2023高考數學二輪復習專項訓練《導數在研究函數中的應用》一、單選題（本大題共8小題，共40分）1.（5分）已知f（x）=x3-3x+m，在區(qū)間[0，2]上任取三個數a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形，則m的取值范圍是（）A.m＞2 B.m＞4

C.m＞6 D.m＞82.（5分）若函數f(x)在R上可導，且滿足A.2f(1)>f(2) B.2f(1)<f(2)

C.2f(1)=f(2) D.3.（5分）函數f（x）=e2x在點（0，1）處的切線的斜率是（）A.e2 B.e

C.2 D.14.（5分）已知函數f（x）的定義域為R，f′（x）為f（x）的導函數，函數y=f′（x）的圖象如圖所示，f（-2）=1，f（3）=1，則不等式f（x）＞1的解集為（）

A.（-2，3） B.（-∞，-2）

C.（3，+∞） D.（-∞，-2）∪（3，+∞）5.（5分）若連續(xù)函數f（x）在R上可導，其導函數為f′（x），且函數y=（2-x）f′（x）的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）

A.f（x）有極大值f（3）和極小值f（2）

B.f（x）有極大值f（-3）和極小值f（2）

C.f（x）有極大值f（3）和極小值f（-3）

D.f（x）有極大值f（-3）和極小值f（3）6.（5分）已知定義在R上的函數g(x)，導函數為g'(x)，若g(x)+g(-A、[0,1]B、(0,C、[D、(-∞,1]A.[0,1] B.(0,12] C.7.（5分）已知函數f（x）的導函數f′（x）的圖象如圖所示，f（-1）=f（2）=3，令g（x）=（x-1）f（x），則不等式g（x）≥3x-3的解集是（）

A.[-1，1]∪[2，+∞） B.（-∞，-1]∪[1，2]

C.（-∞，-1]∪[2，+∞） D.[-1，2]8.（5分）若函數f(x)=(x2+A.k?1 B.k>1 C.二、多選題（本大題共5小題，共25分）9.（5分）已知函數f(xA.fx恰有2個零點

B.fx在5+12,+∞上是增函數

C.fx既有最大值，又有最小值10.（5分）如圖是函數y=f(xA.f(x)在[-2,-1]上是增函數

B.當x=-1時，f(x)取得極小值

C.f(x)在11.（5分）在平面直角坐標系xOy中，設點M與曲線?i上任意一點距離的最小值為di(i=1,2)，若d1<dA.C1：x=0比C2：y=0更靠近M(1,-2)

B.C1：y=ex比C2：xy=1更靠近M(0,0)

C.若C1：(x-2)2+y212.（5分）已知函數f(x)=ekx，A.若點P(a,b)在f(x)的圖象上，則點P(b,a)在g(x)的圖象上

B.當k=e時，設點A，B分別在f(x)13.（5分）已知f(x)=xA.函數f(x)在[14,1]上的最大值為3 B.?x>0,f(x三、填空題（本大題共5小題，共25分）14.（5分）已知函數f(x)=13x3+115.（5分）已知函數f(x)=-13x+16,x∈[0,116.（5分）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點.設異面直線EM與AF所成的角為，則cosθ的最大值為__________.

17.（5分）已知函數f(x)=lnx-ax有兩個零點x1，x2(x1<x2)，則下列說法：?

①0<a<1e；18.（5分）已知函數fx=x2四、解答題（本大題共5小題，共60分）19.（12分）已知函數f(x)=(1-2x-1)e-x．?

20.（12分）已知函數f(x)=eax(lnx+1)(a∈R)，f'(x)為f(x)的導數.?

(1)設函數g(x)=f'(21.（12分）已知函數f(1)當a=2時，求函數f(x(2)若對任意x∈[1,+∞),不等式f(3)若f(x)存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求22.（12分）已知函數f(x)=alnx2+1x(a≠0)．?

(1)討論函數f(x23.（12分）已知函數f(x)=xlnx-lnx，g(x)=x-k．?

(Ⅰ)令h(x)=f(x)-g(x)?

①當k=1時，求函數h(x)在點(1,

答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）=0得到x1=1，x2=-1（舍去）?

∵函數的定義域為[0，2]?

∴函數在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，?

∴函數f（x）在區(qū)間（0，1）單調遞減，在區(qū)間（1，2）單調遞增，?

則f（x）min=f（1）=m-2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m?

由題意知，f（1）=m-2＞0①；?

f（1）+f（1）＞f（2），即-4+2m＞2+m②?

由①②得到m＞6為所求．?

2.【答案】B;【解析】解：構造函數：g(x)=f(x)x(x≠0)，?

∵函數f(x)在R上可導，且滿足f(x)<xf'(x)，?

∴g'(x)=xf'(x)-f(x)x2>3.【答案】C;【解析】解：由f（x）=e2x，得?

f′（x）=2e2x，?

