學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE10學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．1.2共面向量定理[學(xué)習(xí)目標］1。了解共面向量等概念。2.理解空間向量共面的充要條件．知識點一共面向量能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量．知識點二共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使得p＝xa＋yb,即向量p可以由兩個不共線的向量a，b線性表示．知識點三空間四點共面的條件若空間任意無三點共線的四點，對于空間任一點O,存在實數(shù)x、y、z使得eq\o(OA，\s\up6（→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→））＋yeq\o(OC，\s\up6(→))＋zeq\o(OD，\s\up6(→)）,且x、y、z滿足x＋y＋z＝1,則A、B、C、D共面．思考1．空間兩向量共線，一定共面嗎？反之還成立嗎？答案一定共面,反之不成立．2．空間共面向量定理與平面向量基本定理有何關(guān)系？答案空間共面向量定理中，當(dāng)向量a，b是平面向量時,即為平面向量基本定理．題型一應(yīng)用共面向量定理證明點共面例1已知A、B、C三點不共線,平面ABC外的一點M滿足eq\o(OM，\s\up6（→))＝eq\f(1,3）eq\o（OA,\s\up6(→））＋eq\f(1，3）eq\o（OB，\s\up6（→）)＋eq\f(1,3)eq\o（OC,\s\up6(→）)。（1)判斷eq\o(MA，\s\up6（→))、eq\o(MB，\s\up6(→）)、eq\o（MC,\s\up6（→)）三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi)．解（1)∵eq\o(OA,\s\up6（→）)＋eq\o(OB，\s\up6(→））＋eq\o(OC，\s\up6(→))＝3eq\o（OM,\s\up6(→）），∴eq\o(OA,\s\up6（→))－eq\o(OM，\s\up6（→））＝(eq\o(OM，\s\up6(→））－eq\o(OB，\s\up6（→)))＋（eq\o(OM，\s\up6（→))－eq\o（OC，\s\up6(→）））．∴eq\o(MA,\s\up6（→）)＝eq\o(BM,\s\up6(→）)＋eq\o（CM，\s\up6（→）)＝－eq\o(MB,\s\up6(→））－eq\o(MC,\s\up6(→））。又eq\o(MB,\s\up6(→))與eq\o（MC，\s\up6(→))不共線．∴向量eq\o(MA,\s\up6(→））、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o（MC,\s\up6(→）)共面．(2）∵向量eq\o(MA，\s\up6(→）)、eq\o(MB，\s\up6(→）)、eq\o(MC,\s\up6(→））共面且具有公共起點M,∴M、A、B、C共面．即點M在平面ABC內(nèi)．反思與感悟利用共面向量定理證明四點共面時，通常構(gòu)造有公共起點的三個向量,用其中的兩個向量線性表示另一個向量，得到向量共面，即四點共面．跟蹤訓(xùn)練1已知兩個非零向量e1、e2不共線，如果eq\o(AB，\s\up6（→))＝e1＋e2，eq\o（AC，\s\up6(→））＝2e1＋8e2，eq\o（AD，\s\up6（→）)＝3e1－3e2，求證:A、B、C、D共面．證明∵eq\o(AD,\s\up6（→））＋eq\o（AC,\s\up6（→))＝5e1＋5e2＝5eq\o（AB，\s\up6(→)），∴eq\o(AB，\s\up6（→）)＝eq\f(1,5)(eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o(AC，\s\up6（→))）＝eq\f(1，5)eq\o(AD,\s\up6(→)）＋eq\f(1,5）eq\o（AC,\s\up6（→）），又eq\o（AD，\s\up6（→））與eq\o(AC,\s\up6（→))不共線．∴eq\o（AB,\s\up6(→））、eq\o(AD，\s\up6(→）)、eq\o(AC,\s\up6(→））共面，又它們有一個公共起點A.∴A、B、C、D四點共面．題型二應(yīng)用共面向量定理證明線面平行例2如圖，在底面為正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中,D為AC的中點,求證：AB1∥平面C1BD.