根，則將其對(duì)應(yīng)的特征向量正交化、單位化。這樣便可得到n個(gè)兩兩正交的單位特征向量第40頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

第三步：令，則P是正交矩陣，二次型通過(guò)正交變換x=Py化為標(biāo)準(zhǔn)形上述步驟也可用eig函數(shù)來(lái)完成。其調(diào)用格式為：

[P,lamda]=eig(A)P和lamda將分別給出特征向量組（即正交矩陣）和特征向量。此外MATLAB中還提供了一個(gè)用以計(jì)算正交變換矩陣的函數(shù)Rorth(A)。它的結(jié)果和eig函數(shù)算出的特征向量矩陣是一樣的，只是排列的順序不同.第41頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2）配方法

如果二次型中含有變量的平方項(xiàng)，則先把含有的各項(xiàng)集中，按配方，然后按此法對(duì)其它變量配方，直至都配成平方項(xiàng).

如果二次型中不含平方項(xiàng)，但某個(gè)則先作一個(gè)可逆線性變換：使二次型出現(xiàn)平方項(xiàng)，再按上面方法配方。第42頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例6.16

設(shè)令A(yù)的二次型等于常數(shù)，這是一個(gè)橢圓的方程，其圖形如圖6.1(a）所示。現(xiàn)要求將它變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形并畫出圖形。第43頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二圖6.1兩種二次型經(jīng)坐標(biāo)變換到主軸方向

第44頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

（1）正交變換法

如果做一個(gè)基坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換，讓坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)過(guò)45度，這個(gè)橢圓的主軸就與新的坐標(biāo)方向,相同，如圖6.1（b）所示，其方程將變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形橢圓方程。從解析幾何知此變換關(guān)系為：

cosθsinθ

sinθcosθ寫成矩陣形式y(tǒng)Px

其中第45頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

或取其逆變換，寫成xRy

其中用此變換式代入二次型的表達(dá)式，有本題的數(shù)據(jù)是45度，得到第46頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

便有及所以從幾何圖形上尋找二次型主軸的問(wèn)題，在線性代數(shù)中就等價(jià)于：使矩陣A經(jīng)過(guò)正交變換R實(shí)現(xiàn)對(duì)角化。（2）用配方法第47頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

令得到它所對(duì)應(yīng)的變換圖6.1中的（c）和（d）表示了對(duì)另一種雙曲線二次型的坐標(biāo)變換，它的方程為：第48頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

圖6.2兩種對(duì)角化方法的不同變換：正交變換法，圖形相似（左），配方法，圖形崎變（右）第49頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二6.5.4二次型的正定和負(fù)定

圖6.3二次型曲面的幾種類型第50頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

一般的，二元變量的二次圓錐曲線在非退化（指它的二次項(xiàng)系數(shù)不全為零）情況下，它的類型決定于其二次項(xiàng)的對(duì)稱矩陣A的特征值。具體如下：A的特征值

對(duì)應(yīng)圓錐曲線的類型

駐點(diǎn)是否極值點(diǎn)

(正定或負(fù)定)

橢圓極值點(diǎn)

(不定)雙曲線鞍點(diǎn)（費(fèi)極值點(diǎn)）

或(半正定)拋物線極值線第51頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

定義6.8

若對(duì)任給定的

1）恒有，則稱為正定（負(fù)定）二次型，此時(shí)對(duì)稱矩陣A稱為正定（負(fù)定）矩陣；

2）恒有，則稱為半正定（半負(fù)定）二次型，此時(shí)對(duì)稱矩陣A稱為半正定（半負(fù)定）矩陣。

3）其它的二次型稱為不定二次型。定理6.8n元實(shí)二次型正定的充要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)形中的n個(gè)系數(shù)全為正，或的正慣性指數(shù)為n。

第52頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

證明：

設(shè)經(jīng)過(guò)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，充分性若，對(duì)任意有，所以必要性設(shè)為正定二次型。假設(shè)有,取時(shí)，從而，這與是正定的相矛盾。所以推論實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的特征值全大于零。第53頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

定義6.9設(shè)為n階方陣，依次取A的前k行與前k列所構(gòu)成的行列式稱為A的k階順序主子式。定理6.9

設(shè)n元實(shí)二次型為正定，則下列結(jié)論等價(jià)：

1）對(duì)任意n維非零向量

2）的標(biāo)準(zhǔn)形中的n個(gè)系數(shù)全為正；

3）實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值全大于0；

4）正慣性指數(shù)p=n；

第54頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二5）實(shí)對(duì)稱矩陣A的各階順序主子式全大于0，即

結(jié)論5）稱為霍爾維茨定理。類似地，n元實(shí)二次型為負(fù)定，則下列結(jié)論等價(jià)

1）的標(biāo)準(zhǔn)形中的n個(gè)系數(shù)全為負(fù)

2）實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值全小于03）負(fù)慣性指數(shù)q=n4）實(shí)對(duì)稱矩陣A的各階順序主子式中，奇數(shù)階的全小于0，偶數(shù)階的全大于0第55頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例6.19判斷二次型的負(fù)定性.

解：

二次型的矩陣為由可知為負(fù)定二次型注:本題也可通過(guò)判斷-A為正定矩陣來(lái)解決第56頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例6.20

求的取值，使得二次型為正定二次型.

解：二次型的矩陣為由于為正定二次型，故所有順序主子式全大于零，即解出，即為所求.第57頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二6.6奇異值分解的簡(jiǎn)介

定義6.10設(shè)矩陣，若存在非負(fù)實(shí)數(shù)和n維非零向量m維非零向量v使得

(6-13)

則稱為A的奇異值，u和v分別稱為A對(duì)應(yīng)于奇異值的右奇異向量和左奇異向量。

由式（6-13）可得

(6-14)

(6-15)第58頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

定理6.10（矩陣的奇異值分解）

設(shè)A是m×n矩陣，設(shè)是A的奇異值，則，其中U是m階正交矩陣，V是n階正交矩陣，

，而此式也可以表示為：

(6-16)

其中，是矩陣U的第i