PAGE63PAGE備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國(guó)通用）專題16等腰三角形與直角三角形（共50題）一．選擇題（共24小題）1．（2022?宿遷）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3cm和5cm，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解析】當(dāng)3cm是腰長(zhǎng)時(shí)，3，3，5能組成三角形，當(dāng)5cm是腰長(zhǎng)時(shí)，5，5，3能夠組成三角形．則三角形的周長(zhǎng)為11cm或13cm．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．2．（2022?泰安）如圖，l1∥l2，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B在直線l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．則∠2的度數(shù)是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行線的性質(zhì)得到∠BEA＝95°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【解析】如圖，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是注意運(yùn)用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．3．（2022?自貢）等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°，則這個(gè)底角的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】設(shè)底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解析】設(shè)底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°，根據(jù)題意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，考查了方程思想，掌握等腰三角形兩個(gè)底角相等是解題的關(guān)鍵．4．（2022?天津）如圖，△OAB的頂點(diǎn)O（0，0），頂點(diǎn)A，B分別在第一、四象限，且AB⊥x軸，若AB＝6，OA＝OB＝5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A．（5，4） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，3）【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)勾股定理求出OC，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【解析】設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．5．（2022?臺(tái)灣）如圖，△ABC中，D點(diǎn)在AB上，E點(diǎn)在BC上，DE為AB的中垂線．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，則根據(jù)圖中標(biāo)示的角，判斷下列敘述何者正確？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3 C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【解析】∵DE為AB的中垂線，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022?廣元）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB交于點(diǎn)D，再分別以A、D為圓心，大于AD的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F，則AE的長(zhǎng)度為（）A． B．3 C．2 D．【分析】利用勾股定理求出AB，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AE即可．【解析】在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，∵BD＝CB＝6，∴AD＝AB＝BC＝4，由作圖可知EF垂直平分線段AD，∴AF＝DF＝2，∵∠A＝∠A，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AE＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．7．（2022?金華）如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系后，學(xué)校和體育場(chǎng)的坐標(biāo)分別是（3，1），（4，﹣2），下列各地點(diǎn)中，離原點(diǎn)最近的是（）A．超市 B．醫(yī)院 C．體育場(chǎng) D．學(xué)?！痉治觥扛鶕?jù)題意可以畫出相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)勾股定理，可以得到點(diǎn)O到超市、學(xué)校、體育場(chǎng)、醫(yī)院的距離，再比較大小即可．【解析】如右圖所示，點(diǎn)O到超市的距離為：＝，點(diǎn)O到學(xué)校的距離為：＝，點(diǎn)O到體育場(chǎng)的距離為：＝，點(diǎn)O到醫(yī)院的距離為：＝，∵＜＝＜，∴點(diǎn)O到超市的距離最近，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、平面直角坐標(biāo)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適平面直角坐標(biāo)系．8．（2022?溫州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)CF，作GM⊥CF于點(diǎn)M，BJ⊥GM于點(diǎn)J，AK⊥BJ于點(diǎn)K，交CF于點(diǎn)L．若正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，CE＝+，則CH的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．【分析】設(shè)CF交AB于P，過(guò)C作CN⊥AB于N，設(shè)正方形JKLM邊長(zhǎng)為m，根據(jù)正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，得AF＝AB＝m，證明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL＝FM，設(shè)AL＝FM＝x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2＝（m）2，可解得x＝m，有AL＝FM＝m，F(xiàn)L＝2m，從而可得AP＝，F(xiàn)P＝m，BP＝，即知P為AB中點(diǎn)，CP＝AP＝BP＝，由△CPN∽△FPA，得CN＝m，PN＝m，即得AN＝m，而tan∠BAC＝＝＝，又△AEC∽△BCH，得＝，即＝，故CH＝2．【解析】設(shè)CF交AB于P，過(guò)C作CN⊥AB于N，如圖：設(shè)正方形JKLM邊長(zhǎng)為m，∴正方形JKLM面積為m2，∵正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，∴正方形ABGF的面積為5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，設(shè)AL＝FM＝x，則FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，F(xiàn)L＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P為AB中點(diǎn)，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，∴△CPN∽△FPA，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含m的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度．