證明記eq\o(AB,\s\up6(→））＝a，eq\o（AC,\s\up6（→）)＝b，eq\o（AA1,\s\up6（→))＝c,則eq\o（AB1,\s\up6（→))＝a＋c，eq\o（DB，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6(→)）－eq\o(AD，\s\up6（→））＝a－eq\f（1，2)b，eq\o(DC1,\s\up6(→））＝eq\o（DC，\s\up6（→)）＋eq\o(CC1,\s\up6（→）)＝eq\f（1，2）b＋c,所以eq\o（DB，\s\up6(→））＋eq\o(DC1，\s\up6（→））＝a＋c＝eq\o（AB1，\s\up6(→))，又eq\o（DB，\s\up6(→)）與eq\o（DC,\s\up6（→）)1不共線，所以eq\o(AB1，\s\up6（→)）,eq\o（DB,\s\up6(→))，eq\o（DC1，\s\up6（→)）共面．又由于AB1不在平面C1BD內(nèi)，所以AB1∥平面C1BD.反思與感悟在空間證明線面平行的又一方法是應(yīng)用共面向量定理進行轉(zhuǎn)化．要熟悉其證明過程和證明步驟．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，設(shè)eq\o（AB，\s\up6(→）)＝a,eq\o（AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6（→)）＝c，在面對角線AC1上和棱BC上分別取點M、N，使eq\o(AM，\s\up6（→））＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o（BN,\s\up6(→））＝keq\o(BC，\s\up6（→))（0≤k≤1)．求證：MN∥平面ABB1A1。證明eq\o(AM,\s\up6（→))＝k·eq\o(AC1,\s\up6（→))＝k(eq\o（AA1,\s\up6（→））＋eq\o（AC，\s\up6(→)）)＝kb＋kc,又∵eq\o(AN,\s\up6(→)）＝eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（BN,\s\up6(→)）＝a＋keq\o(BC，\s\up6（→)）＝a＋k(b－a）＝（1－k）a＋kb，∴eq\o(MN，\s\up6（→))＝eq\o(AN,\s\up6（→）)－eq\o(AM,\s\up6（→)）＝（1－k)a＋kb－kb－kc＝（1－k）a－kc。又a與c不共線．∴eq\o(MN，\s\up6(→))與向量a，c是共面向量．又MN不在平面ABB1A1∴MN∥平面ABB1A1題型三向量共線、共面的綜合應(yīng)用例3如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形,點P是ABCD所在平面外的一點，連結(jié)PA，PB,PC，PD.設(shè)點E，F(xiàn),G，H分別為△PAB,△PBC，△PCD，△PDA的重心．試用向量方法證明E，F(xiàn),G，H四點共面．解分別連結(jié)PE,PF，PG,PH并延長，交對邊于點M，N，Q，R,連結(jié)MN,NQ，QR，RM.∵E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，∴M，N,Q，R是所在邊的中點，且eq\o（PE，\s\up6(→））＝eq\f(2，3）eq\o（PM，\s\up6(→))，eq\o(PF,\s\up6（→)）＝eq\f（2，3）eq\o（PN，\s\up6（→)），eq\o(PG,\s\up6（→)）＝eq\f(2，3)eq\o（PQ，\s\up6(→)）,eq\o(PH,\s\up6（→))＝eq\f(2,3）eq\o（PR，\s\up6（→））。由題意知四邊形MNQR是平行四邊形，∴eq\o（MQ,\s\up6（→））＝eq\o（MN,\s\up6(→）)＋eq\o(MR，\s\up6(→）)＝(eq\o(PN，\s\up6(→)）－eq\o（PM,\s\up6（→)））＋(eq\o(PR，\s\up6(→））－eq\o（PM，\s\up6（→)))＝eq\f(3,2)(eq\o(PF,\s\up6(→)）－eq\o(PE,\s\up6（→)))＋eq\f（3,2）(eq\o（PH,\s\up6（→）)－eq\o(PE，\s\up6(→))）＝eq\f(3，2）(eq\o（EF，\s\up6(→)）＋eq\o（EH，\s\up6（→)))．又eq\o(MQ，\s\up6(→）)＝eq\o(PQ，\s\up6（→）)－eq\o(PM,\s\up6(→)）＝eq\f（3,2)eq\o（PG，\s\up6(→））－eq\f(3，2）eq\o（PE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2）eq\o（EG,\s\up6（→)).∴eq\o(EG，\s\up6(→）)＝eq\o（EF，\s\up6(→)）＋eq\o(EH,\s\up6(→)），由共面向量定理知，E，F(xiàn)，G,H四點共面．