第20講不等式恒成立之max，min問題一、解答題1．（2021·云南師大附中高三月考（文））已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，的取值范圍是.【分析】（1）對求導(dǎo)，得到，對x分討論即可得答案；（2）由題意，將恒成立轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立即可，對求導(dǎo)得，分、、三種情況討論，結(jié)合單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）證明：，.當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?）知，當(dāng)時，，又，所以當(dāng)時，恒成立，由于當(dāng)時，恒成立，所以等價于：當(dāng)時，..①若，當(dāng)時，，故，遞增，此時，不合題意；②若，當(dāng)時，由知，存在，當(dāng)，，遞增，此時，不合題意；③若，當(dāng)時，由知，對任意，，遞減，此時，符合題意.綜上可知：存在實(shí)數(shù)滿足題意，的取值范圍是.2．（2021·云南師大附中高三月考（理））已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【分析】（1）對求導(dǎo)，得到，對x分討論即可獲得證明；（2）由題意，將恒成立轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立即可，對求導(dǎo)得，易得單增，分與兩種情況討論，結(jié)合的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可得到滿足題意的a.【詳解】（1），,當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，．所以當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?）得，當(dāng)時，，又，所以當(dāng)時，恒成立．由于當(dāng)時，恒成立，故等價于：當(dāng)時，恒成立．，．當(dāng)時，，，故；當(dāng)時，，，故．從而當(dāng)時，，單調(diào)遞增．①若，即，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，不符合題意；②若，即，取，則，且，故存在唯一，滿足，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，，不符合題意；若，則，符合題意，此時由得；若，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，，不符合題意．綜上可知：存在唯一實(shí)數(shù)滿足題意．【關(guān)鍵點(diǎn)晴】本題第一小問的關(guān)鍵點(diǎn)在于提公因式討論，避免二次求導(dǎo)；第二小問首先將將恒成立轉(zhuǎn)化為在時恒成立，在對研究時，關(guān)鍵點(diǎn)是，再結(jié)合的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理討論得到a，有一定難度，特別是書寫的規(guī)范性.3．（2021·廣東·順德一中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集；（2）若，證明：當(dāng)時，；（3）用表示，中的最大值，設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）在上是增函數(shù)，；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，由，得到不等式的解集；（2）利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，求出最小值，即可證明；（3）先判斷當(dāng)時，由恒成立得到恒成立；再研究當(dāng)時，，只需在上恒成立即可．利用分離參數(shù)法得到，利用導(dǎo)數(shù)研究，的極大值，求出a的范圍.【詳解】（1），當(dāng)時，，，∴，當(dāng)時，，，∴，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，即在上是增函數(shù)；又，所以的解集為．（2）．由，得，，則，即在上為增函數(shù)．故，即．（3）由（1）知，當(dāng)時，恒成立，故恒成立；當(dāng)時，，因?yàn)椋沟煤愠闪?，只要在上恒成立即可．由，得．設(shè)函數(shù)，，則．令，得．隨著變化，與的變化情況如下表所示：+0-極大值所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．在上唯一的一個極大值，即極大值，故綜上所述，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2019·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知函數(shù).（I）若是上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時，記的最小值為，證明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【分析】（I）問題轉(zhuǎn)化為或恒成立，令g（x）＝，通過求導(dǎo)求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍（Ⅱ）由（I）可得當(dāng)時，在有唯一的，使得a=且得到，從而得到的最小值為，分解因式分析正負(fù)可證得左邊成立，再通過構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析得到最大值，證得結(jié)論.【詳解】（I）求導(dǎo)得，由題意知，設(shè)，則，在遞減，在上遞增，即是的極小值點(diǎn)，所以，要使是上的單調(diào)函數(shù)，即或恒成立，只有.（Ⅱ）令，即a=xlnx，在在上遞增，當(dāng)時，在有唯一的，使得a=又由的單調(diào)性，知，即，所以的最小值為，將代入，得，從而知，另一方面，記，求導(dǎo)得，當(dāng)時，所以是的唯一極大值點(diǎn)，即，有，綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了構(gòu)造法的技巧及分析問題的能力，屬于難題．5．（2019·云南·一模（理））已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)與的定義域都是.（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：函數(shù)只有一個零點(diǎn)，且；（3）用表示，的最小值，設(shè)，，若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）見證明（3）【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（2）先計算得，所以存在零點(diǎn)，且.再證明在上是減函數(shù)，即得證函數(shù)只有一個零點(diǎn)，且.(3)由題得，在為增函數(shù)在，恒成立，即在區(qū)間上恒成立.設(shè)，只需證明，再利導(dǎo)數(shù)求得的最小值，.【詳解】（1）∵，∴切線的斜率，.∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（2）證明：∵，，∴，，，∴存在零點(diǎn)，且.∵，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，由得.∴在上是減函數(shù).∴若，，，則.∴函數(shù)只有一個零點(diǎn)，且.（3）解：，故，∵函數(shù)只有一個零點(diǎn)，∴，即.∴.∴在為增函數(shù)在，恒成立.當(dāng)時，即在區(qū)間上恒成立.設(shè)，只需，，在單調(diào)減，在單調(diào)增.的最小值，.當(dāng)時，，由上述得，則在恒成立.