乘法公式知識點睛模塊一平方差公式(a+b)(a-b)=a2—b2平方差公式的特點：即兩數(shù)和與它們差的積等于這兩數(shù)的平方差。①左邊是一個二項式相乘，這兩項中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)。②右邊是乘方中兩項的平方差(相同項的平方減去相反項的平方)。注意：①公式中的a和b可以是具體的數(shù)也可以是單項式或多項式。如：(a+2)(a-2)二a2-4；(x+3y)(x-3y)=x2-9y2；(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2；(a3+b5)(a3-b5)=a6—b10。②不能直接運用平方差公式的，要善于轉(zhuǎn)化變形，也可能運用公式。如：97x103=(100—3)(100+3)=9991；(a+b)(—b+a)=(a+b)(a—b)=a2—b2。模塊二完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，即兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)它們積的2倍。完全平方公式的特點：左邊是一個二項式的完全平方，右邊是一個二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中的每一項的平方，另一項是左邊二項式中二項乘積的2倍，可簡單概括為口訣：“首平方，尾平方，首尾之積2倍加減在中央”。注意：①公式中的a和b可以是單項式，也可以是多項式。②一些本來不是二項式的式子的平方也可以利用完全平方公式來計算，(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)xc+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc例題精講【例1】計算：⑴(x+3)(x-3)(x2+9)；2)(2a+3b)(4a+5b)(2a-3b)(5b-4a)；【答案】⑴(x+3)(x—3)(x2+9)=(x2—9)(x2+9)=x4—81；⑵原式=(4a2-9b2)(25b2-16a2)=100a2b2-64a4-225b4+144a2b2=-64a4+244a2b2-225b4；【例2】計算：(2+1)Q+1)Q+1)(232+1)+1Page1of6【答案】原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(232+1)+1=2Page1of6初中數(shù)學(xué).整式的乘除.教師版【例3】【答案】原式=2f1--1256J=2/1二2」24n-1【例4】【答案】【例4】【答案】設(shè)S=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(36+1)(332+1),兩邊乘以(3-1),得計算：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(36+1)(332+1)(3-1)5=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)例+1)(332+1)364-1=(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(36+1)(332+1)= =3364-1???S=1(364-1)，即(3+1)(32+1) (332+1)二2【例5】求3x5x17x..…x(22e+【例5】【答案】觀察原式的每一項，均可寫成2n+1(n=1,2,...2n-1)的形式，而1=2-1,故原式=3x5x17xx(22n-1+1)=(2-1)x(2+1)x(22+1)xx(22向+1)=22,-1.【例6】⑴求A=(2+1)Q+1)Q+1)G+1)616+JQ2+1)64+1)的個位數(shù)字:⑵12-22+32-42+52-62++992-1002的值是( )A.5050.B.-5050.C.10100.D.-10100.A.5050.B.-5050.C.10100.D.-10100.【答案】⑴A=(2-1)(2+1)(22+1)(264+1)=(264-1)^64+1)=2128-12n各位數(shù)字的循環(huán)4個一周期，周期為：2、4、8、6,128+4=32,所以2128個位為6，故2128.-1個位為5.(另解：5的奇數(shù)倍個位一定是5)⑵原式=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)++(99+100)(99-100)=-1-(3+7+11++199)=-1x50=-5050故選B.【例7】2005x2007已矢口a= 2006,2006x2008b= 20072007x2009c= 2008比較三者大小.