全國(guó)初中數(shù)學(xué)教師資格證考試重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)梳理匯總

全國(guó)教師資格證考試初中數(shù)學(xué)高頻重點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)梳理匯總【分章節(jié)歸納】

人教版七年級(jí)上

第一章有理數(shù)

1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)

（一）正數(shù)：大于0的數(shù)叫正數(shù)，為了明確表達(dá)意義，正數(shù)前面加上符號(hào)“+”，這里的"+”

通吊省因曲數(shù)：小于0的數(shù)叫負(fù)數(shù)，在正數(shù)的前面加上符號(hào)（重點(diǎn)看教材例子）

（二）0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；-a不一定是負(fù)數(shù)，+a也不一定是正數(shù)。

1.2.1有理數(shù)

（-）有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。

（二）有理數(shù)的分類：

①②

'正整數(shù)'正整數(shù)

正有理數(shù)

正分?jǐn)?shù)整數(shù)零

有理數(shù)［負(fù)整數(shù)

有理數(shù)4零

負(fù)整數(shù)'正分?jǐn)?shù)

負(fù)有理數(shù)分?jǐn)?shù)＜

負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

1.2.2數(shù)軸

（-）數(shù)軸：數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的一條直線。

（二）畫數(shù)軸的步驟：

（1）畫直線；

（2）在直線上取一點(diǎn)作為原點(diǎn)：

（3）確定正方向，并用箭頭表示；

（4）根據(jù)需要選取適當(dāng)單位長(zhǎng)度。

（三）一般的，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，與原點(diǎn)的距離

是a個(gè)單位長(zhǎng)度；表示數(shù)-a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度。

1.2.3相反數(shù)

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（一）相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)。一般地a和-a互為相反數(shù)，0的相反數(shù)還是0。

（-）相反數(shù)的和為0=a+b=00a、b互為相反數(shù)。

1.2.4絕對(duì)值

（一）絕對(duì)值:一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與遠(yuǎn)點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值,記做㈤。

（二）一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.

即

1.如果Q>0,那么|a|=a；

2.如果a=0,那么|a|=0；

3.如果a<0,那么|a|=-a。

4.有理數(shù)大小比較

（1）正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；

（2）兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

（3）異號(hào)兩數(shù)比較大小，要考慮它們的正負(fù)；同號(hào)兩數(shù)比較大小，要考慮它們的絕對(duì)

值。

1.3有理數(shù)的加減法

（-）有理數(shù)的加法法則：

1.同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

2.絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕時(shí)值減去

較小的絕對(duì)值。互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加和為0；

3.一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

（二）有理數(shù)加法的運(yùn)算律

1.加法的交換律：a+b=&+a；

2.加法的結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

（三）有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a-b=a+（-0,

（四）引入相反數(shù)后，加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算：a+b-c=a+b+（-c）o

1.4有理數(shù)的乘除法

（-）有理數(shù)的乘法法則：

1.兩數(shù)相乘，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；

2.任何數(shù)與0相乘都得0o

（二）幾個(gè)不是。的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇

數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)。

（三）幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,那么積等于0。

（四）乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

（五）有理數(shù)乘法的運(yùn)算律：

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1.乘法的交換律：ab=ba.

2.乘法的結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；

3.乘法的分配律:a（6+c）=ab+acQ

（六）有理數(shù)的除法法則

1.除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即a+b=a-彳0）。

2.兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù),

都得0。

（七）有理數(shù)加減乘除混合運(yùn)算法則：先乘除，后加減。

1.5.1乘方

（―）乘方：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做幕，在a”中，a

叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。

（二）有理數(shù)乘方的法則：

1.負(fù)數(shù)的奇次嘉是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)。

2.正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次基都是0o

（三）有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：（重點(diǎn)看教材例子）

1.先乘方，再乘除，最后加減；

2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。

1.5.2科學(xué)計(jì)數(shù)法

科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成ax10”的形式（其中a大于或等于1且小于10,n

是整數(shù)），這種記數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法。

1.5.3近似數(shù)

近似數(shù)的精確位：一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)的精確到哪一位。

第二章整式的加減

2.1整式

（-）單項(xiàng)式

1.單項(xiàng)式：式子中只含數(shù)或字母的積，叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。

2.單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中，

所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

（二）多項(xiàng)式

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1.多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)

