醫(yī)藥信息分析與決策第六章層次分析法

例某人擬從相同配置的金長(zhǎng)城電腦、聯(lián)想電腦和托普電腦中購(gòu)買一臺(tái)，你會(huì)如何決策？

假定有n個(gè)物體,它們的重量分別為W1、W2、……，Wn，并且假定它們的重量和為1個(gè)單位，即。兩兩比較它們之間的重量很容易得出判斷矩陣：從上式不難看出，以ｎ個(gè)物體重量為分量的向量Ｗ是判斷矩陣的特征向量。根據(jù)矩陣?yán)碚?，ｎ為上述矩陣A的唯一非零的，同時(shí)也是最大的特征值，而W是該特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。上面的例子顯示，如果有一組物體需要估算它們的相對(duì)重量，而又沒有稱重儀器，那么可以通過(guò)兩兩比較這組物體相對(duì)重量的方法，得出每對(duì)物體的重量比值，從而形成判斷矩陣，通過(guò)求解判斷矩陣的最大特征值和所對(duì)應(yīng)的特征向量，就可以計(jì)算出這組物體的相對(duì)重量。同樣，對(duì)于復(fù)雜的社會(huì)的、經(jīng)濟(jì)的以及管理科學(xué)等領(lǐng)域的問(wèn)題，通過(guò)建立層次分析模型,構(gòu)造兩兩因素判斷矩陣，就可應(yīng)用求解最大特征值和特征向量的方法，來(lái)確定出相應(yīng)的各種方案、措施、政策等相對(duì)于總目標(biāo)的重要性排序權(quán)值，以供決策使用。應(yīng)用這種分析法保持判斷思維的一致性是非常重要的，所謂判斷一致性，即判斷矩陣A有如下關(guān)系：

aij＝aik/ajk;i,j,k=1,2,…,n判斷矩陣在滿足上述完全一致性的條件下，具有唯一非零的、

同時(shí)也是最大的特征值λmax＝n(n為判斷矩陣的階數(shù))。

但是，

在一般決策問(wèn)題中，

決策者不可能給出精確的Wi/Wj度量,

只能對(duì)它們進(jìn)行判斷估計(jì)。這樣,

實(shí)際給出的aij判斷與理想的Wi/Wj

有偏差，不能保證判斷矩陣具有完全的一致性。因此,

為了保證應(yīng)用該分析法得到的結(jié)論基本合理，還需要對(duì)構(gòu)造的判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。

層次結(jié)構(gòu)示意圖方法特點(diǎn)

在對(duì)問(wèn)題充分研究后首先分析問(wèn)題內(nèi)在因素間的聯(lián)系，并把它劃分為若干層次，如措施層、準(zhǔn)則層（含子準(zhǔn)則）、目的層等。把定性方法與定量方法有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使復(fù)雜的系統(tǒng)分解，把多目標(biāo)、多準(zhǔn)則又難以全部量化處理的決策問(wèn)題化為多層次單目標(biāo)問(wèn)題，通過(guò)兩兩比較確定同一層次元素相對(duì)上一層次元素的數(shù)量關(guān)系后，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算。

二、層次分析法的基本原理

復(fù)雜的決策問(wèn)題往往設(shè)計(jì)到許多因素，如社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)、科技乃至自然環(huán)境等，因此要認(rèn)識(shí)一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)就比較困難。層次分析法正是處理此類問(wèn)題的有效方法。層次分析法的基本原理可歸納為層次的數(shù)學(xué)原理—特征向量方法、遞階層次結(jié)構(gòu)原理、兩兩比較標(biāo)度與判斷原理、層次排序原理。

2、遞階層次結(jié)構(gòu)原理

一個(gè)復(fù)雜的無(wú)結(jié)構(gòu)問(wèn)題可分解為它的若干組成部分或因素。例如，目標(biāo)、約束、準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則、方案等,按照屬性的不同把這些因素分組形成互不相交的層次，上一層次的因素對(duì)相鄰的下一層次的全部或某些因素起著支配作用，形成按層次自上而下的逐層支配關(guān)系,具有這種性質(zhì)的層次稱為遞階層次。

例某人擬從相同配置的金長(zhǎng)城電腦、聯(lián)想電腦和托普電腦中購(gòu)買一臺(tái)，其決策的層次結(jié)構(gòu)模型如下：

3、兩兩比較的標(biāo)度與判斷原理

判斷矩陣的構(gòu)成是，先給出遞階層次中的某一層因素，比如第i層，以及相鄰上一層(i-1層)