【答案】2005x2007(2006-1)(2006+1)a= 20062006=2006--^―,2006【例8】【答案】【例9】b=任鄴=2007-上,200720072008若4%2-33-2)%+25是完全平方式，求a的值.4%2-3(a-2)%+25=(2%)2-3(a-2)%+52=(2%±5)22008'即4%2-3(a-2)%+25=4%2-20%+25或4%2-3(a-2)%+25=4%2+20%+25故-3(a-2)=20或-3(a-2)=-20，解得:a=已知m2+2km+16是完全平方式，則k=26a=—3初中數(shù)學(xué).整式的乘除.教師版Page2of6【答案】m2+2km+16是完全平方式，，2km-±8m，解得k—±4【例10】已知正方形的面積是25%2+20盯+ny2(x>0,y〉0)，則正方形的邊長是 (用含x、y的代數(shù)式表示)【答案】設(shè)正方形的邊長為a.則a2—25x2+20xy+ny2；.25x2+20xy+ny2是a的完全平方形式，，25x2+20xy+ny2-(5x)2+2-5x,ny+(^niy)2.??10%n-20，即n-4；.正方形的面積是：a2-25x2+20xy+4y2-(5x+2y)2,/.a-5x+2y故正方形邊長為：5x+2y【例11】推導(dǎo)(a+b+c)2、(a+b+c+d)2的公式，比較(a+b)2、(a+b+c)2、(a+b+c+d)2的公式，并探索規(guī)律.【答案】(a+b)2-a2+b2+2ab(a+b+c)2-a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c+d)2-(a+b)2+2(a+b)(c+d)+(c+d)2-a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd觀察上述三個公式，可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：一、項數(shù)：設(shè)字母(或者說元)的個數(shù)為n，則公式的展開式的項數(shù)為1+2+..+n-3+D;2二、次數(shù)：每個公式的展開式中的每一項的次數(shù)均為2;三、系數(shù)：每個公式中每個字母的二次項的系數(shù)為1,其余均為2.根據(jù)上述規(guī)律，可寫出任意個字母的完全平方公式.【例12】利用例題得出的規(guī)律推導(dǎo)(a+b+c-d)2、(a+b-c-d)2、(a+b+c+d+e)2的展開式.【答案】令(a+b+c+d)2-a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd中d--d，也就是以一d替換d可得，(a+b+c-d)2-a2+b2+c2+d2+2ab+2ac-2ad+2bc-2bd-2cd同理可知，(a+b-c-d)2-a2+b2+c2+d2+2ab-2ac-2ad-2bc-2bd+2cd根據(jù)例題中歸納出來的規(guī)律，(a+b+c+d+e)2的展開式共有15項，所有字母的二次項的系數(shù)均為1,其他項的系數(shù)均為2,每一項的次數(shù)均為2,由上述特點可知(a+b+c+d+e)2-a2+b2+c2+d2+e2+2ab+2ac+2ad+2ae+2bc+2bd+2be+2cd+2ce+2de【例13］(a+b-c+d-e)2-.【答案】a2+b2+c2+d2+e2+2ab-2ac+2ad-2ae-2bc+2bd-2be-2cd+2ce-2de.b2+2ac-14【例14］已知三個數(shù)a,b,c滿足方程［c2+2ab-29，求a+b+c.Page3of6a2+2Page3of6初中數(shù)學(xué).整式的乘除.教師版

【答案】【例15】【答案】【例16】【答案】【例17】【答案】【例18】【答案】【例19】【答案】三式相加，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=64，所以(a【答案】【例15】【答案】【例16】【答案】【例17】【答案】【例18】【答案】【例19】【答案】計算:(D(a+b)2+(b+c)2 +(a+c)2 = 計算:(a-b)2+(b-c)2 +(a-c)2 = (a+b)2+(b-c)2 +(a-c)2 = ⑴2a2+2b2+2c2+ 2ab+2bc +2ac；22a2 +2b2+2c2-2ab-2bc-2ac；⑶2a2+2b2+2c2+2ab-2bc-2ac；TOC\o"1-5"\h\z已知a=—x+20，b=—x+19，c=—x+21,求代數(shù)式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.20 20 20由a=—x+20,b=—x+19,c=—x+21,可知，a-b=1,b-c=-2,c-a=120 20 20故a2+b2+c2-ab-bc-ca=—[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2卜,x6=321 /^23已知a-b=b-c=-,a2+b2+c2=1,求ab+bc+ca的值.536由a-b=b-c=5可知，a-c=5,故ab+bc+ca=(a2+b2+c2)-1[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=1-1x(—+—+當(dāng)=--2 2252525 25如果a,b,c是^ABC三邊的長，且a2+b2-ab=c(a+b-c)，那么△ABC是( )A.