金屬塑性變形理論

第五講LessonFiveZhangGuijieTel：E-Mail：DepartmentofMetalMaterialandProcessEngineeringHebeiPolytechnicUniversity,Tangshan0630092023/4/32第十章應力狀態(tài)分析主要內(nèi)容MainContent應力狀態(tài)基本概念斜面上任一點應力狀態(tài)分析求和約定和應力張量主應力及主切應力球應力及偏差應力2023/4/3310.4主應力及主切應力10.4.1主應力的概念通過坐標變換可以找到只有正應力的坐標面，此坐標軸稱為主軸，此應力稱為主應力，該坐標面為主平面。2023/4/352023/4/36主應力的求解如果取微分面ABC為主微分面，即該微分面上只有主應力而沒有切應力。這時，作用在此面上的全應力就是主應力。用表示主應力，則它在各坐標軸上的投影為

2023/4/37代入到斜面應力方程中有整理后可得又有（*）（**）2023/4/39展開此行列式，得令則有2023/4/310三次方程式稱為應力狀態(tài)特征方程。此方程的三個根就是三個主應力，而這三個主應力均為實根。由因式分解可知

由代數(shù)學可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此該式與應力狀態(tài)特征方程全等。有展開后得2023/4/311應力張量不變量

對同一點應力狀態(tài)，三個主應力的數(shù)值是一定的，而與過該點的坐標系的選擇無關，不管應力分量怎樣隨坐標系改變。那么I1、I2、I3

是不隨坐標系改變的，分別稱為一次、二次和三次應力常量，或稱為應力張量不變量。2023/4/313三個主應力均為實根主應力具有極值性質(zhì)三個主應力中的最大值賦給s1，最小值賦給s3，并按大小順序排列s1≥s2≥s3，則過該點任意微分斜面上的正應力中，s1為最大值，s3為最小值。

2023/4/314主坐標系因為三個主應力兩兩相互垂直，若取坐標軸與主應力方向一致，則構成主坐標系，其坐標軸稱為主軸。s2s12(y)3(z)1(x)s32023/4/315在主坐標系下斜面上的應力為或正應力為主應力張量2023/4/317當微分面轉(zhuǎn)動時，切應力隨之變化。我們所求的是，當l、m、n為何值時，微分面上的切應力取極值。由二元函數(shù)f(x,y)求極值的方法可求得微分面上的切應力的極值。

2023/4/318對此方程組求解分不同情況當s1≠s2≠s3時，1），此解指主微分面上切應力為零2）時，

3）時，

4）時，此種情況不可能成立。

5）若方程中消去m，則有

2023/4/319l＝0m＝0n＝02023/4/321l000m000n000切應力000正應力主平面和主切平面上所作用的應力2023/4/322練習已知變形體內(nèi)某點的應力狀態(tài)N/mm2

試求該點的主應力大小和主應力的方向余弦。2023/4/323解：s（1）

=60MPa為一主應力。y面y向縮減應力張量的維數(shù)2023/4/325按大小順序排列后，得到求s1的方向余弦。將s1代入到（*）式中與