叫常數(shù)項(xiàng)。

2.多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

（三）整式

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

2.2整式的加減

（-）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

（-）合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成同一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。

（三）合并同類項(xiàng)法則：合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)系數(shù)的和，ft

字母連同它的指數(shù)不變。

（四）去括號(hào)法則：

1.如果括號(hào)外面的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；

2.如果括號(hào)外面的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反。

（五）整式加減的運(yùn)算法則：一般的，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后

在合并同類項(xiàng)。

第三章一元一次方程

3.1從算式到方程

3.1.1一元一次方程

（-）方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。

（二）一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)是1,等號(hào)兩邊都是整

式，這樣的方程叫做一元一次方程。

（三）解方程和方程的解：解方程就是求出使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值,

這個(gè)值就是方程的解。

3.1.2等式的性質(zhì)

（-）等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果任相等。即如果。=b,那么

?！纁=b±c。

（二）等式的性質(zhì)2等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

即

如果Q=b,那么ac=6c；如果Q=，（cWO）,那么?

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3.2解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)

移項(xiàng)：把等式一遍的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng)。

3.3解一元一次方程（二）——去括號(hào)與去分母

（一）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=O（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且a/））。

（二）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為I

等，通過(guò)這些步驟可以使以x為未知數(shù)的方程逐步向著x=a的形式轉(zhuǎn)化，這個(gè)過(guò)程主要依據(jù)

等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算律等。

3.4實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程

（-）基本過(guò)程

用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程如本章開(kāi)頭所示。

（-）常用公式

1.行程問(wèn)題：距離=速度?時(shí)間，速度=需，時(shí)間=黔；

2.工程問(wèn)題：工作量=工效?工時(shí)，工效=耳含，工時(shí)=1瞥；

3.比率問(wèn)題：部分=全體?比率，比率=罌，全體=蕊；

4.順逆流問(wèn)題：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；

5.商品價(jià)格問(wèn)題：售價(jià)=定價(jià)?折?上，利潤(rùn)=售價(jià)-成本，利潤(rùn)率=售價(jià)二成本X100%;

1U

6.周長(zhǎng)、面積、體積問(wèn)題：

。長(zhǎng)方形=2（。+b）,SK/J形=ab,

,正方形=4。,$正方形=02,

22

Cm=2TVRSM=,s環(huán)形=7r(7?-r),

V長(zhǎng)方形=abc，匕E方形=Q',

林=江R2hM丹錐—^2ho

第四章幾何圖形初步

4.1幾何圖形

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4.1.1立體圖形與平面圖形

（-）立體圖形：幾何體的各部分不都在同一平面內(nèi)的圖形叫做幾何圖形。

（二）平面圖形：有些幾何圖形的各部分都在同一平面內(nèi)叫做平面圖形。

（三）展開(kāi)圖：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開(kāi)，可以

展開(kāi)成平面圖形。這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開(kāi)圖。

4.1.2點(diǎn)、線、面、體

（一）體：幾何體也簡(jiǎn)稱為體。

（二）面：包圍體的是面。

（三）線：面和面相交的地方形成線。

（四）點(diǎn)：線和線相交的地方形成點(diǎn).

4.2直線、射線、線段

（一）事實(shí)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)確定一條直線。

（二）相交：當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱這兩條直線相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫做

交點(diǎn)。

（三）中點(diǎn)：點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB,點(diǎn)M叫做線段AB的

中點(diǎn)。

（四）基本事實(shí)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間，線段最短。

（五）距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。

4.3角

4.3.1角

（-）角的單位：度（°）、分（，）、秒（"）。

（二）單位換算：1。=6011=60"。

4.3.2角的比較與運(yùn)算

角的平分線：一般的，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)

角的平分線。

4.3.4余角和補(bǔ)角

（-）余角：如果兩個(gè)角的和等于90。（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，其中每一個(gè)

角是另一個(gè)角的余角。

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（二）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，其中一個(gè)

角是另一個(gè)角的補(bǔ)角。

（三）性質(zhì)：同角（等角）的補(bǔ)角相等。同角（等角）的余角相等。

第五章相交線與平行線

5.1相交線

（一）相交線

1.鄰補(bǔ)角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰

補(bǔ)角。也可以表述為兩個(gè)角有一條公共邊，另一條邊互為反向延長(zhǎng)線。

2.對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)叫的兩邊的反向延長(zhǎng)線，像這樣的兩個(gè)角互為對(duì)

