專題五

與平行四邊形的性質關的計算與證明教材P90作業(yè)題第5)

__已知：如圖1，在ABCD，過AC的中點的直線分別交CB，AD的延長線于點E，.求證：＝DF圖1證明：在平行四邊形中，點是中點，∴OA，∥，ADBC∴∠FAC∠，又∠AOF∠，∴△AOF△ASA，∴AF∴AF－＝－，即DFBE【思想方法】平行四邊形對邊平行、對邊相等、對角相等、對角線互相平分的性質可以作為判定平行四邊形中三角形全等的條件．如圖2已知?的對角線BD相交于點過點O作一直線分別交AD，的延長線于，F(xiàn)，求證：OE＝OF圖2證明：在?中，

AO，∥，∴∠E∠F，∠＝∠在△和△COF，∠E∠F，＝FCOAO∴△AOE△COFAAS，∴OE[2013·南充]如圖3在平行四邊形中，對角線AC，BD交于點O，經過點的直線交于E，交CD于F求證：OE＝OF圖3證明：∵四邊形是平行四邊形，∴OA，∥∴∠OAE∠OCF.∵∠AOE∠COF∴△OAE△OCFASA．∴OE[2013·淮安]如圖，在平行四邊形中，過中點作直線分別交AD，BC于點，F(xiàn).求證：△COF圖4證明：∵為點，∴OA.

∵四邊形為平行四邊形，∴ADBC∴∠EAO∠FCO∠＝∠∴△AOE△COF.已知：如圖，為ABCD的對角線，O為BD的中點，EF⊥BD于點，與AD，分別交于點E，.證：DE＝.圖5證明：在平行四邊形中，ADBC∴∠OBF∠.∵為的中點，∴OBOD在△和△，∠＝∠ODEOD∠＝∠DOE∴△BOF△.∴OF.∵EFBD于點，∴DEDF如圖6，在平行四邊形中，是對角線AC的中點，過O點作直線分別交AD于E，.求證：＝DF；若，EF將平行四邊形ABCD分成的四部分的面積相等，指出點的位置，并說明理由．

圖6解：證明：如圖，在平行四邊形中，∵ADBC∴∠1∠2∠3∠∵是的點，∴AO，∴在△與△中，∠3∠42AO，∴△AOF，∴AF又∵ADBC∴－AFBC，即BEDF變形5圖當E點與點重合時將平行四邊形分成的四個部分的面積相等．理由：∵四邊形是平行四邊形，∴OA＝，OB＝由△與△AOD等同高可知面積相等，同理，△ABO與△BOC的面積相等，△AOD與△COD的面積相等，從而易知所分成的四個三角形面積相等．[2013·漳]如圖7，中，E，是對角線上兩點，且BE＝.

圖中共有__3__全等三角形；請寫出其中一對全等三角形：________≌________，并加以證明．圖7解(1)圖中的全等三角形有：≌△CDF≌△CDBADE△CBF共有對．故填3①△ABE≌△.由如下：∵在?ABCD中，ABCDABCD∴∠ABE∠CDF＝，∴在△與△CDF中∠CDFBEDF∴△ABE△CDF(SAS②△ABD△CDB.由如下：∵在?ABCD中，＝，＝，＝∴在△與△中，，＝，∴△ABD△CDB()③△ADE△理由如下：∵在?ABCD中，∥，＝CB∴∠ADE∠∵BEDF，∴＝∴在△與△CBF中，

＝＝∠DEBF∴△ADE△(SAS[2013·徐]如圖四邊形是平行四邊形平分∠

222222交AB于，BF分∠ABC交CD于點F.求證：＝BF；連結EF，寫出圖中所有全等三角形．(不要求明)圖8解：∵四邊形平行四邊形，∴ADCB∠＝∠C∠ADC∠CBA∵DE分∠，BF分∠ABC11∴∠ADE∠ADC∠CBF∠CBA∴∠ADE∠∴△ADE△(ASA∴DE△ADE≌△；△DEF≌△[2013·重]已知：在平行四形ABCD中，⊥，垂足為E，＝，點F的中點，點GCD上的一點，連結，，∠1＝∠2.若CF＝2＝3，求BE的長；1求證：∠＝∠.圖9解：∵點F為中點，∴＝CDCF＝

2222222222又∵四邊形為平行四邊形，∴ABCD4.在Rt△中，由勾股定理，得：＝

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－AE＝證明：如圖，延長交于點H.變形8圖∵＝CD∠＝∠2，∠C，∴△CEG≌△CDF.∴＝1