2022-2023學(xué)年廣東省廣州市天河外國語學(xué)校高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，因此?故選：C.2．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義即可求解.【詳解】解：由題意知：角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，故.故選：A.3．下列說法中，錯誤的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】A【分析】逐一檢驗(yàn)，對A，取，判斷可知；對B，，可知；對C，利用作差即可判斷；對D根據(jù)不等式同向可加性可知結(jié)果.【詳解】對A，取，所以，故錯誤；對B，由，，所以，故正確；對C,，由，，所以，所以，故正確；對D，由，所以，又，所以故選：A4．已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴．故選：A．5．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】B【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，再結(jié)合三角函數(shù)圖像的平移變換即可得解.【詳解】解：由，即為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.6．關(guān)于的不等式的解集為，，，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得1，是方程的兩根，從而得到的關(guān)系，然后再解不等式從而得到答案.【詳解】由題意可得，且1，是方程的兩根，為方程的根，，則不等式可化為，即，不等式的解集為．故選:A．7．已知為三角形內(nèi)角，且，若，則關(guān)于的形狀的判斷，正確的是A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．三種形狀都有可能【答案】C【分析】利用同角平方關(guān)系可得，，結(jié)合可得，從而可得的取值范圍，進(jìn)而可判斷三角形的形狀．【詳解】解：，，為三角形內(nèi)角，，為鈍角，即三角形為鈍角三角形故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用同角平方關(guān)系的應(yīng)用，其關(guān)鍵是變形之后從的符號中判斷的取值范圍，屬于三角函數(shù)基本技巧的運(yùn)用．8．當(dāng)生物死后，它體內(nèi)的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半.2010年考古學(xué)家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料草裹泥）上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前（

）（參考數(shù)據(jù)：，)A．年 B．年 C．年 D．年【答案】B【分析】根據(jù)碳14的半衰期為5730年，即每5730年含量減少一半，設(shè)原來的量為，經(jīng)過年后變成了，即可列出等式求出的值，即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)原來的量為，經(jīng)過年后變成了，即，兩邊同時取對數(shù)，得：，即，，，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前年.故選：B.二、多選題9．下列幾種說法中，正確的是（

）A．面積相等的三角形全等B．“”是“”的充分不必要條件C．若為實(shí)數(shù)，則“”是“”的必要不充分條件D．命題“若，則”的否定是假命題【答案】CD【分析】對于A：因?yàn)橥椎雀叩娜切纹涿娣e相等，但未必全等，；對于B：當(dāng)時，滿足，但；對于C：由得，解得；對于D：因?yàn)椋?，由原命題與原命題的否定的真假關(guān)系可判斷.【詳解】對于A：因?yàn)橥椎雀叩娜切纹涿娣e相等，但未必全等，故A錯；對于B：當(dāng)時，滿足，但，故B錯；對于C：由得，解得，所以能成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確；對于D：因?yàn)椋?，所以命題“若，則”是真命題，所以命題“若，則”的否定是假命題，故D正確，故選：CD.10．有如下命題，其中為真命題的有（

）A．若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則B．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)C．在上存在零點(diǎn)，則m的取值范圍是D．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】BCD【分析】A選項，根據(jù)冪函數(shù)經(jīng)過的點(diǎn)，求出解析式，即可判斷；B選項，根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)即可得到；C選項，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，根據(jù)兩端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)即可求出的取值范圍；D選項，由可知，最小值在頂點(diǎn)處取得，最大值在或時取到，即可得出的取值范圍.【詳解】對A選項，設(shè)冪函數(shù)的解析式為，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，即，解得，則，，故A選項錯誤.對B選項，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，故B選項正確.對C選項，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且在上存在零點(diǎn)，則，，解得，故C選項正確.對D選項，函數(shù)，對稱軸為，此時函數(shù)取得最小值為，當(dāng)或時，函數(shù)值等于4，又函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為3，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D選項正確.故選：BCD11．函數(shù)的部分圖像如圖中實(shí)線所示，圖中圓與的圖像交于，兩點(diǎn)，且在軸上，則下列說法中正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，可求得函數(shù)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解得到答案．【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象以及圓C的對稱性，可得兩點(diǎn)關(guān)于圓心對稱，A選項，根據(jù)給定函數(shù)的圖象得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，正確；B選項，由A得，不妨令，由周期，所以，又，所以，所以，因?yàn)?，即函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，正確；C選項，由圖像可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，即，，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，C錯誤；D選項，函數(shù)的圖象向右平移個單位后，所得圖象關(guān)于軸對稱，D錯誤.故選：AB．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)，滿足，且對任意的，恒有，已知當(dāng)時，，則有（

