#/8二、以形助數(shù)幾何圖形具有直觀易懂的特點(diǎn)，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題，常常會(huì)產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅．幾何直觀運(yùn)用于代數(shù)主要有以下幾個(gè)方面：（1）利用幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：正方形的分割圖可以用來(lái)記憶完全平方公式；將兩個(gè)全等的梯形拼成一個(gè)平行四邊形可以用來(lái)記憶梯形面積公式；等等．（2）利用數(shù)軸或坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數(shù)問(wèn)題，或者簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算．比如：絕對(duì)值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離；數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點(diǎn)的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實(shí)數(shù)的取值范圍；互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（更一般地：實(shí)數(shù)數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點(diǎn)的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實(shí)數(shù)的取值范圍；互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（更一般地：實(shí)數(shù)數(shù)軸上實(shí)數(shù)a關(guān)于b的對(duì)稱點(diǎn)為 2b—a）；利用函數(shù)圖像的特點(diǎn)把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）開(kāi)口、判別式、兩根之間的距離，等等；一元二次方程的根的幾何意義是二次函數(shù)圖像與函數(shù)解析式中常數(shù)項(xiàng)的幾何意義是函數(shù)圖像與a+ba與b在數(shù)軸上關(guān)于 -^―DO,DODD,、截距，二次函數(shù)的對(duì)稱軸、x軸的交點(diǎn)；y軸的交點(diǎn)（函數(shù)在 x=0時(shí)有意義）；銳角三角函數(shù)的意義就是直角三角形中的線段比例．例5．已知正實(shí)數(shù)x，求y=\x22+4+J(2-x)2例5．已知正實(shí)數(shù)x，求y=\x22+4+J(2-x)2+1的最小值口分析：可以把xx2+4+(22-x)2+1整理為\；(x-0)2+(0-2)2+式x-2)2+(0-1)2,即看作是坐標(biāo)系中一動(dòng)點(diǎn)（x,0）到兩點(diǎn)（0,2）和（ 2,1）的距離之和,于是本問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最短距離問(wèn)題．解：y=\；'(x-0)2+(0-2)2+\：,(x-2)2+(0-1)2,令 P(x, 0) 1A(0, 2)和B[2,1),則y=PA+PB口作 B點(diǎn)關(guān)于x軸 的 對(duì)稱點(diǎn)B'(2, -1,)則y的 最小值為AB=&+22=<13]1例6□已知 tana=,21tanP=3，求證:【分析】根據(jù)正切函數(shù)的意義不難構(gòu)造出滿足條件的角a+P=45?？赼口PDODD,怎樣構(gòu)造這兩個(gè)角的和是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．將圖D1D中下面的圖翻轉(zhuǎn)到上圖的下面，就形成了如圖D2D的圖形，角a+P也就構(gòu)成了．證明：ODD2D,DOBC,易證： AABD口ACBE，從而 AABC是等腰直角三角形，于是：a+P=45°口圖(1)例7□求函數(shù) y邛+1|+|x一2|+|x一3的最小值口【分析】如圖，設(shè)數(shù)軸上表示數(shù)－1、2、3、x的點(diǎn)分別為A、B、C、P口P為動(dòng)點(diǎn))，則表示P到A、B、C三點(diǎn)之間的距離之和，口