頂角。

3.性質(zhì)：對(duì)頂角相等。

（-）垂線

1.垂直：直線a與6的夾角為90。時(shí)，我們說(shuō)Q與6互相垂直，記作

2.垂線：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，這兩條直線互相垂直，其

中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

3.兒何語(yǔ)言：???AB_LC￡）,，NAOC=90°

或者ZAOC=90°AB1CD

4.垂線的畫法：一靠、二過(guò)、三畫

一靠：把三角板的一條直角邊靠在已知直線上:

二過(guò)：讓三角板的另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知的點(diǎn);

三畫：沿著直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)畫直線。

5.性質(zhì)：

（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（點(diǎn)在線外和點(diǎn)在線

上兩種情況）

（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最

短。

6.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離。

7.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（兩條直線被第三條直線所截，

三線八角）

（1）同位角：N1與/5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對(duì)角

叫做同位角。（F型）

（2）內(nèi)錯(cuò)角：Z2與/6像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.（ZQ

型）7

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（3）同旁內(nèi)角：N2與N5像這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角。（U型）

5.2平行線及其判定

（一）平行線

1.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。a與b互相平行，記作

2.平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

3.推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。即如果b//a,

c/Ia,那么b//a0

（二）平行線的判定

1.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡(jiǎn)單說(shuō)成：同

位角相等，兩直線平行；

2.兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)

錯(cuò)角相等，兩直線平行；

3.兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。簡(jiǎn)單說(shuō)成:

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

5.3平行線的性質(zhì)

（-）平行線的性質(zhì)

1.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等。

2.兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

3.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互

補(bǔ)。

（-）命題、定理、證明

1.命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題。命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，命題?？梢詫?/p>

成如果…那么…的形式。即如果+題設(shè)，那么+結(jié)論。

2.真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題。性質(zhì)和定理都

是真命題。

3.假命題：題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題。

4.定理：經(jīng)過(guò)推理證實(shí)得到的命題叫做定理。

5.證明：一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理才能做出正確判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫做證明。

5.4平移

（一）平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做

平移平移變換，簡(jiǎn)稱平移。

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（二）對(duì)應(yīng)點(diǎn):平移后得到的新圖形中每一點(diǎn),都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，

這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

（三）平移特點(diǎn)：

1.平移不改變圖形的形狀和大??；

2.對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等。

人教版七年級(jí)下

第六章實(shí)數(shù)

6.1平方根

（一）算術(shù)平方根：如果一個(gè)正數(shù)X的平方等于a,B|Jx2=a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a

的算術(shù)平方根。a的算術(shù)平方根記為上，a叫做被開(kāi)方數(shù)，aNO.

（二）規(guī)定：。的算術(shù)平方根是0。

（三）平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根。如

果/=應(yīng)那么x叫做a的平方根。

注意：-3和-3是9的平方根：9的平方根是±3。

（四）開(kāi)平方：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方。

（五）被開(kāi)方數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根也越大。

（六）正數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)：0的平方根是0,負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

（七）算數(shù)平方根是他本身的數(shù)是0,1。平方根是他本身的數(shù)是0。

6.2立方根

（一）立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根，這就

是說(shuō)，如果=°,那么x叫做a的立方根。

（-）開(kāi)立方：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方。

（三）表示方法：一個(gè)數(shù)a的立方根，用符號(hào)“正”表示，讀作“三次根號(hào)”，其中

a是被開(kāi)方數(shù)。

（四）立方根是他本身的數(shù)是-1,0,1。

6.3實(shí)數(shù)

（-）無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù)。

無(wú)理數(shù)分為三類：（1）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如V3,V7

（2）含有兀的數(shù)

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(3)具有一定規(guī)律的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，0.1001001...

