二階常系數(shù)線性(Xing)微分方程歐拉方程演示文稿第一頁，共五十四頁。優(yōu)選二階常系數(shù)線性微分方(Fang)程歐拉方(Fang)程第二頁，共五十四頁。6.6.1二階常(Chang)系數(shù)齊次線性微分方程形(Xing)如的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程，即特征方程第三頁，共五十四頁。二階常(Chang)系數(shù)齊線性微分方程的特征方(Fang)程為是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故方程(1)的通解為第四頁，共五十四頁。二階常系數(shù)齊線性微分方(Fang)程的特(Te)征方程為由求根公式第五頁，共五十四頁。由劉(Liu)維爾公式求另一個(gè)解：于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)(Shi)，方程(1)的通解為第六頁，共五十四頁。二階常系(Xi)數(shù)齊線性微分方程的特征方程(Cheng)為3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根：是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的解，其通解為利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位i。第七頁，共五十四頁。歐拉公式：由線(Xian)性方程解的性質(zhì)：均(Jun)為方程(1)的解，且它們是線性無關(guān)的：第八頁，共五十四頁。故當(dāng)特征方程有一對(duì)(Dui)共軛復(fù)根時(shí)，原(Yuan)方程的通解可表示為第九頁，共五十四頁。二階常系數(shù)齊線(Xian)性微分方程特征(Zheng)方程特征根通解形式第十頁，共五十四頁。例解(Jie)第十一頁，共五十四頁。例解(Jie)第十二頁，共五十四頁。例解(Jie)故所求(Qiu)特解為第十三頁，共五十四頁。例解(Jie)此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力f

的作用。求反映此彈突然放手，開始拉長(zhǎng)，簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為

k）。取(Qu)

x軸如如圖所示。由力學(xué)的虎克定理，有（恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反）由牛頓第二定律，得（略）第十四頁，共五十四頁。它能正確描述我們的問題嗎？記拉長(zhǎng)后，突然放手的時(shí)刻為我們(Men)要找的規(guī)律是下列初值問題的解：第十五頁，共五十四頁。從而，所求運(yùn)動(dòng)規(guī)(Gui)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)第十六頁，共五十四頁。n階常系(Xi)數(shù)齊線性微分方程形(Xing)如的方程，稱為n階常系數(shù)齊線性微分方程，第十七頁，共五十四頁。n階常系數(shù)齊線性微分(Fen)方程的特征方程為特(Te)征根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)第十八頁，共五十四頁。例解(Jie)例(Li)6.50求下列方程的通解：解第十九頁，共五十四頁。故原(Yuan)方程的通解為故原方程的通解(Jie)為第二十頁，共五十四頁。6.6.2二階常系數(shù)非(Fei)齊線性微分方程形(Xing)如的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程，它對(duì)應(yīng)的齊方程為我們只討論函數(shù)f(x)

的幾種簡(jiǎn)單情形下，(2)的特解。第二十一頁，共五十四頁。方程(2)對(duì)應(yīng)的齊方程(1)的特征方程及特征根(Gen)為單(Dan)根二重根一對(duì)共軛復(fù)根你認(rèn)為方程應(yīng)該有什么樣子的特解？第二十二頁，共五十四頁。假設(shè)(She)方程有(You)下列形式的特解：則代入方程(2)，得即方程(3)的系數(shù)與方程(2)的特征根有關(guān)。第二十三頁，共五十四頁。由方程(3)及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知(Zhi)，應(yīng)有方程(2)有(You)下列形式的特解:第二十四頁，共五十四頁。由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特(Te)點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下(Xia)列形式的特解:第二十五頁，共五十四頁。由(You)多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(Cheng)

(2)有下列形式的特解:第二十六頁，共五十四頁。定理1當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性(Xing)方程它有下列形式(Shi)的特解：其中：

第二十七頁，共五十四頁。例解(Jie)對(duì)應(yīng)的齊方程的特(Te)征方程為特征根為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為將它代入原方程，得第二十八頁，共五十四頁。比較兩邊同類(Lei)項(xiàng)的系數(shù)，得故原方程有一(Yi)特解為綜上所述，原方程的通解為第二十九頁，共五十四頁。例解(Jie)對(duì)應(yīng)的齊方程(Cheng)的特征方程(Cheng)為特征根為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為將它代入原方程，得第三十頁，共五十四頁。上式(Shi)即故原方程有一特(Te)解為綜上所述，原方程的通解為第三十一頁，共五十四頁。例解(Jie)對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為綜上(Shang)所述，原方程的通解為第三十二頁，共五十四頁。例(Li)6.54解(Jie)第三十三頁，共五十四頁。代入原(Yuan)方程得第三十四頁，共五十四頁。所(Suo)以故原方程的(De)通解為例6.55解根據(jù)定理6.7（P315），原方程的特解由第三十五頁，共五十四頁。代入原方程(Cheng)得故原方程的特解(Jie)為第三十六頁，共五十四頁。故原方程的通解(Jie)為例(Li)6.56解第三十七頁，共五十四頁。代入(Ru)原方程得于(Yu)是故原方程的通解為第三十八頁，共五十四頁。故(Gu)原方程滿足初始條件的特解為第三十九頁，共五十四頁。歐拉公式：定理6.8的一個(gè)特解。第四十頁，共五十四頁。第四十一頁，共五十四頁。例解(Jie)代入(Ru)上述方程，得從而，原方程有一特解為第四十二頁，共五十四頁。例解(Jie)代入上述方(Fang)程，得比較系數(shù)，得第四十三頁，共五十四頁。從而，原方程有一特(Te)解為故(Gu)第四十四頁，共五十四頁。例解(Jie)由上面兩個(gè)例題立即(Ji)可得第四十五頁，共五十四頁。例解(Jie)對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解(Jie)為將它代入此方程中，得從而，原方程有一特解為第四十六頁，共五十四頁。故原方程的通解(Jie)為第四十七頁，共五十四頁。例(Li)6.59解(Jie)原方程可化為兩端對(duì)x求導(dǎo)得整理得兩端再對(duì)x求導(dǎo)得第四十八頁，共五十四頁。此為常系數(shù)線性微分方程，其(Qi)對(duì)應(yīng)的齊次方程為特征方(Fang)程為故齊次方程通解為故，自由項(xiàng)為1時(shí)原方程的特解可設(shè)為第四十九頁，共五十四頁。代(Dai)入原方程得第五十頁，共五十四頁。由(You)此得注意到由(You)方程（5-69）、（5-70）有所以有解之得第五十一頁，共五十四頁。5.5.3歐(Ou)拉方程（略）形(Xing)如的方程，稱為n

階歐拉方程