本文格式為Word版，下載可任意編輯——泛函分析復習2023泛函分析復習資料一、定義

1.Page1線性空間2.Page2Hamel基

3.Page3凸集，凸包coE4.Page4度量空間

5.Page10范數(shù)，線性賦范空間6.Page12內(nèi)積，內(nèi)積空間7.Page14平行四邊形公式

8.Page23Cauchy列，完備空間，Banach空間，Hilbert空間9.Page27稠密，無處稠密，第一綱集，其次綱集10.page30線性算子，線性泛函，N（T）11.Page31壓縮映射，不動點

12.Page34同構(gòu)映射，Page35等距同構(gòu)

13.page37緊集，相對緊集，ε網(wǎng)，完全有界集二、課后習題

1解答：當p?0時，d(x,y)?x?y不滿足正定性，R在d下不是度量空間，當p?1時，d(x,y)?x?y滿足正定性，對稱性，不滿足三角不等式，故R在d下不是度量空間，

當0?p?1時，d(x,y)?x?y滿足正定性，對稱性和三角不等式，故R在d下是度量空間，

若令x?y?d(x,y)，僅當p?1時，?滿足范數(shù)的正定性，正齊次性和三角不等式，故此時R在?下是賦范空間。

2證明：Part1：?(X,d)是度量空間，??x,y?X,d?(x,y)?min(d(x,y),1)?0且

pppd?(x,y)?0當且僅當d(x,y)?0，當且僅當x?y，?d?滿足正定性；

?x,y?X,d?(x,y)?min(d(x,y),1)?min(d(y,x),1)?d?(y,x)，?d?滿足對稱性；

?x,y,z?X,d?(x,y)?min(d(x,y),1)?min(d(x,z)?d(z,y),1)

?min(d(x,z),1)?min(d(z,y),1)?d?(x,z)?d?(z,y)?d?滿足三角不等式，綜上(X,d?)是度量空間。

Part2：由(X,d)是度量空間，??x,y?X,d??(x,y)?d(x,y)?0且

d(x,y)?1d??(x,y)?0當且僅當d(x,y)?0，當且僅當x?y，?d??滿足正定性；

1

2023泛函分析復習資料?x,y?X,d??(x,y)?d(x,y)d(y,x)??d??(y,x)，?d??滿足對稱性；

d(x,y)?1d(y,x)?1?x,y,z?X,d??(x,y)??d??(x,z)?d??(z,y)d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)?d??(x,y)???d(x,y)?1d(x,z)?d(z,y)?1d(x,z)?1d(z,y)?1?d??滿足三角不等式，綜上(X,d??)是度量空間。

2nn4證明：設x?(x1,x2,?,xn)??n，xk?(x1，k??,x,?,x)??kkk先證必要性，即當?xk?收斂于x時，?xk?依坐標收斂于x。設?xk?在?中收斂于x，即d(xk,x)?0,whenk??

n由d(xk,x)?iiii2x?x?d(xk,x)，i?1,2,?.n，故對，(x?x)k?kni?1ixk?xi?0,whenk??，即?xk?依坐標收斂于x；

ii充分性，設?xk?依坐標收斂于x，即任意i?1,2,?.n，xk?x?0,whenk??

?d(xk,x)?斂于x

?(xi?1niki?xk?收?d(xk,x)?0,whenk??，?xi)2?nmaxxk?xi，

1?i?n??綜上所述，?xk?在?中收斂于x等價于?xk?依坐標收斂于x。

n5(1)證明：設?E?:????是線性空間X中任意的凸集族，則任取x,y??E?，及0?r?1，

???則????,x?E?,由E?是凸集，?rx?(1?r)y?E?，?rx?(1?r)y??E?，?E?是

??????凸集，即任意多個凸集之交是凸集。(2)證明：任取x,y?kE，及0?r?1，則

xyxy,?E，由于E是凸集，?r?(1?r)?Ekkkk?rx?(1?r)y?kE，故kE也是凸集。

(3)設E是凸集，任取x,y?x0?E及0?r?1，由于x?x0?E,y?x0?E，E是凸集，

?r?x?x0??(1?r)(y?x0)?E，即rx?(1?r)y?x0?E，?rx?(1?r)y?x0?E，

故凸集E經(jīng)平移x0后得到的集合x0?E也是凸集。(4)僅證E，E暫不證明。

2

o2023泛函分析復習資料任取x,y?E?E?E?，及0?r?1，

若x,y?E，由E是凸集，?rx?(1?r)y?E?E

若x,y?E?，則存在?xn?,?yn??E,xn?x,yn?y，由E是凸集，?rxn?(1?r)yn?E由rxn?(1?r)yn?rx?(1?r)y,?rx?(1?r)y?E??E