(-)實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。

(三)分類：

'[■正有理數(shù)]

有理數(shù)｛01有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)(正實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)(〔負(fù)有理數(shù)J或?qū)崝?shù)(0

無(wú)理數(shù)｛曙黑｝無(wú)限不循環(huán)小數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)

(四)性質(zhì)：

1.數(shù)a的相反數(shù)是-a。

2.一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0o

即設(shè)a表示一個(gè)實(shí)數(shù)，則有：

a(a>0)

|a|=?0(a=0)

?-a(a<0)

第七章平面直角坐標(biāo)系

7.1平面直角坐標(biāo)系

(-)有序數(shù)對(duì)

有序數(shù)對(duì)：有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì)叫做有序數(shù)對(duì)，記做(a,b)。

(-)平面直角坐標(biāo)系

1.平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。

2.橫軸、縱軸、原點(diǎn)：水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸；兩坐

標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

3.坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)P,過(guò)P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別在x軸，y軸

上，對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b分別叫點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

4.象限：兩條坐標(biāo)軸把平面分成四個(gè)部分，右上部分叫第一象限，按逆時(shí)針?lè)较蛞淮谓?/p>

第二象限、第三象限、第四象限。坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不在任何一個(gè)象限內(nèi)。

5.已知點(diǎn)到x軸的距離為縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，到y(tǒng)軸的距離為橫坐標(biāo)的絕對(duì)值。

6.AB與x軸平行，那么A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，AB與y軸平行，那么A,B兩點(diǎn)的橫

坐標(biāo)相同。

7.2坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用

(-)用坐標(biāo)表示地理位置

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利用平面直角坐標(biāo)系繪制區(qū)域內(nèi)一些地點(diǎn)分布情況平面圖的過(guò)程如下：

1.建立坐標(biāo)系，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)，確定x軸、y軸的正方向；

2.根據(jù)具體問(wèn)題確定單位長(zhǎng)度；

3.在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這些點(diǎn)，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個(gè)地點(diǎn)的名稱。

（二）用坐標(biāo)表示平移

一般地，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加（或減去）一個(gè)正

數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱

坐標(biāo)都加（或減去）一個(gè)正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個(gè)單位

長(zhǎng)度。

第八章二元一次方程組

8.1二元一次方程組

（一）二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做

二元一次。二元一次方程的一般形式是ax+by=c（a=#0,6=#0）o

（二）二元一次方程組:把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。

（三）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二

元一次方程組的解。一般地，二元一次方程的解有無(wú)數(shù)個(gè)。

（四）二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解叫做二元一

次方程組的解。

8.2消元——解二元一次方程組

（-）消元：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。

（二）代入消元：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方

程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。

（三）加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊

分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。

消元

二元一次方程組一一元一次方程

8.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組

解應(yīng)用題過(guò)程：審、設(shè)、歹U、解、驗(yàn)、答

8.4三元一次方程組的解法

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（一）三元一次方程組：方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是

1,并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程叫做三元一次方程組。

（-）解方程組思路：三元一次方程組二二元一次方程組』一元一次方程。

第九章不等式與不等式組

9.1不等式

（一）不等式及其解集

1.不等式：用符號(hào)“<”">”“于”2”表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

3.不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。求不等

式的解集的過(guò)程叫做解不等式。

（~）不等式的性質(zhì)

1.不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。即如果a>b,

那么Q士C>6±C；

2.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。即如果Q>b,C>0,

那么ac>6c（或葭>§；

3.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。即如果cVO,

那么QC<6。（或?<。

9.2一元一次不等式

一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高

次數(shù)是1,像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。

9.3一元一次不等式組

（-）一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起,

就組成了一個(gè)一元一次不等式組。

（二）解集：一般地，幾個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做由他們所組成的不等式組

（三）解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，在求出這些解集的公

共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集。

（四）解不等式組口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，小小大大無(wú)解可找。

第十章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述

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10.1統(tǒng)計(jì)調(diào)查

（-）全面調(diào)查：考察全體對(duì)象的調(diào)查方式叫做全面調(diào)查。

（二）抽樣調(diào)查：調(diào)查部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)部分來(lái)估計(jì)總體的調(diào)查方式稱為抽樣調(diào)查。

（三）個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體。

（四）樣本：被抽取的所有個(gè)體組成一個(gè)樣本。

（五）樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量。

（六）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：總體中的每一個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會(huì)被抽到，像這樣的抽樣方法

是一種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。

（七）歸納:全面調(diào)查和抽樣調(diào)查是收集數(shù)據(jù)的兩種方法。全面調(diào)查收集到的數(shù)據(jù)全面、

準(zhǔn)確，但一般花費(fèi)多、耗時(shí)長(zhǎng)，而且某些調(diào)查不宜用全面調(diào)查，抽樣調(diào)查具有花費(fèi)少、省時(shí)