次中的一個(gè)因素Ak,兩兩比較第i層的所有因素對(duì)Ak因素的影響程度，將比較的結(jié)果以數(shù)字的形式寫入一個(gè)矩陣表，即構(gòu)成判斷矩陣。

標(biāo)度 含義

1 表示兩個(gè)因素相比，具有同樣重要性。

3表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素稍微重要。

5 表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素明顯重要。

7表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素顯得很重要。9 表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素顯得極其重要。2，4，6，8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較得判斷bij，則因素j與i比較的判斷bji=1/bij。

4、層次排序原理

層次排序原理包括層次單排序、層次總排序和一致性檢驗(yàn)理論。

（1）層次單排序原理

確定各層次中因素對(duì)相鄰上一層次的各因素的優(yōu)先次序稱為層次單排序。層次單排序可歸結(jié)為計(jì)算判斷矩陣的特征根和特征向量問(wèn)題，即對(duì)判斷矩陣B，計(jì)算滿足的特征根與特征向量，式中為B的最大特征根，W為對(duì)應(yīng)于的正規(guī)化特征向量，W的分量,即相應(yīng)因素單排序的權(quán)值。其最常見的計(jì)算方法有和積法和方根法

（2）一致性檢驗(yàn)原理

按照各因素重要程度、優(yōu)先次序?qū)Ρ鹊膬?nèi)在規(guī)律，判斷矩陣應(yīng)該滿足以下三個(gè)條件（稱為“完全一致性條件”）。

①對(duì)角線元素為1②右上三角和左下三角對(duì)應(yīng)元素互為倒數(shù)

③因素優(yōu)先次序的傳遞關(guān)系

由于客觀事物的復(fù)雜性，人們?cè)诜治鰡?wèn)題時(shí)，認(rèn)識(shí)具有片面性，要達(dá)到完全一致性是非常困難的。一致性檢驗(yàn)是根據(jù)矩陣?yán)碚搧?lái)進(jìn)行的，根據(jù)矩陣?yán)碚撚泄?/p>

當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時(shí)，

為判斷矩陣階數(shù)。

何為滿意一致性呢？為此，將CI與平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI進(jìn)行比較，各階RI值分別為

當(dāng)階數(shù)大于2時(shí)，判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比稱為隨機(jī)一致性比率，記為CR。當(dāng)判斷矩陣具有滿意的一致性，即否則就需要對(duì)判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整。

（3）層次總排序及其一致性檢驗(yàn)

計(jì)算同一層次上不同因素對(duì)總目標(biāo)的優(yōu)先次序稱為層次總排序

層次分析法的優(yōu)缺點(diǎn)分析1.系統(tǒng)性的分析方法2.簡(jiǎn)潔實(shí)用的決策方法3.所需定量數(shù)據(jù)信息較少優(yōu)點(diǎn)層次分析法的優(yōu)缺點(diǎn)分析1.不能為決策提供新方案2.定量數(shù)據(jù)較少，定性成分多，不易令人信服3.指標(biāo)過(guò)多時(shí)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)量大，且權(quán)重難以確定4.特征值和特征向量的精確求法比較復(fù)雜缺點(diǎn)判斷矩陣中

特征值與特征向量的近似算法：1.和法2.根法3.冪法1.和法簡(jiǎn)要步驟：1.列歸一2.行求和3.列歸一4.求出特征值例：A=列向量歸一化行求和列向量歸一化2.根法根法與和法計(jì)算步驟基本相同，只是第二步中和法是“按行求和”，而在根法中是

