PAGEPAGE11第17講銳角三角函數(shù)與解直角三角形考綱要求命題趨勢1．理解銳角三角函數(shù)的定義，掌握特殊銳角(30°，45°，60°)的三角函數(shù)值，并會進行計算．2．掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系，會解直角三角形．3．利用解直角三角形的知識解決簡單的實際問題.中考中主要考查銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值及解直角三角形．題型以解答題和填空題為主，試題難度不大，其中運用解直角三角形的知識解決與現(xiàn)實生活相關(guān)的應(yīng)用題是熱點.知識梳理一、銳角三角函數(shù)定義在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c.∠A的正弦：sinA＝eq\f(∠A的對邊,斜邊)＝________；∠A的余弦：cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝________；∠A的正切：tanA＝eq\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)＝________.它們統(tǒng)稱為∠A的銳角三角函數(shù)．銳角的三角函數(shù)只能在直角三角形中使用，如果沒有直角三角形，常通過作垂線構(gòu)造直角三角形．二、特殊角的三角函數(shù)值三、解直角三角形1．定義：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即3條邊和2個銳角)2．直角三角形的邊角關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c.(1)三邊之間的關(guān)系：____________；(2)銳角之間的關(guān)系：____________；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)，sinB＝eq\f(b,c)，cosB＝eq\f(a,c)，tanB＝eq\f(b,a).3．解直角三角形的幾種類型及解法：(1)已知一條直角邊和一個銳角(如a，∠A)，其解法為：∠B＝90°－∠A，c＝eq\f(a,sinA)，b＝eq\f(a,tanA)(或b＝eq\r(c2－a2))；(2)已知斜邊和一個銳角(如c，∠A)，其解法為：∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA(或b＝eq\r(c2－a2))；(3)已知兩直角邊a，b，其解法為：c＝eq\r(a2＋b2)，由tanA＝eq\f(a,b)，得∠A，∠B＝90°－∠A；(4)已知斜邊和一直角邊(如c，a)，其解法為：b＝eq\r(c2－a2)，由sinA＝eq\f(a,c)，求出∠A，∠B＝90°－∠A.四、解直角三角形的應(yīng)用1．仰角與俯角：在進行觀察時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角．2．坡角與坡度：坡角是坡面與水平面所成的角；坡度是斜坡上兩點________與水平距離之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面________．自主測試1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結(jié)論正確的是()A．sinA＝eq\f(\r(3),2)B．tanA＝eq\f(1,2)C．cosB＝eq\f(\r(3),2)D．tanB＝eq\r(3)2．如圖，A，B，C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(\r(2),4)3．已知α是銳角，且sin(α＋15°)＝eq\f(\r(3),2)，計算eq\r(8)－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1的值．考點一、銳角三角函數(shù)的定義【例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，則sinA的值是()A．eq\f(5,13)B．eq\f(12,13)C．eq\f(5,12)D．eq\f(13,5)解析：∵在Rt△ABC中，AB＝13，BC＝5，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(5,13)，故選A.答案：A方法總結(jié)求銳角三角函數(shù)值時，必須牢記銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是：(1)確定所求的角所在的直角三角形；(2)準確掌握三角函數(shù)的公式．解題的前提是在直角三角形中，如果題目中無直角時，必須想辦法構(gòu)造一個直角三角形．觸類旁通1如圖，在矩形ABCD中，點E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點B落在AD邊上的點F處，若AB＝4，BC＝5，則tan∠AFE的值為()A．eq\f(4,3)B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,5)考點二、特殊角的三角函數(shù)值【例2】如果△ABC中，sinA＝cosB＝eq\f(\r(2),2)，則下列最確切的結(jié)論是()A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是銳角三角形解析：由sinA＝cosB＝eq\f(\r(2),2)可知，∠A＝∠B＝45°，所以∠C＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．