的特點(diǎn)，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系到對(duì)總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度。

10.2直方圖

（一）基本概念

1.頻數(shù)：一般地，我們稱落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為該組的頻數(shù)。

2.頻率：頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比為頻率。

3.組數(shù)和組距：在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)，把數(shù)據(jù)按照一定的范圍分成若干各組，分成組的個(gè)數(shù)稱

為組數(shù)，每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離（組內(nèi)數(shù)據(jù)的取值范圍）稱為組距。

（-）直方圖與條形圖

相同之處：條形圖與直方圖一般都是在坐標(biāo)系中用矩形的高來(lái)表示頻數(shù)的圖形。

不同之處：中學(xué)常見(jiàn)的等距直方圖組距是相等的，而條形圖不一定。

直方圖各矩形間無(wú)空隙，而條形圖則有空隙。

直方圖可以顯示各組頻數(shù)分布的情況，而條形圖不能明確反映這點(diǎn)。

扇形統(tǒng)計(jì)圖：圓心角的度數(shù)=百分比x360°

人教版八年級(jí)上

第十一章三角形

11.1三角形

二、知識(shí)梳理

（一）三角形的邊

1.三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

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2.分類:

三邊都不相等的三角形

三角形J底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形1等邊三角形

3.三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

即兩邊之差〈第三邊〈兩邊之和。

4.判斷三條線段能否組成三角形，將兩條較短的線段之和與最長(zhǎng)的線段進(jìn)行比較。

（二）三角形的高、中線與角平分線

1.高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角

形的高。

直角三角形的三條高，一條高在三角形內(nèi)部，其余兩條與兩條直角邊重合，且三條高的

交點(diǎn)為直角的頂點(diǎn)。

銳角三角形的三條高內(nèi)在三角形的內(nèi)部，且有一個(gè)交點(diǎn)。

鈍角三角形的三條高，一條高在三角形內(nèi)部，其余兩條在三角形外部，它們沒(méi)有交點(diǎn),

但所在的直線有一個(gè)交點(diǎn)。

銳角三角形直角三角形鈍角三角形

高在三角形內(nèi)部的數(shù)量311

高是否相交相交相交不想交

高所在的直線是否相交相交相交相交

三條高所在直線的交點(diǎn)三角形內(nèi)部直角頂點(diǎn)三角形外部

的位置

2.中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

3.角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之

間的線段叫做三角形的角平分線。

4.三角形的重心：三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，三角形中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心。

5.三角形的一邊的中線可以把這個(gè)三角形分成面積形等的兩部分。

（三）三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。

11.2與三角形有關(guān)的角

（-）三角形的內(nèi)角

1.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180。。

2.直角三角形的兩個(gè)銳角互余，反過(guò)來(lái)，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。

3.直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成RtAABC?

4.做題中常用的性質(zhì)：等角的余角相等。

（二）三角形的外角

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1.三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。

2.推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

11.3多邊形及其內(nèi)角和

（-）多邊形

1.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。

2.n邊形：如果一個(gè)多邊形由n條線段組成，那么這個(gè)多邊形叫做n邊形。一個(gè)n邊形

的內(nèi)角個(gè)數(shù)、邊數(shù)以及頂點(diǎn)個(gè)數(shù)都相等，都是n。

3.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。

4.多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。

5.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。

6.正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

7.凸多邊形：畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一

側(cè)，那么這個(gè)多邊形叫做凸多邊形。

（-）多邊形的內(nèi)角和

1.多邊形內(nèi)角和公式:n邊形的內(nèi)角和等于（〃-2>180。0

2.多邊形的外角和等于360%

3.多邊形對(duì)角線的條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以做（n-3）條對(duì)角線，多邊形的

對(duì)角線有巫二9條。

2

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

（-）全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形，叫做全等形。

（-）全等形的性質(zhì)：形狀和大小完全相同。

（三）全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。把兩個(gè)全等的三角形

重合到一起，對(duì)應(yīng)元素有：重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊。重合的角叫做

對(duì)應(yīng)角。

（四）全等的表示方法：△ABC和4DEF全等，記作AABC絲ZXDEF.注意：在記兩個(gè)