綜上述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線的方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題和最值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6．（2018·江西·南昌二中高二期末（文））設(shè)函數(shù).（1）若，證明：在上存在唯一零點(diǎn)；（2）設(shè)函數(shù)，（表示中的較小值），若，求的取值范圍.【答案】（1）詳見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）證明在上存在唯一零點(diǎn)，需從兩個方面進(jìn)行，一是單調(diào)性，確保至多一個零點(diǎn)，二是零點(diǎn)存在定理，確保至少一個零點(diǎn).（2）即求函數(shù)的最大值，根據(jù)分段函數(shù)最大值為各段最大值的最大值，先求各段函數(shù)單調(diào)性，確定最大值，并比較可得函數(shù)最大值.試題解析：解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?dāng)時，，而，所以在存在零點(diǎn).因?yàn)椋?dāng)時，，所以，則在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一零點(diǎn).（2）由（1）得，在上存在唯一零點(diǎn)，時，時，.當(dāng)時，由于；時，，于是在單調(diào)遞增，則，所以當(dāng)時，.當(dāng)時，因?yàn)椋瑫r，，則在單調(diào)遞增；時，，則在單調(diào)遞減，于是當(dāng)時，，所以函數(shù)的最大值為，所以的取值范圍為.7．（2016·廣西來賓·一模（理））已知函數(shù)．（1）證明在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一實(shí)根；（2）記在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根為，函數(shù)，若方程在區(qū)間有兩不等實(shí)根，試判斷與的大小，并給出對應(yīng)的證明．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析.【解析】試題分析：（1）只需證明在上單調(diào)遞增，且即可；（2）先證且存在，使得，故時，；當(dāng)時，，再用分析法證明即證.試題解析：（1）證明：，定義域?yàn)椋?，即在上單調(diào)遞增，又，而在上連續(xù)，故根據(jù)根的存在性定理有；在區(qū)間有且僅有唯一實(shí)根．（2）當(dāng)時，，而，故此時有，由（1）知，，當(dāng)時，，且存在，使得，故時，；當(dāng)時，．因而，顯然當(dāng)時，，因而單增；當(dāng)時，，因而遞減；在有兩不等實(shí)根，則．顯然當(dāng)時，，下面用分析法給出證明，要證：即證，而在上遞減，故可證，又由，即證，即，記，其中．，記，當(dāng)時，；時，故，而故，而，從而，因此，即單增，從而時，，即，故得證．考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及求最值；2、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.【方法點(diǎn)睛】判斷則方程實(shí)根的常用方法：=1\*GB3①轉(zhuǎn)化法：函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個；=2\*GB3②零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；=3\*GB3③數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.本題（1）的證明就是采取方法=2\*GB3②進(jìn)行的.8．（2016·安徽合肥·一模（理））已知函數(shù).（1）記，證明在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一實(shí)根；（2）記在內(nèi)的實(shí)根為，，若在有兩不等實(shí)根，判斷與的大小，并給出對應(yīng)的證明.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】試題分析：（1）證明在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一實(shí)根，要從兩方面入手，一是單調(diào)性，保證至多一個實(shí)根；二是零點(diǎn)存在定理，保證至少一個根.而單調(diào)性的說明，往往利用導(dǎo)數(shù)：因?yàn)槎?，故，零點(diǎn)存在定理關(guān)鍵找出兩個變號的函數(shù)值：（2）本題實(shí)質(zhì)是極點(diǎn)偏移：先確定，再確定取值范圍：，最后利用“對稱”比較與大?。?，即，而，在上遞減，因此可得，即試題解析：（1）解：證明：，定義域?yàn)?，，而，故，即在上單調(diào)遞增，又，而在上連續(xù)，故根據(jù)根的存在定理有：在區(qū)間有且僅有唯一實(shí)根（2）當(dāng)時，，而，故此時有，由（1）知，，當(dāng)時，，且存在使得，故時，；當(dāng)時，，因而，顯然當(dāng)時，因而單增；當(dāng)時，，，因而遞減：在有兩個不等實(shí)根，則顯然當(dāng)時，，下面用分析法給出證明，要證：，即證，而在上遞減，故可證，又由，即證，即，記，其中.，記，當(dāng)時，；時，故，而故，而，從而，因此，即單增，從而時，，即，故，得證（其他方法酌情給分）考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)，證明不等式【名師點(diǎn)睛】對于函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說明函數(shù)零點(diǎn)個數(shù).9．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)為，記（其中表示，中的較小值），若在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由題設(shè)有，討論、判斷的符號，進(jìn)而確定的單調(diào)性；（2）由題意得，研究在上的符號，由區(qū)間單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定存在使得，根據(jù)題設(shè)定義寫出解析式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而應(yīng)用分析法：要證只需要證，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并確定，即可證結(jié)論.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令有，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）且定義域?yàn)?，∴，而在上，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，，且在區(qū)間內(nèi)的圖像連續(xù)不斷，∴根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，有在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一零點(diǎn).∴存在，使得，即，∴當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，∴可得，當(dāng)時，，由得單調(diào)遞增；當(dāng)時，，由得單調(diào)遞減：若在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，則，∴要證，需證，又，而在內(nèi)遞減，故可證，又，即證，即下證：記，，由知：，記，則：當(dāng)時，；當(dāng)時，，故，而，所以，由，可知.