9．（2022?安徽）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（）A． B． C．3 D．【分析】如圖，不妨假設(shè)點(diǎn)P在AB的左側(cè)，證明△PAB的面積是定值，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線PM，連接CO延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)R，交PM于點(diǎn)T．因?yàn)椤鱌AB的面積是定值，推出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線PM，求出OT的值，可得結(jié)論．【解析】如圖，不妨假設(shè)點(diǎn)P在AB的左側(cè)，∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線PM，連接CO延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)R，交PM于點(diǎn)T．∵△PAB的面積是定值，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴?AB?RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值為，當(dāng)點(diǎn)P在②區(qū)域時(shí)，同法可得OD的最小值為，如圖，當(dāng)點(diǎn)P在①③⑤區(qū)域時(shí)，OP的最小值為，當(dāng)點(diǎn)P在②④⑥區(qū)域時(shí)，最小值為，∵＜，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△PAB的面積是定值．10．（2022?南充）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE∥AB，交AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，DE＝5，DF＝3，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和和勾股定理，可以求得CD和CE的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到AE的長(zhǎng)，從而可以判斷B和C，然后即可得到AC的長(zhǎng)，即可判斷D；再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到BF的長(zhǎng)，從而可以判斷A．【解析】∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故選項(xiàng)B、C正確；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故選項(xiàng)D正確；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDF+∠FDB＝90°，∵∠CDF+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．11．（2022?宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N．作直線MN，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長(zhǎng)為（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根據(jù)題意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，從而可以求得△ABD的周長(zhǎng)．【解析】由題意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周長(zhǎng)是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴∵△ABD的周長(zhǎng)是19，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長(zhǎng)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．（2022?河北）題目：“如圖，∠B＝45°，BC＝2，在射線BM上取一點(diǎn)A，設(shè)AC＝d，若對(duì)于d的一個(gè)數(shù)值，只能作出唯一一個(gè)△ABC，求d的取值范圍．”對(duì)于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d＝，則正確的是（）A．只有甲答的對(duì) B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【分析】由題意知，當(dāng)CA⊥BA或CA＞BC時(shí)，能作出唯一一個(gè)△ABC，分這兩種情況求解即可．【解析】由題意知，當(dāng)CA⊥BA或CA＞BC時(shí)，能作出唯一一個(gè)△ABC，①當(dāng)CA⊥BA時(shí)，∵∠B＝45°，BC＝2，∴AC＝BC?sin45°＝2×＝，即此時(shí)d＝，②當(dāng)CA＝BC時(shí)，∵∠B＝45°，BC＝2，∴此時(shí)AC＝2，即d＞2，綜上，當(dāng)d＝或d＞2時(shí)能作出唯一一個(gè)△ABC，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系及等腰直角三角形的知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2022?宜賓）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），DE與AC交于點(diǎn)F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，則＝；④在△ABC內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P，使得PA+PB+PC的值最小，若點(diǎn)D在AP的延長(zhǎng)線上，且AP的長(zhǎng)為2，則CE＝2+．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【分析】①正確．證明△BAD≌△DAE（SAS），可得結(jié)論；②正確．證明A，D，C，E四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理證明；③正確．設(shè)CD＝m，則BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，過(guò)點(diǎn)C作CJ⊥DF于點(diǎn)J，求出AO，CJ，可得結(jié)論；④錯(cuò)誤．將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接PN，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，PA+PB+PC值最小，此時(shí)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，設(shè)PD＝t，則BD＝AD＝t，構(gòu)建方程求出t，可得結(jié)論．【解析】如圖1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△DAE（SAS），∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正確，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠AEC+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中點(diǎn)O，連接OA，OA，OC，則OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四點(diǎn)共圓，∴∠DAC＝∠CED，故②正確，設(shè)CD＝m，則BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，過(guò)點(diǎn)C作CJ⊥DF于點(diǎn)J，∵tan∠CDF＝＝＝2，∴CJ＝m，∵AO⊥DE，CJ⊥DE，∴AO∥CJ，∴＝＝＝，故③正確．