“按行求積并開n次方”公式變?yōu)?.根法簡(jiǎn)要步驟：1.列歸一2.按行求積并開n次方3.列歸一4.求出特征值例：A=列向量歸一化列向量歸一化3.冪法步驟：（1）任取一個(gè)與判斷矩陣同階正規(guī)化的初值向量，例如取3.冪法（2）計(jì)算（k=1，2，…，n）（3）歸一化，即令（k=1，2，…，n）3.冪法（4）對(duì)于預(yù)先給定的精確度ε，如果則為所求特征向量，轉(zhuǎn)入（5）；否則，返回（2）。3.冪法（5）計(jì)算最大特征值3.冪法例：A=現(xiàn)假設(shè)初始向量為預(yù)先給定的精確度ε=0.053.冪法（2）（3）列向量歸一化（4）0.566–0.333>0.05，需返回第二步作進(jìn)一步計(jì)算。3.冪法（22）（32）列向量歸一化（42）各項(xiàng)差別均小于0.05，可進(jìn)入第五步計(jì)算特征值。3.冪法(5)WTλ精確(0.588,0.322,0.090)3.010和法(0.587,0.324,0.089)3.009根法(0.587,0.324,0.089)3.009冪法(0.588,0.323,0.089)3.034各種方法結(jié)果比較：層次分析法的Excel計(jì)算方法操作步驟：1.作基本框架2.輸入數(shù)據(jù)3.輸入計(jì)算公式4.得到并分析結(jié)果層次分析法的Excel計(jì)算方法例：購(gòu)置一臺(tái)新設(shè)備的層次分析考慮購(gòu)置新設(shè)備功能價(jià)格維護(hù)設(shè)備P1設(shè)備P2設(shè)備P3目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層Excel算法公式舉例（1）列和計(jì)算公式

B10=SUM（B7:B9）（2）歸一化矩陣計(jì)算公式

H7=B7/B$10（3）層次單排序權(quán)重向量計(jì)算公式L7=AVERAGE（H7:J7）Excel算法公式舉例（4）加權(quán)向量計(jì)算公式N7=B7*$L$7+C7*$L$8+D7*$L$9（5）一致性計(jì)算公式O7=N7/L7（6）CR計(jì)算公式O10=((AVERAGE(O7:O9)-3)/2)/0.58Excel算法公式舉例（7）層次總排序公式B39=L7，C39=L8，D39=L9B40=L15，C40=L16，D40=L17（8）層次總排序權(quán)重計(jì)算公式H40=SUMPRODUCT(B39:D39,B40:D40)MATLAB求解eig(A) 求特征值及特征向量inv(A)求方陣的逆矩陣rref(X) 求矩陣X階梯形的行最簡(jiǎn)形式應(yīng)用案例

案例一：某廠有一筆企業(yè)留成利潤(rùn)要決定如何使用，根據(jù)各方意見提出的決策方案有：發(fā)獎(jiǎng)金；擴(kuò)建集體福利設(shè)施；辦技校；建圖書館；購(gòu)買新設(shè)備。在決策時(shí)要考慮調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性、提高職工技術(shù)文化水平、改善職工物質(zhì)文化生活三方面，請(qǐng)對(duì)各種方法做出評(píng)價(jià)。（1）層次結(jié)構(gòu)圖準(zhǔn)則層C方案層D目標(biāo)層A合理使用企業(yè)留利××萬(wàn)元調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性提高企業(yè)技術(shù)水平改善職工物質(zhì)文化生活狀況發(fā)獎(jiǎng)金擴(kuò)建集體福利設(shè)施辦技校建圖書館購(gòu)買新設(shè)施AC1C2C3d1d2d3d4d5（2）計(jì)算單一準(zhǔn)則下元素的相對(duì)重要性i.第二層相對(duì)于第一層的判斷矩陣通過(guò)計(jì)算得判斷矩陣的特征向量和特征值分別為：W=(0.105,0.637,0.258)λmax=3.039對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，即計(jì)算C.I.和C.R.C.I.=0.019C.R.=0.033<0.1說(shuō)明判斷矩陣的一致性可以接受。A-CC1C2C3C111/51/3C2513C331/31C1C2C3w1=0.105W2=0.637W3=0.258Aii.第三層元素相對(duì)于第二層元素判斷矩陣W=(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)126.5max=lC.I=0.032C.R.=0.028<0.1C1-Dd1d2d3d4d5d112347d21/21325d31/31/311/21d41/41/2213d51/71/511/31w11W12W13C1C2C3d1d2d3d4d5w14w15w21W22W23C1C2C3d1d2d3d4d5w24w25w31W32W33C1C2C3d1d2d3d4d5w34w35（3）計(jì)算各元素的總權(quán)重（4）結(jié)論發(fā)獎(jiǎng)金，福利設(shè)施，辦技校，建圖書館，新設(shè)備W=(0.157,0.164,0.393,0.113,0.172)C.I.=0.028R.I.=0.923CR=0.03<0.10計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于合理使用企業(yè)留成利潤(rùn)來(lái)說(shuō)，辦技校是首選的方案。案例二：運(yùn)用AHP方法選擇世界杯上場(chǎng)隊(duì)員案例，本案例運(yùn)用AHP方法，對(duì)中國(guó)男子足球隊(duì)在世界杯比賽中應(yīng)該首發(fā)出場(chǎng)的中后衛(wèi)人選進(jìn)行決策目標(biāo)A ——在世界杯比賽中取得好成績(jī)；準(zhǔn)則C有四個(gè) ——技術(shù)、心理、經(jīng)驗(yàn)、傷病；方案D（可供選擇的球員） ——范志毅、杜威、李偉峰、張恩華和徐云龍五位可踢中后衛(wèi)的球員。據(jù)此建立模型的遞階層次結(jié)構(gòu)如下圖模型D1范志毅A：比賽中取得好成績(jī)C1：技術(shù)C2：心理C3：經(jīng)驗(yàn)C4：傷病D2杜威D3李偉峰D4張恩華D5徐云龍構(gòu)造第二層相對(duì)第一層的判斷矩陣：W=(0.398,0.236,0.167,0.199)λmax=4.060C.I.=0.020C.R.=0.022<0.1判斷矩陣的一致性可以接受

