3第一章空間向量與立體幾何新（定義，文化）高觀點(diǎn)必刷必過(guò)題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說(shuō)在他生病臥床時(shí)，還在反復(fù)思考一個(gè)問(wèn)題：通過(guò)什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來(lái)呢？突然，他看見(jiàn)屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，單位正方體頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．2．（2021·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高二期中）空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問(wèn)題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過(guò)的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．3．（2022·湖北·襄陽(yáng)市襄州區(qū)第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A．B．C．D．4．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）A．20°B．40°C．50°D．90°5．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）?？阽姌堑臍v史悠久，最早是為適應(yīng)對(duì)外通商而建立，已成為?？诘淖钪匾臉?biāo)志性與象征性建筑物之一，如圖所示，?？阽姌堑闹黧w結(jié)構(gòu)可以看做一個(gè)長(zhǎng)方體，四個(gè)側(cè)面各有一個(gè)大鐘，則從到這段時(shí)間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫榈拇螖?shù)為（）A．B．C．D．6．（多選）（2022·福建·廈門(mén)海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）給定兩個(gè)不共線的空間向量與，定義叉乘運(yùn)算：．規(guī)定：①為同時(shí)與，垂直的向量；②，，三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③．如圖2，在長(zhǎng)方體中，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．7．（多選）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）在三維空間中，叫作向量與的外積，它是一個(gè)向量，且滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①，，且，，三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖所示）；②.在正方體中，已知其表面積為S，下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．D．與共線8．（多選）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，則以下命題正確的是（）A．與成角的余弦值為B．，，，四點(diǎn)不共面C．弧上存在一點(diǎn)，使得D．以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與曲池上底面的交線長(zhǎng)為9．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)近代數(shù)學(xué)家蘇步青主要從事微分幾何學(xué)和計(jì)算幾何學(xué)等方面的研究，在仿射微分幾何學(xué)和射影微分幾何學(xué)等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是發(fā)現(xiàn)了四次代數(shù)錐面：對(duì)于空間中的點(diǎn)P（x，y，z），若其坐標(biāo)滿(mǎn)足關(guān)于x，y，z的四次代數(shù)方程式，稱(chēng)點(diǎn)P的軌跡為四次代數(shù)曲面．若點(diǎn)K（1，k，0）是四次曲面：上的一點(diǎn)，則k＝___．10．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)Ox，Oy，Oz是空間中兩兩夾角都為θ的三條數(shù)軸，分別是與x，y，z軸正方向同向的單位向量，若，x，y，z∈R，則把有序數(shù)對(duì)叫作向量在坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，則下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.（1）若，，則；（2）若，則；（3）若，則當(dāng)且僅當(dāng)x∶y=3∶1時(shí),向量與的夾角取得最小值；（4）若，，，則三棱錐O-ABC的表面積為6+2.11．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面的一般方程為，點(diǎn)到平面的距離，則在底面邊長(zhǎng)與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于________．12．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）兩個(gè)非零向量，，定義．若，，則___________．13．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期末）已知，空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________.14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）化學(xué)中，晶體是由大量微觀物質(zhì)單位（原子、離子、分子等）按一定規(guī)則有序排列的結(jié)構(gòu)．構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱(chēng)為晶胞．已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，O原子位于棱的中點(diǎn)），則圖中原子連線BF與所成角的余弦值為_(kāi)_____．15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉臑（bienao）是指四個(gè)面都是直角三角形的四面體．如圖，在直角中，AD為斜邊BC上的高，，，現(xiàn)將沿AD翻折，使得四面體為一個(gè)鱉臑，則二面角的余弦值是___________．16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）半正多面體（semiregularsolid）亦稱(chēng)“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則正確的是_______________________________①⊥平面；②該二十四等邊體的體積為；③該二十四等邊體外接球的表面積為；④與平面所成角的正弦值為.17．（2022·湖南·周南中學(xué)高二期末）某校積極開(kāi)展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過(guò)程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是正方形的三邊AB、CD、AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB、CG就得到了一個(gè)“芻甍”（如圖2）．(1)若是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；(2)若二面角是直二面角，求點(diǎn)到平面的距離．18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類(lèi)比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸?y軸?z軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）相對(duì)應(yīng)，稱(chēng)向量的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作.(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；(2)在平行六面體中，AB=AD=2，AA1=3，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.①若，求向量的斜坐標(biāo)；②若，且，求.19．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面的法向量，且平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn).求證：.（2）我們稱(chēng)（1）中結(jié)論為平面的點(diǎn)法式方程，若平面過(guò)點(diǎn)，求平面的點(diǎn)法式方程.20．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡(jiǎn)稱(chēng)圓錐S）與不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點(diǎn)為F，直線l與平面α交點(diǎn)為A，直線AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為M，，．(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，關(guān)系式；(2)求證：曲線C是拋物線．21．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵中，，M是的中點(diǎn)，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點(diǎn)H，則___________，___________.22．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）《九章算術(shù)》第五卷中涉及一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無(wú)深，袤七尺．該羨除是一個(gè)多面體，如圖，四邊形，均為等腰梯形，，平面平面，梯形，的高分別為3，7，且，，，則______，______．23．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓簡(jiǎn)稱(chēng)為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱AB上，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足．若點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為_(kāi)_______；若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為_(kāi)_______．24．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練