∴，即單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，即，故，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）分類討論參數(shù)的范圍，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)區(qū)間的符號研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）由導(dǎo)數(shù)研究在上零點(diǎn)的個數(shù)，寫出解析式并判斷單調(diào)性，利用分析法：將要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式恒成立.10．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，試研究函數(shù)的極值情況；（2）記函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)為，記，若在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實(shí)根，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由求出，分別討論與的關(guān)系，從而求出，時的范圍，可得函數(shù)的增減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值情況；（2）先證明，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，存在，使得，可得以，要證，只需證，即，記，其中，利用導(dǎo)數(shù)可證明單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，即可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意，得，故，故，.令，得①當(dāng)時，，或；，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以在處取極大值，在處取極小值.②當(dāng)時，，恒成立，所以不存在極值；③當(dāng)時，，或；，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以在處取極大值，在處取極小值.綜上，當(dāng)時，在處取極大值，在處取極小值；當(dāng)時，不存在極值；時，在處取極大值，在處取極小值.（2），定義域?yàn)?，，而，故，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增又，，且在區(qū)間內(nèi)的圖象連續(xù)不斷，故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，有在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一零點(diǎn).所以存在，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，由得單調(diào)遞增；當(dāng)時，，由得單調(diào)遞減；若在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實(shí)根（）則.要證，即證又，而在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故可證，又由，即證，即記，其中記，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故而，故，而，所以，因此，即單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，即，故，得證.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論求函數(shù)的極值以及零點(diǎn)偏移證明不等式.方法點(diǎn)睛：（1）根據(jù)零點(diǎn)判斷兩根的范圍；（2）由證明的結(jié)果逆推關(guān)系式，一般為要想證明，只需證，再根據(jù)的范圍以及函數(shù)的單調(diào)性尋找要證明的關(guān)系式；（3）根據(jù)同為零點(diǎn)的關(guān)系替換，即轉(zhuǎn)化為證明；（4）對函數(shù)求導(dǎo)，求單調(diào)性證明即可.11．（2020·北京八中高二期末）已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，定義：，．其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值．若存在最小正整數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”．（Ⅰ）若，，試寫出，的表達(dá)式；（Ⅱ）已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應(yīng)的；如果不是，請說明理由；（Ⅲ）已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.【答案】（1），．（2）存在，使得是[-1,4]上的“4階收縮函數(shù)”．（3）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)的最大值可求出，的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)，上的值域，先求出，的解析式，再根據(jù)求出k的取值范圍得到答案.(3)先對函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而寫出，的解析式，然后再由求出k的取值范圍.試題解析：（1）由題意可得：，，，.（2），，當(dāng)時，，∴，；當(dāng)時，，∴，∴；當(dāng)時，，∴，綜上所述，.即存在，使得是上的“4階收縮函數(shù)”.（3），令得或.函數(shù)的變化情況如下：令得或.（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，因此，，.因?yàn)槭巧系摹岸A收縮函數(shù)”，所以，①，對恒成立；②存在，使得成立.①即：對恒成立，由解得或.要使對恒成立，需且只需.②即：存在，使得成立.由解得或.所以，只需.綜合①②可得（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，，，，顯然當(dāng)時，不成立，（3）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，，，，顯然當(dāng)時，不成立.綜合（1）（2）（3）可得：.12．（2019·湖南·雅禮中學(xué)高三月考（理））記表示m，n中的最大值，如.已知函數(shù)，.（1）設(shè)，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)；（2）試探討是否存在實(shí)數(shù)，使得對恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）2；（2）存在，.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間及最值，結(jié)合圖像即可判定；（2）構(gòu)造函數(shù)，對該函數(shù)在的最大值進(jìn)行分類討論求解，只需要最大值小于0即可.【詳解】（1）設(shè)，則.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所，所以，即，所以.設(shè)，結(jié)合與在上的圖象可知，這兩個函數(shù)的圖象在內(nèi)有兩個交點(diǎn)，即在上的零點(diǎn)個數(shù)為2（或由方程在內(nèi)有兩根可得）.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對恒成立，則對恒成立，即對恒成立，①設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減