近世代數(shù)試題第近世代數(shù)試題第#頁共7頁88近世代數(shù)模擬試題一.單項選擇題（每題5分，共25分）在整數(shù)加群（Z,+）屮，下列那個是單位元（ ）.0 B.1 C.-1D.1A,n是整數(shù)下列說法不正確的是（ ）.A.G只包含一個元g,乘法是gg=goG對這個乘法來說作成一個群B.G是全體整數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群；C.G是全體有理數(shù)的集合， G對普通加法來說作成一個群；D.G是全體自然數(shù)的集合， G對普通加法來說作成一個群.如果集合M的一個關系是等價關系，則不一定具備的是（）.A.反身性 B.對稱性C.傳遞性D.封閉性對整數(shù)加群Z來說，下列不正確的是（ ）.Z沒有生成元.1是其生成元.-1是其生成元.Z是無限循環(huán)群.下列敘述正確的是（ ）。群G是指一個集合.環(huán)R是指一個集合.群G是指一個非空集合和一個代數(shù)運算，滿足結合律，并且單位元，逆元存在?環(huán)R是指一個非空集合和一個代數(shù)運算，滿足結合律，并且單位元，

二.計算題(每題10分，共30分)設G是由有理數(shù)域上全體2階滿秩方陣對方陣普通乘法作成,cd,■”1百的群，試求屮G屮下列各個兀素G=,cd,I0])的階?試求出三次對稱群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(13》)的所有子群?若e是環(huán)R的惟一左單位元，那么e是R的單位元嗎？若是,請給予證明?三?證明題算1小題10分，第2小題15分，第3小題20分，共45分）.1.證明：在群中只有單位元滿足方程

2?設G是正有理數(shù)乘群，G是整數(shù)加群?證明:cp:彳J㈠na是群G到G的一個滿同態(tài)，其中％b是整數(shù)，而(ab,2)=1.3?設S是環(huán)R的一個子環(huán)?證明：如果R與S都有單位元,但不相等，則S的單位元必為R的一個零因子.近世代數(shù)模擬試題答案20082008年］］月?、單項選擇題（每題?、單項選擇題（每題5分，共25分）1.A2.D3.D4.A5.C二.計算題（每題10分，共1.A2.D3.D4.A5.C二.計算題（每題10分，共30分）1.解：易知c的階無限,(3分)但是d的階為但是d的階為2.（3分）的階有限，是2.2.解：S3的以下六個子集cd的階有限，是2.2.解：S3的以下六個子集cd(2分)（2分）Hi=(1)^>H2 (1),(12),HH4={(1),Q3)},H5=<(1),(123),(132Hi=(1)^>H2 (1),(12),HH4={(1),Q3)},H5=<(1),(123),(132》,H6=S3（7分）3.對置換乘法都是封閉的，因此都是S3的子集3.對置換乘法都是封閉的，因此都是S3的子集.解：e是R的單位元。（3分）事實上，任取a,beR,則因事實上，任取a,beR,則因e是R的左單位元，故(he—a+e)b=afeb)—ab+eb=ab—ab+b=b,即ae-a+e也是R的左單位元。故有題設得ae—a+e=e,.Iae=a.三、證明題（每小題三、證明題（每小題15分共45分）1.證明：設e是G的單位元，則e顯然滿足所說的方程另外，設aeG且/=&,則有（3分）1.證明：設e是G的單位元，則e顯然滿足所說的方程另外，設aeG且/=&,則有（3分）a^a2=aN(5分)即只有e滿足方程 x2=x?（2分）2.證明:卩顯然是G到G的一個滿射（3分）又由于當(ab,2)=l,(cd,2)=1時有(abed,2)=1cp么?上.厶?d_)二gwac=3呼?b為(2“.).a cbd?一丿畀mac（4分）（6分）故①是群G到G的一個同態(tài)滿射。（2分）3證明：分別用e和e'表示R與S的單位元，且eTOC\o"1-5"\h\z于是e木是R的單位元。 （3分）因此，存在0為己R,使aea或=a （5分）如果a