如圖2中，將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等邊三角形，∴BP＝PN，∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，PA+PB+PC值最小，此時(shí)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，∴∠BPD＝∠CPD＝60°，設(shè)PD＝t，則BD＝AD＝t，∴2+t＝t，∴t＝+1，∴CE＝BD＝t＝3+，故④錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．14．（2022?眉山）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A．9 B．12 C．14 D．16【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，可得出△ABC的周長(zhǎng)＝2△DEF的周長(zhǎng)．【解析】如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，∴DE、EF、DF是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝3，EF＝AB＝2，DF＝AC＝4，∴△DEF的周長(zhǎng)＝3+2+4＝9．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理．解題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線定理得出邊之間的數(shù)量關(guān)系．15．（2022?湘潭）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個(gè)銳角，則tanα＝（）A．2 B． C． D．【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以先求出大正方形的面積，然后設(shè)出小直角三角形的兩條直角邊，再根據(jù)勾股定理和兩直角邊的關(guān)系可求得直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)，然后即可求得tanα的值．【解析】由已知可得，大正方形的面積為1×4+1＝5，設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，則a2+b2＝5，a﹣b＝1，解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合題意，舍去），∴tanα＝＝＝2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是求出直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)．16．（2022?蘇州）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段AC．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，3），則m的值為（）A． B． C． D．【分析】過(guò)C作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，根據(jù)將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段AC，可得△ABC是等邊三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC＝＝BC＝AB，可得BD＝＝，OB＝＝，從而+＝m，即可解得m＝．【解析】過(guò)C作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，如圖：∵CD⊥x軸，CE⊥y軸，∠DOE＝90°，∴四邊形EODC是矩形，∵將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，∴AC＝＝＝BC＝AB，在Rt△BCD中，BD＝＝，在Rt△AOB中，OB＝＝，∵OB+BD＝OD＝m，∴+＝m，化簡(jiǎn)變形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴m＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理，用含m的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度．17．（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過(guò)電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC，提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來(lái)的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解析】A．利用三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；B．利用三角形兩邊、且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；C．AB，AC，∠B，無(wú)法確定三角形的形狀，故此選項(xiàng)符合題意；D．根據(jù)∠A，∠B，BC，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．18．（2022?湖州）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（）A．12 B．9 C．6 D．3【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD＝CD＝3，AD⊥BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出ED，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD＝CD＝BC＝3，AD⊥BC，在Rt△EBD中，∠EBC＝45°，∴ED＝BD＝3，∴S△EBC＝BC?ED＝×6×3＝9，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．19．（2022?寧波）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．2 D．4【分析】根據(jù)三角形中位線可以求得AE的長(zhǎng)，再根據(jù)AE＝AD，可以得到AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，可以求得BD的長(zhǎng)．【解析】∵D為斜邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴BD＝AC＝AD＝4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系、三角形的中位線，解答本題的關(guān)鍵是求出AD的長(zhǎng)．20．（2022?云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點(diǎn)，D、E、F與O點(diǎn)都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個(gè)，就能使△DOE≌△FOE．你認(rèn)為要添加的那個(gè)條件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根據(jù)AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解析】∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，則根據(jù)AAS可得△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)D符合題意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)A不符合題意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)B不符合題意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)C不符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理并會(huì)應(yīng)用．