等邊三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.形狀不確定已知關(guān)系式可化為a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,即—(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=0,2所以—[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=0,故a=b,b=c,c=a.即a=b=c.選A.2x,y,z為有理數(shù)且(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，求(yz+1)(zx+1)(xy+D的值.(x2+1)(y2+1)(z2+1)先將已知等式(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2的等號兩邊分別展開，得：左邊=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz;右邊=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz對等號兩邊合并同類項，得2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0即(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0.因為x, y, z均為實數(shù)圻V7V、， (y(yz+1)(zx+1)(xy+1) (x2+1)(y2+1)(z2+1)所以x=y=z，故 = =1.(x2+1)(y2+1)(z2+1) (x2+1)(y2+1)(z2+1)Page4Page4of6【例20】如果自然數(shù)a是一個完全平方數(shù)，那么與a之差最小且比a大的一個完全平方數(shù)是（a+1a+1a2+1a2+2a+1a+2\-a+1【答案】：自然數(shù)a是一個完全平方數(shù)，??.a的算術(shù)平方根是aa,二比a的算術(shù)平方根大1的數(shù)是aa+1,???這個平方數(shù)為：（、..a+1）2=a+2\：a+1.故選D.【例21】設(shè)％為正整數(shù)，若1+1是完全平方數(shù)，則它前面的一個完全平方數(shù)是( )A.% B.%-2%：'1+1 C.1-2t-x+T+1 D.%-2丫1+1+2【答案】設(shè)y2=%+1,則y=、.；%+1,那么它前面的一?個完全平方數(shù)是：(y-1)2=y2一2y+1=%+1-2:%+1+1=%-2\:%+1+2，故選D.【例22】⑴先化簡后求值：[(%-y)2+(%+y)(%-y)卜2%，其中%=3,y=1.5.⑵計算：(2%-y+2)(y-2%+2).[答案]⑴[(%-y)2+(%+y)(%-y)]+2%=(%2-2%y+y2+%2-y2)^2%=(2%2-2%y)+2%=%-y又%=3,y=1.5，故原式=%—y=3-1.5=1.5.法2:I(%-y)2+(%+y)(%-y)卜2%=(%-y)-2%+2%=%-y=1.5(⑵原式=[2+(2%-y)][2-(2%-y)]=4-(2%-y)2=4-4%2+4%y-y2【例23】已知(％+y)2-2%-2y+1=0，則U(%+y)999=,【答案】解法一■:由已知條件可知，%2+y2+1+2%y-2y-2%=(%+y-1)2=0,故%+y=1,(%+y)999=1.解法二：由已知條件可知，(%+y)2-2(%+y)+1=(%+y-1)2=0，故%+y=1,(%+y)999=1.課后作業(yè)【習(xí)題1】記%=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)...(1+2n),且%+1=2128，貝|n=【答案】%=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)...(1+2n)=(2-1)(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)...(1+2n)=(2n-1)(2n+1)=22n-1%+1=22n-1+1=22nPage5of6?2n=128,?Page5of6初中數(shù)學(xué).整式的乘除.教師版

【習(xí)題2](x-y)(x+y)(%2+y2)(^4+y4)(x8+ys)=【答案】X16-yi6=X—X—X-X—X- X =-X—=—223345101021020【習(xí)題4】若式子9地+M+4是完全平方式，請你寫出所有滿足條件的單項式M【答案】若把M視為2成這一項，9x2+M+4=(3x)2+M+22,此時M可以為±12x;TOC\o"1-5"\h\z、 9 81若把9心視為2a。這一■項，9心+Af+4=Af+22+2x2x—心，此時A/可以為一14；4 16、 2 4若把4視為2次>這一■項，9x2+M+4=(3x)2+M+2x3xx—,此時M可以為 ,3X 9x2M還可以是-9%2、-4.1 1iiii【習(xí)題5】