1C4:傷病11C3:經(jīng)驗(yàn)121C2:心理2221C1:技術(shù)C4:傷病C3:經(jīng)驗(yàn)C2:心理C1:技術(shù)A——CAC1:技術(shù)C2:心理C3:經(jīng)驗(yàn)C4:傷病第三層各因素對(duì)于第二層元素的判斷矩陣：

W=(0.217,0.151,0.395,0.160,0.077)λmax=5.015C.I.=0.017C.R.=0.015<0.1

一致性檢驗(yàn)通過(guò)C1:技術(shù)C2:心理C3:經(jīng)驗(yàn)C4:傷病D1:范D3:李D2:杜D4:張D5:徐1D5:徐云龍21D4:張恩華531D3:李偉峰211/21D2:杜威311/221D1:范志毅D5:徐云龍D4:張恩華D3:李偉峰D2:1杜威D1:范志毅C1:技術(shù)

W=(0.370,0.069,0.169,0.326,0.066)λmax=5.018C.I.=0.012C.R.=0.011<0.1

一致性檢驗(yàn)通過(guò)1D5:徐云龍51D4:張恩華31/21D3:李偉峰11/41/31D2:杜威51351D1:范志毅D5:徐云龍D4:張恩華D3:李偉峰D2:杜威D1:范志毅C2:心理C1:技術(shù)C2:心理C3:經(jīng)驗(yàn)C4:傷病D1:范D3:李D2:杜D4:張D5:徐第三層各因素對(duì)于第二層元素的判斷矩陣：

W=(0.439,0.044,0.161,0.271,0.085)λmax=5.186C.I.=0.047C.R.=0.042<0.1

一致性檢驗(yàn)通過(guò)1D5:徐云龍1/21D4:張恩華31/31D3:李偉峰1/31/51/41D2:杜威62471D1:范志毅D5:徐云龍D4:張恩華D3:李偉峰D2:杜威D1:范志毅C3:經(jīng)驗(yàn)C1:技術(shù)C2:心理C3:經(jīng)驗(yàn)C4:傷病D1:范D3:李D2:杜D4:張D5:徐第三層各因素對(duì)于第二層元素的判斷矩陣：

W=(0.082,0.260,0.138,0.260,0.260)λmax=5.010C.I.=0.002C.R.=0.002<0.1

一致性檢驗(yàn)通過(guò)1D5:徐云龍11D4:張恩華1/21/21D3:李偉峰1121D2:杜威1/31/31/21/31D1:范志毅D5:徐云龍D4:張恩華D3:李偉峰D2:杜威D1:范志毅C4:傷病C1:技術(shù)C2:心理C3:經(jīng)驗(yàn)C4:傷病D1:范D3:李D2:杜D4:張D5:徐第三層各因素對(duì)于第二層元素的判斷矩陣：最后計(jì)算出層次總排序的權(quán)重向量為：

W=(0.263,0.136,0.251,0.238,0.112)C.I.=0.049R.I.=1.120C.R.=0.044<0.1層次總排序一致性檢驗(yàn)通過(guò)計(jì)算結(jié)果表明，中國(guó)國(guó)家足球隊(duì)在世界杯比賽中，首發(fā)的中后衛(wèi)應(yīng)該是范志毅和李偉峰，替補(bǔ)的順序應(yīng)該依次為張恩華、杜威和徐云龍。步驟小結(jié)（1）明確問(wèn)題（2）建立層次結(jié)構(gòu)（3）構(gòu)造判斷矩陣（4）層次單排序及其一致性檢驗(yàn)（5）層次總排序及一致性檢驗(yàn)（6）作出相應(yīng)決策AHP的計(jì)算主要通過(guò)軟件實(shí)現(xiàn)，簡(jiǎn)單方便，使AHP法在現(xiàn)實(shí)中已得到了廣泛應(yīng)用。案例三：