答案：C方法總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值在中考當(dāng)中出現(xiàn)的概率很大，同學(xué)們應(yīng)該熟記，但不要死記，可以結(jié)合圖形，根據(jù)定義理解記憶．觸類旁通2計算：|－2|＋2sin30°－(－eq\r(3))2＋(tan45°)－1.考點三、解直角三角形【例3】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D，E分別在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cosA＝eq\f(3,5).求：(1)DE，CD的長；(2)tan∠DBC的值．解：(1)∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.在Rt△AED中，cosA＝eq\f(AE,AD)，即eq\f(6,AD)＝eq\f(3,5).∴AD＝10.根據(jù)勾股定理得DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(102－62)＝8.又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC，∴DC＝DE＝8.(2)∵AC＝AD＋DC＝10＋8＝18，在Rt△ABC中，cosA＝eq\f(AC,AB)，即eq\f(18,AB)＝eq\f(3,5)，∴AB＝30.根據(jù)勾股定理得BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(302－182)＝24.∴在Rt△BCD中，tan∠DBC＝eq\f(DC,BC)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).方法總結(jié)解這類問題主要是綜合運用勾股定理、銳角三角函數(shù)定義、直角三角形的兩個銳角互為余角．解題時應(yīng)盡量使用原始數(shù)據(jù)，能用乘法運算就盡量不用除法運算．觸類旁通3如圖是教學(xué)用的直角三角板，邊AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝eq\f(\r(3),3)，則邊BC的長為()A．30eq\r(3)cmB．20eq\r(3)cmC．10eq\r(3)cmD．5eq\r(3)cm考點四、解直角三角形在實際中的應(yīng)用【例4】某興趣小組用高為1.2米的儀器測量建筑物CD的高度．如圖所示，由距CD一定距離的A處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為β，在A和C之間選一點B，由B處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為α.測得A，B之間的距離為4米，tanα＝1.6，tanβ＝1.2，試求建筑物CD的高度．分析：求建筑物CD的高度關(guān)鍵是求DG的長度，先利用三角函數(shù)用DG表示出GF，GE的長，利用EF＝GE－GF構(gòu)建方程求解．解：設(shè)建筑物CD與EF的延長線交于點G，DG＝x米．在Rt△DGF中，tanα＝eq\f(DG,GF)，即tanα＝eq\f(x,GF).在Rt△DGE中，tanβ＝eq\f(DG,GE)，即tanβ＝eq\f(x,GE).∴GF＝eq\f(x,tanα)，GE＝eq\f(x,tanβ).∴EF＝eq\f(x,tanβ)－eq\f(x,tanα).∴4＝eq\f(x,1.2)－eq\f(x,1.6).解方程，得x＝19.2.∴CD＝DG＋GC＝19.2＋1.2＝20.4(米)．答：建筑物CD高為20.4米．方法總結(jié)利用解直角三角形的知識解決實際問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化和構(gòu)造，即把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形的知識去解決，解題時要認真審題，讀懂題意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含義，然后再作圖解題．1．(2023四川樂山)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，則sinB的值為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2)D．12．(2023浙江舟山)如圖，A，B兩點在河的兩岸，要測量這兩點之間的距離，測量者在與A同側(cè)的河岸邊選定一點C，測出AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，則AB等于()米．A．a(chǎn)sin40°B．a(chǎn)cos40°C．a(chǎn)tan40°D．eq\f(a,tan40°)3．(2023福建福州)如圖，從熱氣球C處測得地面上A，B兩點的俯角分別為30°，45°，如果此時熱氣球C處的高度CD為100米，點A，D，B在同一直線上，則AB兩點的距離是()A．200米B．200eq\r(3)米C．220eq\r(3)米D．100(eq\r(3)＋1)米4．(2023山東濟寧)在△ABC中，若∠A，∠B滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cosA－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinB－\f(\r(2),2)))2＝0，則∠C＝__________.5．(2023湖南株洲)數(shù)學(xué)實踐探究課中，老師布置同學(xué)們測量學(xué)校旗桿的高度．小民所在的學(xué)習(xí)小組在距離旗桿底部10米的地方，用測角儀測得旗桿頂端的仰角為60°，則旗桿的高度是__________米．6．(2023湖南衡陽)如圖，一段河壩的橫斷面為梯形ABCD，試根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求出壩底寬AD.