21．（2022?達(dá)州）如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，將一個(gè)含有45°角的直角三角尺按如圖所示的方式擺放，若∠EMB＝80°，則∠PNM等于（）A．15° B．25° C．35° D．45°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DNM＝∠BME＝80°，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠PND＝45°，即可得到結(jié)論．【解析】∵AB∥CD，∴∠DNM＝∠BME＝80°，∵∠PND＝45°，∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝80°﹣45°＝35°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2022?金華）如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開(kāi)”，在側(cè)面展開(kāi)圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，而點(diǎn)B是展開(kāi)圖的一邊的中點(diǎn)，再利用螞蟻爬行的最近路線為線段可以得出結(jié)論．【解析】將圓柱側(cè)面沿AC“剪開(kāi)”，側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，∵圓柱的底面直徑為AB，∴點(diǎn)B是展開(kāi)圖的一邊的中點(diǎn)，∵螞蟻爬行的最近路線為線段，∴C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，最短路徑問(wèn)題，掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．23．（2022?舟山）如圖，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，點(diǎn)A在邊DE的中點(diǎn)上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，連結(jié)CE，則CE的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．【分析】根據(jù)題意先作出合適的輔助線，然后根據(jù)勾股定理可以得到AB和BC的長(zhǎng)，根據(jù)等面積法可以求得EG的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得EF的長(zhǎng)，最后計(jì)算出CE的長(zhǎng)即可．【解析】作EF⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作EG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，點(diǎn)A是DE的中點(diǎn)，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四邊形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、等腰直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出EF和CF的長(zhǎng)．24．（2022?遂寧）如圖，D、E、F分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，其中BC＝8，BC邊上的高為6，且DE∥BC，則△DEF面積的最大值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，交DE于點(diǎn)N，則AN⊥DE，設(shè)AN＝a，根據(jù)DE∥BC，證出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得到DE＝a，列出△DEF面積S的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)配方法求最值即可．【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，交DE于點(diǎn)N，則AN⊥DE，設(shè)AN＝a，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝a，∴△DEF面積S＝×DE×MN＝×a?（6﹣a）＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣3）2+6，∴當(dāng)a＝3時(shí)，S有最大值，最大值為6．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，平行線的性質(zhì)，列出△DEF面積S的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)配方法求最值是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共15小題）25．（2022?岳陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BC＝6，則CD＝3．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知D是BC的中點(diǎn)，即可求出CD的長(zhǎng)．【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．26．（2022?蘇州）定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”．若等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，底邊BC的長(zhǎng)為3，則腰AB的長(zhǎng)為6．【分析】由等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的長(zhǎng)為6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；即可得答案．【解析】∵等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，則△ABC三邊分別是6，6，3，符合題意，∴腰AB的長(zhǎng)為6；若BC＝3＝2AB，則AB＝1.5，△ABC三邊分別是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；綜上所述，腰AB的長(zhǎng)是6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形三邊關(guān)系，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是分類思想的應(yīng)用及掌握三角形任意兩邊的和大于第三邊．27．（2022?云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，則△ABC的頂角度數(shù)是40°或100°．【分析】分∠A是頂角和底角兩種情況討論，即可解答．【解析】當(dāng)∠A是頂角時(shí)，△ABC的頂角度數(shù)是40°；當(dāng)∠A是底角時(shí)，則△ABC的頂角度數(shù)為180°﹣2×40°＝100°；綜上，△ABC的頂角度數(shù)是40°或100°．故答案為：40°或100°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，此類題目，難點(diǎn)在于要分情況討論．28．（2022?濱州）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且頂角∠BAC＝120°，則∠C的大小為30°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到∠B＝∠C＝30°．【解析】∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案為：30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2022?麗水）三個(gè)能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣，3），則A點(diǎn)的坐標(biāo)是（，﹣3）．