若x?E,y?E?,則存在?yn??E,yn?y，由E是凸集，?rx?(1?r)yn?E由rx?(1?r)yn?rx?(1?r)y,?rx?(1?r)y?E??E綜上當E是凸集時，E也是凸集。

(5)R在一般度量下，兩凸子集(0,1)和(1,2)的并集(0,1)?(1,2)不是R的凸集。6(1)證明：任取y1,y2?T(A)則存在x1,x2?A,Tx1?y1,Tx2?y2由T是線性映射，T?rx1?(1?r)x2??rTx1?(1?r)Tx2?ry1?(1?r)y2對任意0?r?1，由A是凸集，?rx1?(1?r)x2?A，

?ry1?(1?r)y2?T?rx1?(1?r)x2??T(A)，?T(A)是凸集。

(2)證明：任取x1,x2?T?1(B)則存在y1,y2?B,Tx1?y1,Tx2?y2由T是線性映射，T?rx1?(1?r)x2??rTx1?(1?r)Tx2?ry1?(1?r)y2對任意0?r?1，由B是凸集，?ry1?(1?r)y2?B，

?rx1?(1?r)x2?T?1(B)，?T?1(B)是凸集。

(3)由P29線性算子T是一一的當且僅當N?T???0?，故只需證N?T???0?當且僅當對X中每個線性無關(guān)集E，T(E)是Y中的線性無關(guān)集。

必要性：由N?T???0?，及X的某個線性無關(guān)集E，假使T(E)不是Y中的線性無關(guān)集，則存在E中的線性無關(guān)序列?xn?，?T(xn)?線性相關(guān)，即存在不全為零的?n??，

??nTxn?0，由T是線性算子，T???nxn????nTxn?0，因N?T???0?，

n????nn???nxn?0，這與?xn?是線性無關(guān)序列矛盾，故假設不成立；

n3

2023泛函分析復習資料充分性，假若N(T)?{0}，則存在x1?0,x1?N(T),?Tx1?0，此時?x1?是X中線性無關(guān)集，這與X中每個線性無關(guān)集的像是Y中線性無關(guān)集矛盾，?Tx1??{0}是X中線性相關(guān)集，故假設不成立，得證。

7(1)證明：左?A?B?(A?A?)?(B?B?)，右?(A?B)?(A?B)?任取z?左，z?x?y,x?A,y?B，則有以下幾種狀況若x?A,y?B，則z?x?y?A?B?右；

若x?A?,y?B?，則A中存在?xn?收斂于x，B中存在?yn?收斂于y，故xn?yn?A?B，且xn?yn收斂于x?y，故z?x?y?(A?B)??右；

若x?A?,y?B，則A中存在?xn?收斂于x，故xn?y?A?B，且xn?y收斂于x?y，故z?x?y?(A?B)??右；

若x?A,y?B?，證法同上，易得z?x?y?(A?B)??右綜上，左?右得證。

1x?A是開集?A是開集(2)○0證明：?)任取x?A，則x0?x?x0?A，

由于x0?A是開集，故存在r?0,O(x0?x,r)?x0?A，故O(x,r)?A，即A也是開集

?)任取x0?x?x0?A，則x?A，由于A是開集，故存在r?0,O(x,r)?A，

故O(x0?x,r)?x0?A，即x0?A是開集，得證。

或證：x0?A是開集?任取x0?x?x0?A，存在r?0,O(x0?x,r)?x0?A?任取x?A，存在r?0,O(x,r)?A?A是開集

2x?A是閉集?A是閉集○0證明：