反思與感悟利用向量法證明四點共面，實質(zhì)上是證明的向量共面問題，解題的關(guān)鍵是熟練地進行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中要注意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練3已知O、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個點（如圖所示），并且eq\o(OE，\s\up6（→))＝keq\o（OA，\s\up6(→)),eq\o(OF，\s\up6(→））＝keq\o（OB，\s\up6（→）），eq\o(OH，\s\up6(→）)＝keq\o（OD,\s\up6(→)),eq\o（AC，\s\up6（→））＝eq\o(AD，\s\up6（→)）＋meq\o(AB,\s\up6（→）)，eq\o（EG，\s\up6(→)）＝eq\o(EH,\s\up6（→)）＋meq\o(EF，\s\up6(→））.求證：(1）A、B、C、D四點共面，E、F、G、H四點共面；（2）eq\o(AC，\s\up6(→）)∥eq\o（EG,\s\up6(→）)；（3)eq\o（OG，\s\up6(→）)＝keq\o(OC,\s\up6(→））.證明（1）由eq\o（AC，\s\up6(→）)＝eq\o（AD,\s\up6（→）)＋meq\o(AB,\s\up6(→)），eq\o（EG,\s\up6(→））＝eq\o（EH，\s\up6(→))＋meq\o（EF，\s\up6(→））知A、B、C、D四點共面，E、F、G、H四點共面．（2）∵eq\o(EG，\s\up6（→）)＝eq\o（EH,\s\up6（→)）＋meq\o（EF,\s\up6(→）)＝eq\o(OH，\s\up6(→))－eq\o(OE，\s\up6(→))＋m（eq\o(OF，\s\up6（→)）－eq\o（OE,\s\up6（→）））＝k（eq\o（OD,\s\up6(→))－eq\o(OA，\s\up6（→）))＋km（eq\o（OB，\s\up6(→))－eq\o（OA,\s\up6（→))）＝keq\o(AD，\s\up6（→））＋kmeq\o(AB，\s\up6(→）)＝k（eq\o(AD，\s\up6（→）)＋meq\o（AB,\s\up6(→）））＝keq\o(AC,\s\up6（→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→）).（3）由（2）知eq\o(OG,\s\up6(→)）＝eq\o(EG,\s\up6(→)）－eq\o(EO，\s\up6(→）)＝keq\o(AC，\s\up6(→))－keq\o（AO,\s\up6（→)）＝k(eq\o(AC，\s\up6(→）)－eq\o（AO,\s\up6（→)))＝keq\o(OC,\s\up6（→）），∴eq\o(OG,\s\up6(→）)＝keq\o（OC,\s\up6(→）)。1．設(shè)a，b是兩個不共線的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，則λ＝________，μ＝________.答案00解析∵a,b是兩個不共線的向量，∴a≠0,b≠0,∴λ＝μ＝0.2．給出下列幾個命題:①向量a，b,c共面，則它們所在的直線共面;②零向量的方向是任意的；③若a∥b,則存在惟一的實數(shù)λ,使a＝λb。其中真命題的個數(shù)為________．答案1解析①假命題．三個向量共面時，它們所在的直線或者在平面內(nèi)或者與平面平行；②真命題．這是關(guān)于零向量的方向的規(guī)定；③假命題．當(dāng)b＝0時，則有無數(shù)多個λ使之成立．3.如圖,在空間四邊形OABC中，eq\o（OA，\s\up6(→））＝a,eq\o（OB,\s\up6(→)）＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點，則eq\o（MN,\s\up6（→))＝________.（用a、b、c表示）答案－eq\f（2，3)a＋eq\f（1，2)b＋eq\f（1,2）c解析eq\o(MN,\s\up6(→）)＝eq\o（MA,\s\up6(→)）＋eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\o（BN,\s\up6（→)）＝eq\f（1，3)a＋(b－a）＋eq\f(1,2)(c－b)＝－eq\f（2,3）a＋eq\f（1,2)b＋eq\f（1，2）c.4．下列命題中，正確命題的個數(shù)為________．①若a∥b,則a與b方向相同或相反;②若eq\o（AB，\s\up6（→））＝eq\o（CD，\s\up6（→))，則A,B，C，D四點共線;③若a，b不共線，則空間任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R）．答案0解析當(dāng)a，b中有零向量時，①不正確；eq\o（AB,\s\up6(→））＝eq\o(CD,\s\up6(→))時，A，B，C,D四點共面不一定共線，故②不正確；