【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣，3），所以A點(diǎn)的坐標(biāo)是（，﹣3），故答案為：（，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．30．（2022?金華）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，連結(jié)CC'，則四邊形AB'C'C的周長(zhǎng)為（8+2）cm．【分析】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和平移的性質(zhì)，求得四邊形AB'C'C的四邊即可求得結(jié)論．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，∴AB＝2BC＝4，∴AC＝＝2．∵把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，∴B′C′＝BC＝2，AA′＝CC′＝1，A′B′＝AB＝4，∴AB′＝AA′+A′B′＝5．∴四邊形AB'C'C的周長(zhǎng)為AB′+B′C′+CC′+AC＝5+2+1+2＝（8+2）cm．故答案為：（8+2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．31．（2022?宜賓）《數(shù)書九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S＝．現(xiàn)有周長(zhǎng)為18的三角形的三邊滿足a：b：c＝4：3：2，則用以上給出的公式求得這個(gè)三角形的面積為3．【分析】根據(jù)題意先求出a、b、c，再代入公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】根據(jù)a：b：c＝4：3：2，設(shè)a＝4k，b＝3k，c＝2k，則4k+3k+2k＝18，解得：k＝2，∴a＝4k＝4×2＝8，b＝3k＝3×2＝6，c＝2k＝2×2＝4，∴S＝＝＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的熟練掌握．32．（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，則EF＝BE+DF．【解決問(wèn)題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分別有景點(diǎn)M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之間修一條直路，則路線M→N的長(zhǎng)比路線M→A→N的長(zhǎng)少370m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）．【分析】解法一：如圖，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理證明∠G＝90°，分別計(jì)算AD，CG，AG，BG的長(zhǎng)，由線段的和與差可得AM和AN的長(zhǎng)，最后由勾股定理可得MN的長(zhǎng)，計(jì)算AM+AN﹣MN可得答案．解法二：構(gòu)建【閱讀材料】的圖形，根據(jù)結(jié)論可得MN的長(zhǎng)，從而得結(jié)論．【解析】解法一：如圖，延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)G，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路線M→N的長(zhǎng)比路線M→A→N的長(zhǎng)少370m．解法二：如圖，延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)G，連接CN，CM，則∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△BCM是等邊三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【閱讀材料】的結(jié)論得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路線M→N的長(zhǎng)比路線M→A→N的長(zhǎng)少370m．故答案為：370．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是作出所需要的輔助線，構(gòu)造含30°的直角三角形，再利用線段的和與差進(jìn)行計(jì)算即可．33．（2022?山西）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長(zhǎng)線上，且BE＝DF，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)A作AN⊥EF，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若BE＝5，CN＝8，則線段AN的長(zhǎng)為4．【分析】連接AE，AF，EN，由正方形的性質(zhì)可得AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，可證得△ABE≌△ADF（SAS），可得∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，從而可得∠EAF＝90°，根據(jù)等腰三角形三線合一可得點(diǎn)M為EF中點(diǎn)，由AN⊥EF可證得△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），可得EN＝FN，設(shè)DN＝x，則EN＝FN＝x+5，CE＝x+3，由勾股定理解得x＝12，可得AB＝CD＝20，由勾股定理可得AE＝5，從而可得AM＝EM＝FM＝，由勾股定理可得MN＝，即可求解．【解析】如圖，連接AE，AF，EN，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，∴∠EAF＝90°，∴△EAF為等腰直角三角形，∵AN⊥EF，∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），∴EN＝FN，設(shè)DN＝x，∵BE＝DF＝5，CN＝8，∴CD＝CN+DN＝x+8，∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3，在Rt△ECN中，由勾股定理可得：CN2+CE2＝EN2，即82+（x+3）2＝（x+5）2，解得：x＝12，∴AB＝CD＝x+8＝20，EN＝x+5＝17，在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE＝＝＝5，∴AM＝EM＝FM＝＝，在Rt△EMN中，由勾股定理可得：MN＝＝＝，∴AN＝AM+MN＝+＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)建全等三角形解決問(wèn)題．34．（2022?武漢）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點(diǎn)I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是80．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CI于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥CI于點(diǎn)N，由正方形的性質(zhì)可證得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，F(xiàn)N＝CJ，可證得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，從而可得CN，可得BJ與AJ，即可求解．【解析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CI，交CI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥CI于點(diǎn)N，∵△ABC為直角三角形，四邊形ACDE，BCFG為正方形，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四邊形ABHL為正方形，∴AL＝AB＝10，∵四邊形AJKL為矩形，∴四邊形AJKL的面積為：AL?AJ＝10×8＝80，故答案為：80．