課時(shí)分層作業(yè)(十)萬有引力理論的成就(建議用時(shí)：25分鐘)◎考點(diǎn)一計(jì)算天體的質(zhì)量與密度1．地球表面的平均重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G，用上述物理量估算出來的地球平均密度是()A．eq\f(3g,4πRG) B．eq\f(3g,4πR2G)C．eq\f(g,RG) D．eq\f(g,RG2)A[地球表面有Geq\f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq\f(gR2,G)①，又由ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3M,4πR3)②，由①②得出ρ＝eq\f(3g,4πRG)，故A正確。]2．若地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期及其公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R，月球繞地球公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)半徑分別為t和r，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比eq\f(M日,M地)為()A．eq\f(R3t2,r3T2) B．eq\f(R3T2,r3t2)C．eq\f(R3t2,r2T3) D．eq\f(R2T3,r2t3)A[無論地球繞太陽公轉(zhuǎn)還是月球繞地球公轉(zhuǎn)，統(tǒng)一表示為Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，即M∝eq\f(r3,T2)，所以eq\f(M日,M地)＝eq\f(R3t2,r3T2)，選項(xiàng)A正確。]3．已知太陽光從太陽射到地球需時(shí)間t，光速為c，地球公轉(zhuǎn)軌道可近似看成圓軌道，公轉(zhuǎn)周期為T，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，試計(jì)算：(1)太陽的質(zhì)量；(2)地球的質(zhì)量。[解析](1)設(shè)太陽的質(zhì)量為M，地球的質(zhì)量為m，因?yàn)樘枌?duì)地球的萬有引力提供地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)＝eq\f(4π2c3t3,GT2)。(2)地球半徑為R，則地面上質(zhì)量為m′的物體的重力近似等于物體與地球的萬有引力，故有：F′引＝m′g，即eq\f(Gmm′,R2)＝m′g，m＝eq\f(gR2,G)。[答案](1)eq\f(4π2c3t3,GT2)(2)eq\f(gR2,G)◎考點(diǎn)二天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算4．科學(xué)家們推測(cè)，太陽系的第十顆行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠(yuǎn)在太陽的背面，人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”。由以上信息我們可能推知()A．這顆行星的公轉(zhuǎn)周期與地球相等B．這顆行星的自轉(zhuǎn)周期與地球相等C．這顆行星質(zhì)量等于地球的質(zhì)量D．這顆行星的密度等于地球的密度A[由題意知，該行星的公轉(zhuǎn)周期應(yīng)與地球的公轉(zhuǎn)周期相等，這樣，從地球上看，它才能永遠(yuǎn)在太陽的背面，A正確。]5．(多選)美國(guó)宇航局2011年11月5日宣布，他們發(fā)現(xiàn)了太陽系外第一顆類似地球的、可能適合人類居住的行星——“開普勒-22b”，它每290天環(huán)繞著一顆類似于太陽的恒星運(yùn)轉(zhuǎn)一周。若引力常量已知，根據(jù)下列選項(xiàng)中的信息能求出該行星的軌道半徑的是()A．該行星表面的重力加速度B．該行星的密度C．該行星的線速度D．被該行星環(huán)繞的恒星的質(zhì)量CD[行星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，有eq\f(GMm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)，v＝eq\f(2πr,T)，其中M為被該行星環(huán)繞的恒星的質(zhì)量，v為該行星的線速度，T為該行星的運(yùn)行周期，故C、D正確。]6．如圖所示，在火星與木星軌道之間有一小行星帶。假設(shè)該行星帶中的小行星只受到太陽的引力，并繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列說法正確的是()A．太陽對(duì)各小行星的引力相同B．各小行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期均小于一年C．小行星帶內(nèi)側(cè)小行星的向心加速度值大于外側(cè)小行星的向心加速度值D．