學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2021版新高考數學（山東專用）一輪學案：第一章第二講命題及其關系、充分條件與必要條件含解析第二講命題及其關系、充分條件與必要條件ZHISHISHULISHUANGJIZICE知識梳理·雙基自測eq\x（知)eq\x（識）eq\x（梳）eq\x(理)知識點一命題及四種命題之間的關系1．命題用語言、符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句叫做命題,其中判斷為真的語句叫做真命題,判斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其關系（1）四種命題間的相互關系（2）四種命題的真假關系①若兩個命題互為逆否命題，則它們有相同的真假性；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系。知識點二充分條件與必要條件若p?q，則p是q的充分條件,q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分又不必要條件pq且qpeq\x（重）eq\x（要)eq\x（結）eq\x(論)1．若A＝{x|p（x）｝，B＝｛x|q（x)}，則(1）若A?B，則p是q的充分條件；(2）若A?B，則p是q的必要條件;(3)若A＝B，則p是q的充要條件;(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；(6)若Aeq\o（?，/）B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．2．充分條件與必要條件的兩個特征：（1）對稱性:若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”．(2)傳遞性：若p是q的充分（必要）條件，q是r的充分(必要）條件，則p是r的充分（必要)條件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．注意:不能將“若p,則q"與“p?q"混為一談，只有“若p，則q"為真命題時，才有“p?q”,即“p?q”?“若p，則q”為真命題．eq\x（雙)eq\x(基）eq\x（自）eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．（多選題)下列命題正確的是（BD)A．命題“三角形的內角和是180°”的否命題是“三角形的內角和不是180°”B．已知集合A，B,則A∪B＝A∩B的充要條件是A＝BC．“α＝β"是“tanα＝tanβ"的充分不必要條件D．“若p不成立,則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”［解析］A不正確,B、D正確；對于C，當α＝β＝eq\f（π,2）時，tanα、tanβ都無意義．因此不能設tanα＝tanβ，當tanα＝tanβ時，α＝β＋kπ，k∈Z，不一定α＝β,因此是既不充分也不必要條件．故選B、D．題組二走進教材2．(選修2－1P8T3改編)下列命題是真命題的是（A)A．矩形的對角線相等B．若a〉b，c〉d，則ac〉bdC．若整數a是素數，則a是奇數D．命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題3．（選修2－1P10T4改編）x2－3x＋2≠0是x≠1的充分不必要條件．［解析]x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要條件．題組三考題再現4．（2019·天津，5分)設x∈R，則“x2－5x<0”是“｜x－1|〈1”的(B）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件［解析］由x2－5x<0可得0〈x〈5。由|x－1｜〈1可得0<x<2。由于區(qū)間(0，2）是(0，5）的真子集，故“x2－5x〈0”是“|x－1｜〈1”的必要而不充分條件．5．（2015·山東,5分)設m∈R,命題“若m〉0，則方程x2＋x－m＝0有實根"的逆否命題是（D）A．若方程x2＋x－m＝0有實根,則m>0B．若方程x2＋x－m＝0有實根,則m≤0C．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m>0D．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0［解析］由原命題和逆否命題的關系可知D正確．6．(2018·北京，5分)能說明“若f(x）〉f(0）對任意的x∈(0，2]都成立，則f(x）在[0,2］上是增函數”為假命題的一個函數是f(x)＝sin_x(答案不唯一）。[解析］這是一道開放性試題,答案不唯一，只要滿足f（x）>f（0)對任意的x∈(0,2］都成立,且函數f（x）在［0，2]上不是增函數即可．如f（x)＝sinx，答案不唯一．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一命題及其關系——自主練透例1（1)命題“若a>b，則a2>b2”，能說明該命題為假命題的一組a,b的值依次為1,－2（不唯一)。若此命題正確應增加的條件為a〉b〉0(不唯一）。（2)(多選題）下列命題正確的是（AC）A．“若x＋y＝0，則x、y互為相反數”的逆命題B．“全等三角形面積相等”的否命題C．“若q≤－1，則x2＋x＋q＝0有實數根"的逆否命題D．若ab是正整數，則a、b都是正整數（3)（2020·長春模擬）已知命題α：如果x〈3，那么x<5,命題β：如果x≥3,那么x≥5,則命題α是命題β的（A）A．否命題 B．逆命題C．逆否命題 D．否定形式(4)命題“若a＋b＝0,則a,b中最多有一個大于零”的否定形式為若a＋b＝0,則a，b都大于零，否命題為若a＋b≠0，則a，b都大于零.[解析］（1)代入特殊值，當a＝1，b＝－2，發(fā)現a2〈b2，為假命題．當a〉b>0時可得a2〉b2.（2）A．“若x＋y＝0，則x、y互為相反數”的逆命題為“若x、y互為相反數，則x＋y＝0”，顯然是真命題；B．“全等三角形面積相等”的否命題為“不全等三角形的面積不相等"，假命題；C．“若q≤－1,則x2＋x＋q＝0有實根”的逆否命題為“若x2＋x＋q＝0無實根，則q>－1”，x2＋x＋q＝0無實根則Δ＝1－4q〈0，即q>eq\f（1，4),從而q>－1,故C為真命題．(也可由原命題為真得出結論）；D．顯然是假命題,如ab＝2時，可能a＝－1，b＝－2，故填A、C．（3)命題α：如果x〈3，那么x〈5,命題β：如果x≥3,那么x≥5，則命題α是命題β的否命題．（4）否定形式：若a＋b＝0，則a，b都大于零．否命題:若a＋b≠0，則a，b都大于零．名師點撥?（1）由原命題寫出其他三種命題,關鍵要分清原命題的條件和結論，如果命題不是“若p，則q”的形式，應先改寫成“若p，則q"的形式；如果命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提不變．(2)判斷一個命題為真命題，要給出嚴格的推理證明；判斷一個命題為假命題，只需舉出反例．（3）根據“原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假．考點二充分必要條件考向1充分條件與必要條件的判斷——師生共研方法1：定義法判斷例2(2019·浙江，4分）設a>0,b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的(A）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]方法一：因為a〉0，b>0，所以a＋b≥2eq\r（ab），由a＋b≤4可得2eq\r（ab）≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；當ab≤4時,取a＝8，b＝eq\f(1,3),滿足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4"是“ab≤4”的充分不必要條件．故選A．方法二：在同一坐標系內作出函數b＝4－a,b＝eq\f（4,a）的圖象，如圖，則不等式a＋b≤4與ab≤4表示的平面區(qū)域分別是直線a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)與曲線b＝eq\f(4,a）及其左下方（第一象限中的部分)，易知當a＋b≤4成立時,ab≤4成立，而當ab≤4成立時，a＋b≤4不一定成立．故選A．方法2:集合法判斷例3(2018·天津，4)設x∈R，則“｜x－eq\f（1,2)|<eq\f(1，2）"是“x3<1”的(A)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]本題主要考查解不等式和充分、必要條件的判斷．由｜x－eq\f（1，2)|<eq\f（1,2)得－eq\f(1,2）<x－eq\f（1,2)〈eq\f（1，2），解得0〈x〈1.由x3〈1得x<1。因為（0，1）(－∞,1），所以“|x－eq\f（1,2)｜<eq\f(1，2)”是“x3〈1”的充分而不必要條件．方法3等價轉化法判斷例4(1)給定兩個條件p，q，若?p是q的必要不充分條件，則p是?q的(A）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)“已知命題p：cosα≠eq\f（1,2)，命題q:α≠eq\f(π,3)”，則命題p是命題q的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件［解析］（1)因為?p是q的必要不充分條件，則q??p，但?pq，其逆否命題為p??q,但?qp，所以p是?q的充分不必要條件．(2)?p：cosα＝eq\f(1,2），?q：α＝eq\f(π，3)，顯然?q??p,?p?q，∴?q是?p的充分不必要條件，從而p是q的充分不必要條件，故選A．另解：若cosα≠eq\f(1,2），則α≠2kπ±eq\f（π，3)(k∈Z)，則α也必然不等于eq\f（π,3)，故p?q；若α≠eq\f（π,3），但α＝－eq\f（π,3）時，依然有cosα＝eq\f(1，2)，故qp.所以p是q的充分不必要條件．故選A．名師點撥?有關充要條件的判斷常用的方法（1)根據定義判斷：①弄清條件p和結論q分別是什么；②嘗試p?q，q?p。若p?q,則p是q的充分條件；若q?p,則p是q的必要條件；若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件；若pq,q?p，則p是q的必要不充分條件；若p?q，q?p，則p是q的充要條件．(2）利用集合判斷記法A＝{x|p(x）}，B＝｛x｜q（x)｝關系ABBAA＝BAeq\o(?,/）B且Beq\o(?,/）A結論p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件（3)利用等價轉化法：對于帶有否定性詞語的命題,常用此法，即要判斷p是q的什么條件,只需判斷?q是?p的什么條件．〔變式訓練1〕（1）指出下列各組中，p是q的什么條件（在“充分不必要條件"“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答)．①在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；②已知x，y∈R，p：（x－1）2＋(y－2)2＝0，q：（x－1)(y－2）＝0；③非空集合A，B中，p:x∈（A∪B)，q:x∈B；④對于實數x，y，p:x＋y≠8,q：x≠2或y≠6。(2)(2019·北京，5分）設函數f（x)＝cosx＋bsinx(b為常數），則“b＝0"是“f（x)為偶函數”的（C）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析](1）①在△ABC中，A＝B?sinA＝sinB；反之，若sinA＝sinB,因為A與B不可能互補(三角形三個內角之和為180°），所以只有A＝B，故p是q的充要條件．②條件p：x＝1且y＝2，條件q：x＝1或y＝2,所以p?q但qp，故p是q的充分不必要條件．③顯然x∈（A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分條件．④易知?p：x＋y＝8,?q:x＝2且y＝6，顯然?q??p，但?p?q,但?q是?p的充分不必要條件,根據原命題和逆否命題的等價性知，p是q的充分不必要條件．（2)b＝0時，f(x）＝cosx，顯然f（x）是偶函數，故“b＝0"是“f(x）是偶函數"的充分條件；f(x）是偶函數，則有f（－x）＝f（x），即cos(－x）＋bsin(－x）＝cosx＋bsinx，又cos(－x）＝cosx，sin(－x）＝－sinx,所以cosx－bsinx＝cosx＋bsinx，則2bsinx＝0對任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f（x）是偶函數”的必要條件．因此“b＝0”是“f（x）是偶函數”的充分必要條件,故選C．考向2充要條件的應用——多維探究角度1充要條件的探究例5(多選題）(2020·江西贛州十四縣市高三上期中改編)角A，B是△ABC的兩個內角．下列六個條件下,“A〉B”的充要條件是(ABD)A．sinA>sinB B．cosA<cosBC．tanA>tanB D．cos2A〈cos2[解析］當A>B時，根據“大邊對大角”可知,a〉b，由于eq\f（a，sinA)＝eq\f（b,sinB)，所以sinA〉sinB，則A是“A>B”的充要條件；由于0〈B<A<π，余弦函數y＝cosx在區(qū)間(0，π)內單調遞減,所以cosA〈cosB,則B是“A〉B”的充要條件；當A>B時，若A為鈍角，B為銳角，則tanA<0〈tanB，則C不是“A>B”的充要條件;當cos2A<cos2B，即1－sin2A〈1－sin2B，所以sin2A>sin2B，所以D是“A>B"的充要條件;故選A、B、D．角度2利用充要條件求參數的值或取值范圍例6（2020·山東省實驗中學高三診斷)已知p：x≥k，q：(x＋1）（2－x)〈0.如果p是q的充分不必要條件，那么實數k的取值范圍是（B）A．［2，＋∞） B．(2，＋∞)C．［1，＋∞） D．（－∞，－1］［解析]由q：(x＋1）(2－x）〈0，可知q:x<－1或x>2.因為p是q的充分不必要條件，所以x≥k?x〈－1或x〉2，即［k，＋∞)是(－∞，－1）∪（2，＋∞)的真子集,故k〉2。故選B．名師點撥?充分條件、必要條件的應用,一般表現在參數問題的求解上．解題時需注意：(1）把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式（或不等式組)求解．（2)一定要注意端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象．(3）注意區(qū)別以下兩種不同說法：①p是q的充分不必要條件，是指p?q但qp；②p的充分不必要條件是q，是指q?p但pq.(4)注意下列條件的等價轉化：①p是q的什么條件等價于?q是?p的什么條件，②p是?q的什么條件等價于q是?p的什么條件．〔變式訓練2〕（1）（角度1）(2020·陜西西安長安一中第二次月考）命題“對任意x∈[1,2］,x2－a≤0"為真命題的一個充分不必要條件可以是（B）A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a〉1（2)(角度2)（2020·福建三明月考）設命題p：|4x－3｜≤1，q:x2－(2a＋1)x＋a(a＋1）≤0,若?p是?q的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是(A)A．[0,eq\f（1,2）］ B．（0,eq\f（1,2))C．（－∞，0]∪[eq\f（1，2），＋∞) D．（－∞，0)∪(eq\f（1,2），＋∞）［解析］（1）要使“對任意x∈［1，2］，x2－a≤0”為真命題,只需a≥4，∴a〉4是命題為真命題的充分