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．35．（2022?孝感）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是m2+1（結(jié)果用含m的式子表示）．【分析】根據(jù)題意得2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解析】∵m為正整數(shù)，∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2+1，綜上所述，其弦是m2+1，故答案為：m2+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．36．（2022?臺(tái)州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)．若EF的長(zhǎng)為10，則CD的長(zhǎng)為10．【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出AB，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求出CD．【解析】∵E，F(xiàn)分別為BC，CA的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝AB，∴AB＝2EF＝20，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，AB＝20，∴CD＝AB＝10，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及三角形的中位線定理，求得AB的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．37．（2022?嘉興）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請(qǐng)幫他在括號(hào)內(nèi)填上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件∠B＝60°．【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理填空即可．【解析】有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故答案為：∠B＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的定義及等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系．38．（2022?株洲）如圖所示，點(diǎn)O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N，若OM＝ON，則∠ABO＝15度．【分析】根據(jù)OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，從而可證Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度數(shù)．【解析】∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°，故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解題的關(guān)鍵．39．（2022?成都）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線MN交邊AB于點(diǎn)E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，則AB的長(zhǎng)為7．【分析】設(shè)MN交BC于D，連接EC，由作圖可知：MN是線段BC的垂直平分線，即得BE＝CE＝4，有∠ECB＝∠B＝45°，從而∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，由勾股定理得AE＝3，故AB＝AE+BE＝7．【解析】設(shè)MN交BC于D，連接EC，如圖：由作圖可知：MN是線段BC的垂直平分線，∴BE＝CE＝4，∴∠ECB＝∠B＝45°，∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，在Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查尺規(guī)作圖中的計(jì)算問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握用尺規(guī)作線段垂直平分線的方法，得到MN是線段BC的垂直平分線．三．解答題（共11小題）40．（2022?溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用平行線的性質(zhì)可得∠ADE＝∠AED，則AD＝AE，從而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代換即可．【解答】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．41．（2022?金華）如圖1，將長(zhǎng)為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個(gè)正方形．（1）用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長(zhǎng)．（2）當(dāng)a＝3時(shí)，該小正方形的面積是多少？【分析】（1）觀察圖形，用直角三角形較長(zhǎng)的直角邊減去較短的直角邊即可；（2）根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)的平方列出代數(shù)式，把a(bǔ)＝3代入求值即可．【解析】（1）∵直角三角形較短的直角邊＝×2a＝a，較長(zhǎng)的直角邊＝2a+3，∴小正方形的邊長(zhǎng)＝2a+3﹣a＝a+3；（2）小正方形的面積＝（a+3）2，當(dāng)a＝3時(shí)，面積＝（3+3）2＝36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列代數(shù)式，代數(shù)式求值，觀察圖形，用直角三角形較長(zhǎng)的直角邊減去較短的直角邊求出小正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．42．（2022?山西）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N．猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠B＝∠MDB時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM＝AN時(shí)，直接寫出線段AN的長(zhǎng)．【分析】（1）由三角形中位線定理可得MD∥AC，可證∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，即可求解；（2）由勾股定理可求BC的長(zhǎng)，由中點(diǎn)的性質(zhì)可得CG的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求解；（3）通過(guò)證明點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)D，點(diǎn)N四點(diǎn)共圓，可得∠ADN＝∠AMN＝45°，由直角三角形的性質(zhì)可求HN的長(zhǎng)，即可求解．【解析】（1）四邊形AMDN是矩形，理由如下：∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴MD∥AC，∴∠A+∠AMD＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠AMD＝90°，∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，∴四邊形AMDN是矩形；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥CD于G，∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，∴BC＝＝10，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD＝5，∵∠MDN＝90°＝∠A，∴∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠1＝90°，∴∠1＝∠C，∴DN＝CN，又∵NG⊥CD，∴DG＝CG＝，∵cosC＝，∴，∴CN＝；（3）如圖③，連接MN，AD，過(guò)點(diǎn)N作HN⊥AD于H，∵AM＝AN，∠MAN＝90°，∴∠AMN＝∠ANM＝45°，∵∠BAC+∠EDF＝90°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)D，點(diǎn)N四點(diǎn)共圓，∴∠ADN＝∠AMN＝45°，∵NH⊥AD，∴∠ADN＝∠DNH＝45°，∴DH＝HN，∵BD＝CD＝5，∠BAC＝90°，∴AD＝CD＝5，∴∠C＝∠DAC，∴tanC＝tan∠DAC＝＝，∴AH＝HN，∵AH+HD＝AD＝5，∴DH＝HN＝，AH＝，∴AN＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了矩形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，圓的有關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．43．（2022?武漢）問(wèn)題提出如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使DE＝DB，延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)F，探究的值．問(wèn)題探究（1）先將問(wèn)題特殊化．如圖（2），當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，直接寫出的值；（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問(wèn)題拓展如圖（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，＝（n＜2），延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，點(diǎn)DE＝DG，延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)F．直接寫出的值（用含n的式子表示）．【分析】問(wèn)題探究（1）取AB的中點(diǎn)G，連接DG，利用等邊三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)F為AG的中點(diǎn)，從而得出答案；（2）取BC的中點(diǎn)H，連接DH，利用ASA證明△DBH≌△DEC，得BH＝EC，則，再根據(jù)DH∥AB，得△EDH∽△EFB，從而得出答案；問(wèn)題拓展取BC的中點(diǎn)H，連接DH，由（2）同理可證明△DGH≌△DEC，得GH＝CE，得，再根據(jù)DH∥AB，得△EDH∽△EFB，同理可得答案．【解析】（1）如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DG是△ABC的中位線，∴DG∥BC，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴∠DBC＝30°，∵BD＝CD，∴∠E＝∠DBC＝30°，∴DF⊥AB，∵∠AGD＝∠ADG＝60°，∴△ADG是等邊三角形，∴AF＝AG，∵AG＝AB，∴AF＝AB，∴；（2）取BC的中點(diǎn)H，連接DH，∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴DH∥AB，DH＝AB，∵AB＝AC，∴DH＝DC，∴∠DHC＝∠DCH，∵BD＝DE，∴∠DBH＝∠DEC，∴∠BDH＝∠EDC，∴△DBH≌△DEC（ASA），∴BH＝EC，∴，∵DH∥AB，∴△EDH∽△EFB，∴，∴，∴；問(wèn)題拓展取BC的中點(diǎn)H，連接DH，由（2）同理可證明△DGH≌△DEC（ASA），∴GH＝CE，∴HE＝CG，∵＝，∴，∴，∴，∵DH∥BF，∴△EDH∽△EFB，∴，∵DH＝AB，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．44．（2022?懷化）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)N，使CN＝AM，連接MN交AC于點(diǎn)P，MH⊥AC于點(diǎn)H．（1）求證：MP＝NP；（2）若AB＝a，求線段PH的長(zhǎng)（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥BC，交AC于點(diǎn)Q，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等邊三角形，易證△QMP≌△CNP（AAS），即可得證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知AH＝HQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知QP＝PC，即可表示出HP的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)M作MQ∥BC，交AC于點(diǎn)Q，如圖所示：在等邊△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵M(jìn)Q∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等邊三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等邊三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．45．（2022?杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線段FC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MC＝MA＝MB，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（2）根據(jù)CE＝CM先求出CE的長(zhǎng)，再解直角三角形即可求出FC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM；（2）解：∵AB＝4，∴CE＝CM＝AB＝2，∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴FC＝CE?cos30°＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握并靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．46．（2022?陜西）問(wèn)題提出（1）如圖1，AD是等邊△ABC的中線，點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，且AP＝AC，則∠APC的度數(shù)為75°．問(wèn)題探究（2）如圖2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC，且AP＝BC，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥BC，分別交AB、BC于點(diǎn)O、E，求四邊形OECA的面積．問(wèn)題解決（3）如圖3，現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC＝45°．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點(diǎn)C為圓心，以CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD；②作CD的垂直平分線l，與CD交于點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)P，連接AP、BP，得△ABP．請(qǐng)問(wèn)，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，∠BAC＝60°，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠PAC＝30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）連接PB，證明四邊形PBCA為菱形，求出PB，解直角三角形求出BE、PE、OE，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（3）過(guò)點(diǎn)A作CD的平行線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，兩條平行線交于點(diǎn)F，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PA＝PF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠PAF＝60°，進(jìn)而求出∠BAP＝15°，根據(jù)要求判斷即可．【解析】（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AD是等邊△ABC的中線，∴∠PAC＝∠BAC＝30°，∵AP＝AC，∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°，故答案為：75°；（2）如圖2，連接PB，∵AP∥BC，AP＝BC，∴四邊形PBCA為平行四邊形，∵CA＝CB，∴平行四邊形PBCA為菱形，∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，∴BE＝PB?cos∠PBC＝3，BE＝PB?sin∠PBC＝3，∵CA＝CB，∠C＝120°，∴∠ABC＝30°，∴OE＝BE?tan∠ABC＝，∴S四邊形OECA＝S△ABC﹣S△OBE＝×6×3﹣×3×＝；（3）符合要求，理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作CD的平行線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，兩條平行線交于點(diǎn)F，∵CA＝CD，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝90°，∴四邊形FDCA為正方形，∵PE是CD的垂直平分線，∴PE是AF的垂直平分線，∴PF＝PA，∵AP＝AC，∴PF＝PA＝AF，∴△PAF為等邊三角形，∴∠PAF＝60°，∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，∴裁得的△ABP型部件符合要求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，得出△PAF為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．47．（2022?紹興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD＝α．（1）如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求α的度數(shù)．（2）當(dāng)P與E不重合時(shí)，記∠BAD＝β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根據(jù)AE平分∠BAC，P與E重合，即得∠ACD＝∠ADC＝65°，從而α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，可得∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，根據(jù)∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，即可得2α﹣β＝50°；②當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F，由∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD可得90°﹣α＝40°+α+β，2α+β＝50°．【解析】（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，P與E重合，∴D在AB邊上，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；答：α的度數(shù)為25°；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，如圖：∵將△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，∴（90°﹣α）+β＝40°+α，∴2α﹣β＝50°，②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F，如圖：∵將△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，∴90°﹣α＝40°+α+β，∴2α+β＝50°；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，2α﹣β＝50°；當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，2α+β＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及軸對(duì)稱變換，三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，能熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理．48．（2022?揚(yáng)州）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，點(diǎn)D在BC邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD，交射線AB于點(diǎn)E．（1）分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；①點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上且BE＝BD；②點(diǎn)E在線段AB上且EB＝ED．（2）若AB＝6．①當(dāng)＝時(shí)，求AE的長(zhǎng)；②直接寫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AE長(zhǎng)度的最小值．【分析】（1）①由DE⊥AD，BE＝BD，∠EAD＝∠BDA，有AB＝BD，即可得BE＝BD＝AB，AE＝2BE；②由∠BAC＝90°，∠C＝60°，EB＝ED，可得∠EDB＝∠B＝30°，即得∠AED＝∠EDB+∠B＝60°，根據(jù)DE⊥AD，可得AE＝2ED，故AE＝2EB；（2）①過(guò)D作DF⊥AB于F，證明△AFD∽△ADE，由＝，可得＝，設(shè)DF＝m，則AF＝2m，在Rt△BDF中，BF＝DF＝3m，而AB＝6，可得m＝，有AF＝，DF＝，AD＝＝，又＝，即可得AE＝；②作AE的中點(diǎn)G，連接DG，根據(jù)∠ADE＝90°，DG是斜邊上的中線，得AE＝2DG，即知當(dāng)AE最小時(shí)，DG最小，此時(shí)DG⊥BC，可證AG＝EG＝BE，從而得線段AE長(zhǎng)度的最小值為4．【解析】（1）①AE＝2BE，理由如下：∵DE⊥AD，∴∠AED+∠EAD＝90°＝∠ADE＝∠BDE+∠BDA，∵BE＝BD，∴∠AED＝∠BDE，∴∠EAD＝∠BDA，∴AB＝BD，∴BE＝BD＝AB，∴AE＝2BE；②AE＝2EB，理由如下：如圖：∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°，∵EB＝ED，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠AED＝∠EDB+∠B＝60°，∵DE⊥AD，∴∠EDA＝90°，∠EAD＝30°，∴AE＝2ED，∴AE＝2EB；（2）①過(guò)D作DF⊥AB于F，如圖：∵∠FAD＝∠DAE，∠AFD＝90°＝∠ADE，∴△AFD∽△ADE，∴＝，即＝，∵＝，∴＝，設(shè)DF＝m，則AF＝2m，在Rt△BDF中，BF＝DF＝3m，∵AB＝6，∴BF+AF＝6，即3m+2m＝6，∴m＝，∴AF＝，DF＝，∴AD＝＝，∵△AFD∽△ADE，∴＝，即＝，∴AE＝；②作AE的中點(diǎn)G，連接DG，如圖：∵∠ADE＝90°，DG是斜邊上的中線，∴AE＝2DG，DG＝AG＝EG，當(dāng)AE最小時(shí)，DG最小，此時(shí)DG⊥BC，∵∠B＝30°，∴BG＝2DG，∴AE＝2DG＝BG，∴BE＝AG，∴AG＝EG＝BE，∴此時(shí)AE＝AB＝4，答：線段AE長(zhǎng)度的最小值為4，法2：過(guò)A做AG⊥BC于G，過(guò)E做EH⊥BC于H，如圖：∵∠A