小行星帶內(nèi)各小行星圓周運(yùn)動(dòng)的線速度值大于地球公轉(zhuǎn)的線速度值C[由于各小行星的質(zhì)量和軌道半徑不同，根據(jù)萬有引力定律可知太陽對(duì)各小行星的引力不同，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；太陽對(duì)小行星的萬有引力提供小行星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r可得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，又小行星的軌道半徑大于地球的軌道半徑，可知各小行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期均大于一年，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，可知小行星帶內(nèi)側(cè)小行星的向心加速度值大于外側(cè)小行星的向心加速度值，選項(xiàng)C正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知小行星帶內(nèi)各小行星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度值小于地球公轉(zhuǎn)的線速度值，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]7．據(jù)報(bào)道，最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的倍，一個(gè)在地球表面重量為600N的人在這個(gè)行星表面的重量將變?yōu)?60N。由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為()A．B．2C．D．4B[在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，萬有引力等于物體的重力，即G地＝Geq\f(M地m,R\o\al(2,地))同樣在行星表面有G行＝Geq\f(M行m,R\o\al(2,行))以上二式相比可得eq\f(G地,G行)＝eq\f(M地,R\o\al(2,地))×eq\f(R\o\al(2,行),M行)＝eq\f(1,×eq\f(R\o\al(2,行),R\o\al(2,地))eq\f(R行,R地)＝eq\r(\f×600,1×960))＝2故該行星的半徑與地球的半徑之比約為2，故B正確。]◎考點(diǎn)三雙星問題的分析與8．(多選)甲、乙兩恒星相距為L(zhǎng)，質(zhì)量之比eq\f(m甲,m乙)＝eq\f(2,3)，它們離其他天體都很遙遠(yuǎn)，我們觀察到它們的距離始終保持不變，由此可知()A．兩恒星一定繞它們連線的某一位置做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．甲、乙兩恒星的角速度之比為2∶3C．甲、乙兩恒星的線速度之比為eq\r(3)∶eq\r(2)D．甲、乙兩恒星的向心加速度之比為3∶2AD[據(jù)題意可知甲、乙兩恒星的距離始終保持不變，圍繞兩星連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度一定相同，故A正確，B錯(cuò)誤；雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，則有m甲r甲ω2＝m乙r乙ω2，得eq\f(r甲,r乙)＝eq\f(m乙,m甲)＝3∶2，根據(jù)v＝rω，知v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故C錯(cuò)誤；根據(jù)a＝rω2知，向心加速度之比a甲∶a乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故D正確。]9．2019年4月10日9時(shí)許，包括中國(guó)在內(nèi)，全球多地天文學(xué)家同步公布了黑洞“真容”。這是人類第一次凝視曾經(jīng)只存在于理論中的天體——黑洞，一種體積極小、質(zhì)量極大的天體，如同一個(gè)宇宙“吞噬之口”，連光也無法逃逸。在兩個(gè)黑洞合并過程中，由于彼此間的強(qiáng)大引力作用，會(huì)形成短時(shí)間的雙星系統(tǒng)。如圖所示，黑洞A、B可視為質(zhì)點(diǎn)，它們圍繞連線上O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且AO大于BO，不考慮其他天體的影響。下列說法錯(cuò)誤的是()A．黑洞A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小等于B做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小B．黑洞A的質(zhì)量大于B的質(zhì)量C．黑洞A的線速度大于B的線速度D．兩黑洞之間的距離越大，A的周期越大B[兩黑洞靠相互間的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第三定律可知，A對(duì)B的作用力與B對(duì)A的作用力大小相等，方向相反，則黑洞A的向心力大小等于B的向心力大小，故A正確；兩黑洞靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度，由題圖可知A的運(yùn)動(dòng)半徑比較大，根據(jù)v＝ωr可知，黑洞A的線速度大于B的線速度，故C正確；A、B在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的向心力大小關(guān)系為mAω2rA＝mBω2rB，由于A運(yùn)動(dòng)的半徑比較大，所以A的質(zhì)量小，故B錯(cuò)誤；兩黑洞靠相互間的萬有引力提供向心力，所以Geq\f(mAmB,L2)＝mAeq\f(4π2rA,T2)＝mBeq\f(4π2rB,T2)，又rA＋rB＝L，L為兩者之間的距離，T＝eq\r(\f(4π2L3,GmA＋mB))，則兩黑洞之間的距離越大，A的周期越大，故D正確，B符合題意。](建議用時(shí)：15分鐘)10．