）A．函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為B．函數(shù)的最大值是，最小值是C．當(dāng)時，D．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【答案】BD【分析】推導(dǎo)出函數(shù)的周期，可判斷A選項的正誤；求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性可判斷B選項的正誤；利用函數(shù)的奇偶性和周期性求出函數(shù)在上的解析式，可判斷C選項的正誤；利用C中的解析式結(jié)合周期性可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，由已知可得，則，故函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，A選項錯誤；對于B選項，當(dāng)時，，由于函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，由于函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故函數(shù)的最大值是，最小值是，B選項正確；對于C選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，C選項錯誤；對于D選項，由C選項可知，函數(shù)在上單調(diào)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，D選項正確.故選：BD.三、填空題13．化簡：＝________.【答案】【分析】直接利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式求解即可．【詳解】．故答案為：．14．若，，，則的最小值為___________.【答案】3【分析】利用基本不等式常值代換即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為3，故答案為：315．已知函數(shù)，若，，則的取值范圍是_________.【答案】【分析】，，分離參數(shù)，得到，求出的范圍，即可得出結(jié)論.【詳解】，恒成立，即恒成立，設(shè)在單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為：.16．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【分析】由奇函數(shù)的對稱性求出的解析式，確定的單調(diào)性，并得到，利用函數(shù)的單調(diào)性，將轉(zhuǎn)化為自變量的不等量關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，且時，，設(shè)，，在上單調(diào)遞減，且，對于任意的恒成立，即對于任意的恒成立，所以.故答案為：.四、解答題17．已知全集，集合，.(1)當(dāng)時，求；(2)如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1).(2)【分析】（1）由集合交補(bǔ)定義可得.（2）由可得建立不等關(guān)系可得解.【詳解】（1）當(dāng)時,，，，（2）因?yàn)椋?，，，或，，，，綜上：的取值范圍是18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由二倍角公式，先求出，利用誘導(dǎo)公式，將所求的式子化為的齊次分式，再轉(zhuǎn)化為，即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件求出，利用，由兩角差的余弦公式，即可求解.【詳解】（1），；（2），又，，又，.19．已知函數(shù)f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0且a≠1)，設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)．(1)求函數(shù)h(x)的定義域，判斷h(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若f(3)＝2，求使h(x)<0成立的x的集合．【答案】(1)定義域?yàn)閧x|－1<x<1}；h(x)為奇函數(shù)，理由見解析；(2){x|－1<x<0}．【分析】(1)利用對數(shù)式有意義可得函數(shù)定義域，由奇偶性定義判斷奇偶性；(2)由求得值，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可解不等式．【詳解】(1)∵f(x)＝loga(1＋x)的定義域?yàn)閧x|x>－1}，g(x)＝loga(1－x)的定義域?yàn)閧x|x<1}，∴h(x)＝f(x)－g(x)的定義域?yàn)閧x|x>－1}∩{x|x<1}＝{x|－1<x<1}．∵h(yuǎn)(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(huán)(x)，∴h(x)為奇函數(shù)．(2)∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2．∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，∴h(x)<0等價于log2(1＋x)<log2(1－x)，∴解得－1<x<0．故使h(x)<0成立的x的集合為{x|－1<x<0}．【點(diǎn)睛】本題考查求對數(shù)型函數(shù)的定義域，奇偶性，解對數(shù)不等式，掌握對數(shù)函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心；（2）當(dāng)時，解不等式的值域；（3）當(dāng)時，解不等式.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，對稱中心為；（2）；（3）.【分析】（1）由，根據(jù)三角函數(shù)的遞增區(qū)間和對稱中心即可得解；（2）由，可得，所以即可得解；（3）由時，求出整體范圍，若要，只要，求解即可.【詳解】（1），由解得，所以，由可得，所以對稱中心為；（2）由，可得，所以，所以的值域?yàn)?；?）當(dāng)時，，由可得：，則，根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得：,解得的取值范圍為.21．某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤y與投資x成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；B產(chǎn)品的利潤y與投資x的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示（注：利潤y與投資x的單位均為萬元）．(1)分別求A，B兩種產(chǎn)品的利潤y關(guān)于投資x的函數(shù)解析式；(2)已知該企業(yè)已籌集到200萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．①若將200萬元資金平均投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，可獲得總利潤多少萬元？②如果你是廠長，怎樣分配這200萬元資金，可使該企業(yè)獲得的總利潤最大？其最大利潤為多少萬元？【答案】(1)A產(chǎn)品的利潤y關(guān)于投資x的函數(shù)解析式為：；B產(chǎn)品的利潤y關(guān)于投資x的函數(shù)解析式為：.(2)①萬元；②當(dāng)投入B產(chǎn)品的資金為萬元，投入A產(chǎn)品的資金為萬元，該企業(yè)獲得的總利潤最大，其最大利潤為萬元.【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)，運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可；（2）①：利用代入法進(jìn)行求解即可；②利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)锳產(chǎn)品的利潤y與投資x成正比，所以設(shè)，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，所以有，所以；因?yàn)锽產(chǎn)品的利潤y與投資x的算術(shù)平方根成正比，所以設(shè)，由函數(shù)圖象可知：當(dāng)時，，所以有，所以；（2）①:將200萬元資金平均投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，所以A產(chǎn)品的利潤為，B產(chǎn)品的利潤為，所以獲得總利潤為萬元；②：設(shè)投入B產(chǎn)品的資金為萬元，則投入A產(chǎn)品的資金為萬元，設(shè)企業(yè)獲得的總利潤為萬元，所以，令，所以，當(dāng)時，即當(dāng)時，有最大值，最大值為，所以當(dāng)投入B產(chǎn)品的資金為萬元，投入A產(chǎn)品的資金為萬元，該企業(yè)獲得的總利潤最大，其最大利潤為萬元.22．設(shè)，函數(shù)．(1)若，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在區(qū)間（）上的取值范圍是（），求的范圍．【答案】(1)在上遞增，證明見解析.(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義計算的符號，從而判