三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。

（五）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。對(duì)應(yīng)

的角平分線，中線，高線分別相等。對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)，面積也相等。

12.2三角形全等的判定

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（-）三角形全等的判定公理及推論有：（重點(diǎn)看判定定理推導(dǎo)證明過(guò)程***）

1.“邊邊邊”簡(jiǎn)稱“SSS”：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；

2.“邊角邊”簡(jiǎn)稱“SAS”：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等；

3.“角邊角”簡(jiǎn)稱“ASA”：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；

4.“角角邊”簡(jiǎn)稱“AAS”：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；

5.斜邊和直角邊相等的兩直角三角形（HL）：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角

三角形全等。

（-）尋找邊相等的方法：

1.圖形中的隱含條件，如公共邊；

2.利用線段中點(diǎn)找相等的邊；

3.多條線段共線時(shí)，利用線段的和或差證明邊相等。

（三）在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，要注意隱含的條件：公共邊、公共角、對(duì)頂角等。

12.3角平分線的性質(zhì)

（一）角的平分線性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

（-）角的平分線推論：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

（三）三角形角平分線的性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，并且到三

邊的距離相等。

（四）要證明一個(gè)幾何命題的一般步驟：

1.明確題中的已知和求證；

2.根據(jù)提議，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；

3.經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過(guò)程。

（五）證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：：①確定已知

條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等

所隱含的邊角關(guān)系）；②回顧三角形判定，搞清我們還需要什么；③正確地書寫證明格式。

第十三章軸對(duì)稱

13.1軸對(duì)稱

（―）軸對(duì)稱

1.軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么

這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形；這條直線叫做對(duì)稱軸。

2.軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線直線折疊，如果它能夠與另個(gè)一個(gè)圖形重合，那

么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做

對(duì)稱點(diǎn)。注意：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等。

2.垂直平分線：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。

3.圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)：

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（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直

平分線；

（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

（-）線段的垂直平分線的性質(zhì)

1.線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

2.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

13.2畫軸對(duì)稱圖形

（-）歸納：

1.由一個(gè)平面圖形可以得到與它關(guān)于一條直線,對(duì)稱的圖形，這個(gè)圖形與原圖形的形狀、

大小完全相同；新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)；連接任意一

對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分。

2.幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成。對(duì)于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線

段端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形。

（―）點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,-y）；點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的

坐標(biāo)為（-x,y）。

（三）作關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的圖形：找出已知圖形中的一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)（如多邊形頂點(diǎn)

的坐標(biāo)）；求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)所求的坐標(biāo)，描出對(duì)應(yīng)點(diǎn)；順次連接這些點(diǎn)。

13.3等腰三角形

（一）等腰三角形

1.等腰三角形的性質(zhì)：

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）；

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，簡(jiǎn)稱為“三

線合一

性質(zhì)3：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是底邊中線所在的直線（軸對(duì)稱圖形）。

2.等腰三角形的判定：

判定1：定義法，有兩邊相等的三角形是等腰三角形。利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；

利用垂直平分線的性質(zhì)。

判定2：等角對(duì)等邊，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)三角形所對(duì)的邊也相

等。

（-）等邊三角形

1.等邊三角形角的特點(diǎn)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，并且每一個(gè)角都等于60。。

2.等邊三角形的判定：

（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

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（2）有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

3.性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一

半.

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題

問(wèn)題作法圖形原理

在直線1上求一點(diǎn)P,連接AB,與A兩點(diǎn)之間線段最

使1交點(diǎn)即為P.短.PA+PB最小值為

A

*AB

---------/B

?B

PA+PB值最小.

作B關(guān)于1的角的垂直平分線

A

?B對(duì)稱點(diǎn)B'連?5性質(zhì)；兩點(diǎn)之間線段

--------------------1

AB',與1交點(diǎn)即最短.PA+PB最小值

P?

為P1為AB'

將軍飲馬：在直線1B

上求一點(diǎn)P，使PA+PB

值最小.

第十四章整式的乘法與因式分解

14.1整式的乘法

（-）同底數(shù)塞的乘法

同底數(shù)塞的乘法法則：am-a"=a'"+n（m,n都是正整數(shù)），即同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變,

指數(shù)相加。

（二）幕的乘方

累的乘方法則：=（丸〃都是正整數(shù)），即辱的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

一般地，即負(fù)數(shù)的偶次嘉是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次基是負(fù)數(shù)。

[-（1r?（當(dāng)71為奇數(shù)時(shí)）

（三）積的乘方

積的乘方法則：（曲）"=°”"（〃為正整數(shù)），即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別

乘方，再把所得的基相乘。

（四）整式的乘法

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1.單項(xiàng)式乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)罌分別相乘，對(duì)于只在

一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再

把所得的積相加。

3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)

多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

4.同底數(shù)幕的除法法則：同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即+=

都是正整數(shù)，且

規(guī)定：任何不等于0的數(shù)的0次基都等于1.即0。=1（。/（））

在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：①法則使用的前提條件是“同底數(shù)基相除”而且0不能做除

數(shù)，所以法則中a#）。②任何不等于0的數(shù)的-p次基（p是正整數(shù)）,等于這個(gè)數(shù)的p的次募的倒

數(shù)，即葭40,p是正整數(shù)），而01,0-3都是無(wú)意義的;當(dāng)a>0時(shí)，a-p的值一定是正的;

當(dāng)a<0時(shí),a-p的值可能是正也可能是負(fù)的。④運(yùn)算要注意運(yùn)算順序。

5.單項(xiàng)式除法單項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相除，作為商的因式，對(duì)于

只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

6.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把

所得的商相加。

14.2乘法公式

（-）平方差公式（重點(diǎn)看幾何推導(dǎo)證明）

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等與這兩個(gè)數(shù)的平方差，這個(gè)公式叫做（乘法的）平

方差公式,BP（a+1）（a-6）=a2—b2?

（二）完全平方公式（重點(diǎn)看幾何推導(dǎo)證明）

1.兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。

下面這兩個(gè)公式叫做（乘法的）完全平方公式。

（a+6）2=a2+lab+b2

（a—ft）2=a2—2ab+b2

2.添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)

號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

14.3因式分解

分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式.這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因

式，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

因式分解與整式乘法的關(guān)系：因式分解與整式乘法是方向相反的變形。

（一）提公因式法

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1.公因式：在多項(xiàng)式中各項(xiàng)都有一個(gè)共同的因式，把這個(gè)因式叫做多項(xiàng)式的公因式。

2.找多項(xiàng)式的公因式時(shí)要先找系數(shù)的最大公約數(shù)，再找出相同字母的最低次幕，它們的

積就是多項(xiàng)式的公因式。

3.提公因式法：將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫

做提公因式法。

（二）公式法

1.平方差公式：a,2-"=（a+b）（a-b）。即兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩

個(gè)數(shù)的差的積。

2.完全平方公式：a2±2ab+/=（a±&）2。.兩個(gè)數(shù)的平方和，加上（或減去）它們的

積的2倍等于.兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。

3.（補(bǔ)充）分解因式的一般方法：提公共因式法、運(yùn)用公式法、十字相乘法。

4.（補(bǔ)充）分解因式的步驟：（1）先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有，則先提取公因式；（2）

再看能否使用公式法；（3）用分組分解法，即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到

分解的目的；（4）因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解；（5）因式分

解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止。

第十五章分式

15.1分式

（-）從分?jǐn)?shù)到分式

1.分式：一般地，如果A,B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子得叫做分式。

其中A叫做分子，B叫做分母。

2.分式有意義的條件：分母不等于0。

（二）分式的基本性質(zhì)

1.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值

不變。用式子表示為：

B-BCB一B+

2.約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，叫做分式的約分。

3.最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式。

4.通分：把幾個(gè)異分母的公式分別化成與原來(lái)的分是相等的同分母的分式，叫做分式的

通分。

5.最簡(jiǎn)公分母：為通分，要先確定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次

察的積作為公分母，他叫做最簡(jiǎn)公分母。

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15.2分式的運(yùn)算

（一）分式的乘除

1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

,表不為：飛丁"

2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

3.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分別乘方。用字母表示為：（〃為

正整數(shù)）。

4.分式的乘除混合運(yùn)算，先統(tǒng)一成乘法運(yùn)算，能約分的要隨時(shí)約分，以減少運(yùn)算量。

5.分式的乘方運(yùn)算要把分式加上括號(hào)，同時(shí)不要忽略分子、分母系數(shù)的乘方，同時(shí)