近年來，人類發(fā)射的多枚火星探測(cè)器已經(jīng)相繼在火星上著陸，正在進(jìn)行著激動(dòng)人心的科學(xué)探究，為我們將來登上火星，開發(fā)利用火星奠定了堅(jiān)定的基礎(chǔ)。如果火星探測(cè)器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并測(cè)得運(yùn)動(dòng)的周期為T，則火星的平均密度的表達(dá)式為(K為常數(shù))()A．ρ＝KT B．ρ＝eq\f(K,T)C．ρ＝KT2 D．ρ＝eq\f(K,T2)D[火星探測(cè)器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，有eq\f(GMm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R及密度公式ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，得ρ＝eq\f(3π,GT2)＝eq\f(K,T2)，故D正確。]11．(多選)某同學(xué)閱讀了“火星的現(xiàn)在、地球的未來”一文，摘錄了以下資料：①根據(jù)目前被科學(xué)界普遍接受的宇宙大爆炸學(xué)說可知，引力常量在極其緩慢地減?。虎诨鹦俏挥诘厍蚶@太陽軌道的外側(cè)；③由于火星與地球的自轉(zhuǎn)周期幾乎相同，自轉(zhuǎn)軸與公轉(zhuǎn)軌道平面的傾角也幾乎相同，所以火星上也有四季變化。根據(jù)該同學(xué)摘錄的資料和有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可推斷()A．太陽對(duì)地球的引力在緩慢減小B．太陽對(duì)地球的引力在緩慢增加C．火星上平均每個(gè)季節(jié)持續(xù)的時(shí)間等于3個(gè)月D．火星上平均每個(gè)季節(jié)持續(xù)的時(shí)間大于3個(gè)月AD[由于引力常量在緩慢減小，根據(jù)萬有引力公式得知太陽對(duì)地球的引力在緩慢減小，A正確；由于火星的軌道半徑比地球的軌道半徑大，由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，得T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，所以火星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期比地球大，地球公轉(zhuǎn)周期是一年，即12個(gè)月，則火星的公轉(zhuǎn)周期大于12個(gè)月，因而火星上的每個(gè)季節(jié)持續(xù)的時(shí)間要大于3個(gè)月，D正確。]12．若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二者幾乎同時(shí)落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R。求：(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；(2)月球的質(zhì)量M；(3)月球的密度。[解析](1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，有h＝eq\f(1,2)g月t2，所以月球表面的自由落體加速度大小g月＝eq\f(2h,t2)。(2)因不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則有Geq\f(Mm,R2)＝mg月，月球的質(zhì)量M＝eq\f(2hR2,Gt2)。(3)月球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3h,2πRGt2)。[答案](1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)13．“黑洞”是愛因斯坦廣義相對(duì)論中預(yù)言的一種特殊天體，它的密度極大，對(duì)周圍的物質(zhì)(包括光子)有極強(qiáng)的吸引力。根據(jù)愛因斯坦的理論，光子是有質(zhì)量的(指它的相對(duì)論質(zhì)量)，光子到達(dá)黑洞表面時(shí)也將被吸入，并恰能繞黑洞表面做圓周運(yùn)動(dòng)。根據(jù)天文觀測(cè)，銀河系中心可能有一個(gè)黑洞，距該黑洞×1012m遠(yuǎn)的星體正以×106m/s的速度繞它旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)據(jù)此估算光子繞黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)[解析]根據(jù)愛因斯坦理論，光子有質(zhì)量，所以黑洞對(duì)光子的引力就等于它做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq