學業(yè)分層測評(五)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、填空題1．下列說法正確的有__________(填序號)．①兩條異面直線指的是不同在一個平面內的兩條直線；②兩條異面直線指的是分別在某兩個平面內的兩條直線；③兩條異面直線指的是既不平行又不相交的兩條直線；④兩條異面直線指的是平面內的一條直線和平面外的一條直線．【解析】①只說明兩直線不同在一個平面內，沒有說明平面的任意性；②把兩條直線放到特定的兩個平面內，也不具有任意性；③從反面肯定了兩直線的異面；④中的兩條直線可能在同一平面內．故填③.【答案】③2．如圖1-2-23，A是△BCD所在平面外一點，M，N分別是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，則BD＝________.圖1-2-23【解析】連結AM并延長交BC于E，連結AN并延長交CD于F，則E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，連結EF.由題意知，eq\f(AM,AE)＝eq\f(MN,EF)＝eq\f(2,3)，∴EF＝eq\f(3,2)×6＝9，∴BD＝2EF＝18.【答案】183．如圖1-2-24，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示GH，MN是異面直線的圖形有________．①②③④圖1-2-24【解析】①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交．【答案】②④4．空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連結四邊中點的四邊形的形狀是__________.【導學號：60420238】【解析】易證四邊形EFGH為平行四邊形，又∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其補角為AC與BD所成的角．而AC與BD所成的角為90°.∴∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．【答案】矩形5．如果l和n是異面直線，那么和l，n都垂直的直線有________條．【解析】l和n是異面直線，則和l，n都垂直相交的直線有一條m，與m平行的直線和l，n都垂直．【答案】無數(shù)6．如圖1-2-25，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，則所有與∠A1AB相等的角是________圖1-2-25【解析】因四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB與∠D1DC相等．又由于側面A1ABB1，D1DCC1為平行四邊形，所以∠A1AB與∠A1B1B，∠D1【答案】∠D1DC，∠D1C1C，∠A17．如圖1-2-26，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是圖1-2-26①CC1與B1E是異面直線；②C1C與AE③AE，B1C1④AE與B1C1【解析】CC1與B1E共面，CC1與AE異面，故①②錯；AE與BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故【答案】③8．如圖1-2-27，過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作________圖1-2-27【解析】連結AC1，則AC1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等；過點A分別作正方體的另外三條體對角線的平行線，則它們與棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故這樣的直線l可以作4條．【答案】4二、解答題9．如圖1-2-28，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點．求證：四邊形B圖1-2-28【證明】如圖，設Q是DD1的中點，連結EQ，QC1.∵E是AA1的中點，∴EQeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1C1，∴EQeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1C1(平行公理)，∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，∴B1Eeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))C1Q.又∵Q，F(xiàn)是矩形DD1C1C的兩邊的中點，∴QDeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))C1F，∴四邊形DQC1F為平行四邊形，∴C1Qeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DF.又∵B1Eeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))C1Q，∴B1Eeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DF，∴四邊形B1EDF是平行四邊形．10．如圖1-2-29所示，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，D，E分別是VB，VC的中點，求異面直線DE與AB所成的角．圖1-2-29【解】因為D，E分別是VB，VC的中點，所以BC∥DE，因此∠ABC是異面直線DE與AB所成的角，又因為AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故異面直線DE與AB所成的角為45°.[能力提升]1．一個正方體紙盒展開后如圖1-2-30，在原正方體紙盒中有下列結論：圖1-2-30①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結論中正確的是________(填序號)．【解析】把正方體平面展開圖還原為原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．【答案】①③2．如圖1-2-31，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱C1C與BC的中點，則直線EF與直線D1C圖1-2-31【解析】如圖，連結BC1，A1B.∵BC1∥EF，A1B∥CD1，則∠A1BC1即為EF與D1C又∵∠A1BC1為60°，∴直線EF與D1C【答案】60°3．如圖1-2-32所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點，則異面直線BE與CD所成角的余弦值為________．圖1-2-32【解析】如圖，取AC的中點F，連結EF，BF，在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點，∴EF∥CD，∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補角)．在Rt△ABC中，BC＝eq\r(2)，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).【答案】eq\f(\r(10),10)4．如圖1-2-33所示，△ABC和△A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(OB,OB′)＝eq\f(OC,OC′)＝eq\f(2,3).圖1-2-33(1)求證：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值.【導學號：60420239】【解】(1)證明：∵AA′∩BB′＝O，且eq\f(AO,A′O)＝eq\f(BO,B′O)＝eq\f(2,3)，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且邊AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