y=PA+PB+PC口xxAPBC-2 -1Ox1 2 3 4X容易看出：當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，PA+PB+PC最小，所以y=AB+BC=41最小例8口若關(guān)于x的方程 x2+2kx+3k=0的兩根都在口1和3之間，求 k的取值范圍口【分析】令f(x)=x2+2kx+3k，其圖象與 x軸的橫口標(biāo)就是方程 f(x)=0的解口由 y=f(x)的圖象可知，要使兩根都在－1和3之間，只須：bf(-1)>0，f⑶>0，f(一—)=f(一k)<0同時(shí)成立，2a由此即可解得 -1<k<0或k>3口其中， f(一1)表示 x=一1時(shí)的函數(shù)值．解：令 f(x)=x2+2kx+3k，由題意及二次函數(shù)的圖象可知：了(-1)>0 [(-1)2+2k(-1)+3k>0<f(3)>0即J32+2b3+3k>0f(-k)<0 (-k)2+2k(-k)+3k<0解得：-1<k<0或k>31【說(shuō)明】一元二次方程，一元二次不等式均與二次函數(shù)有密切的關(guān)系，有關(guān)二次方程、二次不等式中較繁難的問(wèn)題運(yùn)用二次函數(shù)的圖象來(lái)解決常常會(huì)起到意想不到的效果．a(chǎn)x2+—x+c=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根．[9口若a>ax2+—x+c=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根．【分析】首先可以想到的思路當(dāng)然是證明A=b2-4ac>0，但這并不容易口注意到二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，把“二次方程有兩個(gè)相異的實(shí)根”這個(gè)代數(shù)命題“翻譯”成幾何命題就是“二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)”．考慮到此時(shí)a>0，拋物線開(kāi)口向上，這個(gè)幾何命題可以進(jìn)一步等價(jià)轉(zhuǎn)化成“二次函數(shù)的圖象有一部分位于x軸的下方，再把它翻譯成代數(shù)命題就是“二次函數(shù)至少在某一點(diǎn)上的函數(shù)值小于0”．值范圍．證明：考查函數(shù)j=ax2+bx+c,D此拋物線開(kāi)口向上口又口b>a+c，即a—b+c<0,DOx=-1時(shí)，二次函數(shù)的值f(-1)<01故拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程有兩個(gè)不等實(shí)根口例10．已知：對(duì)于滿足0<p<4的所有實(shí)數(shù)p,不等式x2+px>4x+p—3恒成立，求x的取【分析】不等式x2+px>4x+p—3可以變形為x2—4x+3>—p(x—1)口考查二次函數(shù)j=x2—4x+3=(x—2)2—1和一次函數(shù)1j2=-P(x-1)口原不等式的幾何意義是“二次函數(shù)j的圖象在一次函數(shù)1j的圖象的上方”2原題條件的幾何意義是“無(wú)論實(shí)數(shù)0<p<4之內(nèi)的什么實(shí)數(shù)，二次函數(shù)j的圖象總是在一次函數(shù)1j的圖象的上方”2把原題所求的問(wèn)題重新表述一下，就是：當(dāng)x取那些實(shí)數(shù)時(shí)，可以保證“無(wú)論實(shí)數(shù)之內(nèi)的什么實(shí)數(shù)，二次函數(shù)j的圖象總是在一次函數(shù)1j的圖象的上方”這個(gè)命題正確．2現(xiàn)在我們研究這兩個(gè)函數(shù)的圖象（如圖）：二次函數(shù)圖象是一條固定不變的拋物線．但是一次函數(shù)j的圖象隨之2的變化繞（1，0）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)p=0,J=0時(shí)，是與

2軸重合的一條直線；j2=—4x+4是一條截距為4的直線，它與拋物線j的交點(diǎn)坐標(biāo)為1叫 1,8DDODOq取遍0<p<4之內(nèi)的所有實(shí)數(shù)時(shí)，直線j所過(guò)了圖中的陰影區(qū)域．2結(jié)合圖形，我們?cè)僖淮伟言瓎?wèn)題重新表述一下：當(dāng)x取哪些實(shí)數(shù)時(shí)，可以保證“二次函數(shù)j的圖象總是在圖中的陰影區(qū)1xx的取值范圍是域的上方”．觀察圖象，我們不難得到x<—1或x>3，所以原問(wèn)題的結(jié)論就是：或x>3口【說(shuō)明】本題一開(kāi)始為什么要對(duì)不等式作這樣的變形？希望大家在完全理解這道題的解題思路后認(rèn)真思考一下這個(gè)問(wèn)題，習(xí)慣對(duì)這類問(wèn)題的反思在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要．利用函數(shù)圖象解決不等式問(wèn)題是一種比較常見(jiàn)的數(shù)形結(jié)合的方法， 這種方法的要點(diǎn)是把不等式變形成兩個(gè)可以畫(huà)出圖象的函數(shù)（值）比較．