AHP在風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目決策中的應(yīng)用

風(fēng)險(xiǎn)投資：風(fēng)險(xiǎn)投資是指通過(guò)一定的機(jī)構(gòu)和方式向各類機(jī)構(gòu)或個(gè)人籌集風(fēng)險(xiǎn)資本，然后將其投入具有高度不確定性的企業(yè)或項(xiàng)目，并以一定的方式參與所投資風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)或項(xiàng)目的管理，期望通過(guò)實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目的高成長(zhǎng)率并最終通過(guò)出售股權(quán)等方式獲得高額中長(zhǎng)期收益的一種投資體系。其一般多以投資基金方式運(yùn)作，運(yùn)作的程序包括項(xiàng)目估價(jià)、項(xiàng)目決策、談判和簽訂協(xié)議、輔導(dǎo)管理及退出四個(gè)階段，其中以項(xiàng)目的評(píng)估與決策最為關(guān)鍵，因?yàn)樗钦麄€(gè)風(fēng)險(xiǎn)投資程序的至關(guān)重要的第一階段，也是提高風(fēng)險(xiǎn)資金利用效率和決定風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目成功與否的關(guān)鍵。風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目的不確定性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：如項(xiàng)目的技術(shù)是否具有超前意識(shí)？是否可以實(shí)現(xiàn)？投資產(chǎn)品是否具有廣闊的市場(chǎng)前景？市場(chǎng)占有率會(huì)有多大？產(chǎn)品的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)能力如何等。風(fēng)險(xiǎn)投資公司在對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)估時(shí)，需要從創(chuàng)業(yè)者素質(zhì)、市場(chǎng)潛力、產(chǎn)品技術(shù)、公司管理、財(cái)務(wù)、國(guó)家政策環(huán)境等方面對(duì)投資項(xiàng)目進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，即項(xiàng)目目標(biāo)的選擇是一個(gè)多目標(biāo)、多層次、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、因素眾多的大系統(tǒng)，需要一種可將決策者的經(jīng)驗(yàn)予以量化，將定性和定量相結(jié)合，并對(duì)決策對(duì)象進(jìn)行優(yōu)劣排序、篩選的多目標(biāo)決策分析方法。用AHP法解決這一問(wèn)題。根據(jù)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)投資因素的分析，各個(gè)備選項(xiàng)目的評(píng)價(jià)主要包括以下幾個(gè)方面：（1）技術(shù)[Ｆ1]：指的是技術(shù)開發(fā)方面的各種不確定因素，如技術(shù)難度、技術(shù)適用性、技術(shù)成熟性、技術(shù)配套性、技術(shù)生命周期等。（2）市場(chǎng)潛力[Ｆ2]：指難以確定的市場(chǎng)需求、產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)力、上市時(shí)機(jī)、市場(chǎng)擴(kuò)展速度、潛在競(jìng)爭(zhēng)者影響、產(chǎn)品替代性等。（3）管理[Ｆ3]：即人員素質(zhì)與經(jīng)驗(yàn)、領(lǐng)導(dǎo)判斷與決策的科學(xué)化、企業(yè)組織合理性、項(xiàng)目管理機(jī)制等。（4）領(lǐng)導(dǎo)者素質(zhì)[Ｆ4]：指創(chuàng)業(yè)者的專業(yè)知識(shí)水平、領(lǐng)導(dǎo)水平、能力、性格等。確定了這些影響項(xiàng)目選擇的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，也就構(gòu)造出如圖2-2所示的層次結(jié)構(gòu)分析模型：風(fēng)險(xiǎn)投資層次結(jié)構(gòu)圖建立判斷矩陣及其一致性檢驗(yàn)

表2-12準(zhǔn)則層判斷矩陣風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目綜合評(píng)價(jià)F1F2F3F4重要性排序值技術(shù)F11

1/53

1/90.0774市場(chǎng)潛力F2516

1/40.2518管理F3

1/3

1/61

1/80.0439創(chuàng)業(yè)者素質(zhì)F494810.6269建立判斷矩陣及其一致性檢驗(yàn)表2-13技術(shù)（