(i＝CE:ED，單位：m)7．(2023山東濰坊)校車安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組設(shè)計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗：先在公路旁邊選取一點C，再在筆直的車道l上確定點D，使CD與l垂直，測得CD的長等于21米，在l上點D的同側(cè)取點A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.(1)求AB的長(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.73，eq\r(2)≈1.41)；(2)已知本路段對校車限速為40千米/時，若測得某輛校車從A到B用時2秒，這輛校車是否超速？說明理由．1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D.若AC＝eq\r(5)，BC＝2，則sin∠ACD的值為()A．eq\f(\r(5),3)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(\r(5),2)D．eq\f(2,3)2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作cotA＝eq\f(b,a).則下列關(guān)系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinAD．tan2A＋cot2A＝13．如圖，某游樂場一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為α，那么滑梯長l為()(第3題圖)A．eq\f(h,sinα)B．eq\f(h,tanα)C．eq\f(h,cosα)D．h·sinα4．如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1:eq\r(3)，堤高BC＝5m，則坡面AB的長度是()A．10mB．10eq\r(3)mC．15mD．5eq\r(3)m(第4題圖)5．在一次夏令營活動中，小明同學(xué)從營地A出發(fā)，要到A地的北偏東60°方向的C地，他先沿正東方向走了200m到達B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達目的地C(如圖)，那么，由此可知，B，C兩地相距__________m.6．如圖所示，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，則∠AED的正切值等于__________．7．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，CD＝5cm，求AB的長．8．綜合實踐課上，小明所在的小組要測量護城河的寬度．如圖所示是護城河的一段，兩岸AB∥CD，河岸AB上有一排大樹，相鄰兩棵大樹之間的距離均為10米．小明先用測角儀在河岸CD的M處測得∠α＝36°，然后沿河岸走50米到達N點，測得∠β＝72°.請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)幫小明他們算出河寬FR(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)．(參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59.cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)參考答案導(dǎo)學(xué)必備知識自主測試1．D2．B3．解：∵sin(α＋15°)＝eq\f(\r(3),2)，∴α＝45°，∴原式＝2eq\r(2)－4×eq\f(\r(2),2)－1＋1＋3＝3.探究考點方法觸類旁通1．C由折疊過程可知，CF＝BC＝5，根據(jù)勾股定理得DF＝3，所以AF＝AD－DF＝2，設(shè)AE＝x，則EF＝BE＝4－x，在Rt△AEF中，(4－x)2＝22＋x2，解得x＝eq\f(3,2)，所以tan∠AFE＝eq\f(AE,AF)＝eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).觸類旁通2．解：原式＝2＋2×eq\f(1,2)－3＋1－1＝1.觸類旁通3．C因為tan∠BAC＝eq\f(BC,AC)，所以BC＝AC×tan∠BAC＝30×eq\f(\r(3),3)＝10eq\r(3)(cm)．品鑒經(jīng)典考題1．C在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(BC,2BC)＝eq\f(1,2).∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，故選C.2．C在Rt△ABC中，AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，∴tan40°＝eq\f(AB,AC)，∴AB＝atan40°.3．D由題意得∠A＝30°，∠B＝45°.AD＝eq\f(CD,tanA)＝100eq\r(3)(米)，BD＝eq\f(CD,tanB)＝100(米)，則AB＝AD＋BD＝100eq\r(3)＋100＝100(eq\r(3)＋1)(米)．故選D.4．75°由題意得：cosA－eq\f(1,2)＝0，sinB－eq\f(\r(2),2)＝0，∴cosA＝eq\f(1,2)，sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝75°.5．10eq\r(3)在直角三角形中，tan60°＝eq\f(旗桿的高度,10)，所以旗桿的高度＝10eq\r(3)(米)．6．解：如圖所示，過點B作BF⊥AD，可得矩形BCEF.∴EF＝BC＝4，BF＝CE＝4.在Rt△ABF中