B（x，yB（x，y）之間的距離可以用公式22y=2x+10的距離口1．已知平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)A（x，y）和11AB=式x—x）2+（y—y）2計(jì)算□利用這個(gè)公式計(jì)算原點(diǎn)到直線, 1 2 1 22口已知AABC2口已知AABC的三邊長(zhǎng)分別為m2一n212mn和m2+n2（m、n為正整數(shù)，且m>nDDOAABC的面積皿含 m、n的代數(shù)式表示）口3口直線 y=bx+c與拋物線y=ax2相交，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x口x，直線y=bx+c與x軸的12交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．將如圖的五個(gè)邊長(zhǎng)為111xDOD： —=—+—D3 xxx3121的正方形組成的十字形剪拼成一個(gè)正方形D5D已知正實(shí)數(shù)x，求y=弋x2+4+J(2-x)2+1的最小值D6D已知1tana=—,21tanP=3,OD：7D求函數(shù) y=x+1|+|x-2|+|x一3|的最小值d8D若關(guān)于x的方程 x2+2kx+3k=0的兩根都在口1和3之間，Ok的取值范圍D9D若a>0，且b>a+c，求證：方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根D初三數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”習(xí)題（ 2）1D設(shè)k+b=0，則直線y=kx+b與拋物線 y=kx2+bx的位置關(guān)系是口 DDAD有兩個(gè)不重合的交點(diǎn)CD沒(méi)有公共點(diǎn)BD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)DD無(wú)法確定2D在下列長(zhǎng)度的四組線段中，不能組成直角三角形的是（DDAD3、3、3<2BD<3+1、-112<22020米處，玩具店位60米，此時(shí)小明的位置在CD8、15、17 DD3.5、4.5、5.53D文具店、書(shū)店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書(shū)店西邊于書(shū)店?yáng)|邊 100米處，小明從書(shū)店沿街向東走了 40米，接著又向東走了－(DDBD文具店ADBD文具店CD文具店西邊40米DD玩具店?yáng)|邊口60米4□已知實(shí)數(shù)ADa、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)依次在原點(diǎn)的右邊和左邊，那么(ab<bBDab>bCDa+b>0)DDDa-b>05口函數(shù)y=x—3+x+5的最小值為()DADBD5CD3DD261已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式x+2>x的解集為()DAD-2<x<2BD-2<x<2CDx<2DDx>27題圖71如圖所示，在AABC中，/C=90。，點(diǎn)D在BC上，BD=4,AD=BC,3cos/ADC=5,則DC=_8□在數(shù)軸上數(shù)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是91有一座拋物線形拱橋，,sinB=a和3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) D正常水位時(shí)橋下水面寬度為DA和點(diǎn)B,點(diǎn) A到原點(diǎn)的距離為20米，拱頂距離水面保證過(guò)往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于橋下順利航行？10］如口，已知AABC內(nèi)接于圓O,AD是圓1.5，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱11D如圖所示，已知矩形AOBC中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，4米，橋下的水深為18米D問(wèn)水深超過(guò)多少米時(shí)就會(huì)影響過(guò)往船只在O直徑交BC于EDOD：AEtanB-tanC= DOB、OA分別在 x軸、y軸上，以AB為軸對(duì)稱后，使C點(diǎn)落在D點(diǎn)處,求D點(diǎn)坐標(biāo)D12．已知兩點(diǎn)AOx,yDOBOx2,yD,線段2已知MO－1,O1D計(jì)算2D,NO5,

MN中點(diǎn)的坐標(biāo)；14D．O2）試研究：怎樣不畫(huà)圖計(jì)算出線段初三數(shù)學(xué)【參考答案】1．2．D3．B4．D7．6，4vzi418．4.5或7.5