∴函數f（x）=e2x在點（0，1）處的切線的斜率是f′（0）=2．4.【答案】A;【解析】解：由y=f′（x）圖象可知f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，+∞）遞減．?

如圖，∵f（-2）=f（3）=1，?

∴f（x）＞1?-2＜x＜3．?

故選A．

5.【答案】D;【解析】解：由函數y=（2-x）f′（x）的圖象可知，?

當x∈（-3，3）時，f′（x）≤0；?

當x∈（-∞，-3）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0；?

故f（x）在（-∞，-3），（3，+∞）上單調遞增，?

在（-3，3）上單調遞減；?

故f（x）有極大值f（-3）和極小值f（3）；?

故選D．

6.【答案】null;【解析】?

此題主要考查利用函數奇偶性，單調性解不等式，利用導數研究函數單調性及最值，屬較難題.?

構造函數，利用函數奇偶性及單調性解不等式，再利用導數研究函數最值，分離參數解恒成立問題即可.?

解：構造函數F(x)=g(x)-ex，x∈R，?

因為g(x)+g(-x)=ex+e-x，?

所以g(x)-ex=-[g(-x)-e-x]，?

即F(x)=-F(-x)，所以F(x)為R上的奇函數，?

又當x?0時，g'(x)>ex，?

即F'(x)=g'(x)-ex>0，?

7.【答案】A;【解析】解：由題意得：f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增，?

解不等式g（x）≥3x-3，即解不等式（x-1）f（x）≥3（x-1），?

①x-1≥0時，上式可化為：f（x）≥3=f（2），解得：x≥2，?

②x-1≤0時，不等式可化為：f（x）≤3=f（-1），解得：-1≤x≤1，?

綜上：不等式的解集是[-1，1]∪[2，+∞），?

故選：A．

8.【答案】A;【解析】解：根據題意，函數函數f(x)=(x2+k)ex在區(qū)間(-3,2)上單調遞增，?

則有f'(x)=2x?ex+(x2+k)ex=(x2+2x+k)?ex?0，在(-3,2)上恒成立，?

∵ex>0恒成立，?

9.【答案】AD;【解析】?

此題主要考查導數的應用，考查分類討論思想，屬于中檔題．分x>0和x解：當x>0時，f(x)=ln?x-x+1x，?

f'(x)=當x<0時，f(x)=ln(-x)-x+1x，?

f'(x)=1x-1-1x2=-x2-x當x1若x1>0，x2>0，f(x1)+f同理x1<0，x2故選：AD.10.【答案】BC;【解析】解：由y=f(x)的導函數f'(x)的圖象知，?

導函數f'(x)在(-2,-1)、(2,4)上小于0，f(x)單調遞減，?

在(-1,2)、(4,5)上大于0，f(x)單調遞增，選項A錯誤，C正確；?

函數f(x)在x11.【答案】ABD;【解析】運用新定義，由兩點的距離公式計算即可判斷A；運用曲線的對稱性和導數的運用，判斷單調性和極值以及最值，結合兩點的距離公式，二次函數的最值，即可判斷B；運用直線和圓的位置關系，結合新定義，即可判斷C；運用點到直線的距離公式和二次函數的最值，即可判斷D.?

對于A.d1=|1-0|=1，d2=|0-(-2)|=2，d1<d2，則A為真命題；?

對于B.由對稱性可得，C2：xy=1關于直線y=x對稱，且經過點(0,0)，交點為(1,1)，(-1,-1)，?

則d2==，?

由于y=ex-x-1的導數為ex-1，當x>0時，導數大于0，當x<0時，導數小于0，則x=0為極小值點們也為最小值點，則有ex?x+1，?

設C1：y=ex上任一點P(x,ex)，即|OP|=?==?，即有d1=<d2，則B為真命題；?

對于C.由于點M(m,2m)在直線y=2x上，C2：x2+(y-2)2=1為圓心(0,2)，半徑為1的圓，圓心到直線的距離為<1，即直線和圓C2相交，即有交點到M的距離為0，而C1：(x12.【答案】ACD;【解析】?

此題主要考查利用導數研究函數的零點，導數的幾何意義，利用導數研究函數的最值，屬于難題.?

對于A，把點代入，進行變換，即可判斷，對于B利用導數幾何意義求出切點坐標，再由點到直線距離公式進行求解;對于C利用導數轉化求解最值，對于D，利用函數零點存在定理進行求解.解：對于A，若點P(a,b)在f(x)的圖象上，則b=eka，化簡得a=lnbk，即點P'(b,a)在g(x)的圖象上，A正確；?

對于B，由A可知f(x)與g(x)它們的圖象關于直線y=x對稱，?

平移直線y=x使其與函數的f(x)=eex圖象相切，?

由f'(x)=e.eex=1，解得x=-1e，f(-1e)=1e，?

則切點(-1e,1e)到直線y=x的距離為-1e-1e2=2e，?

因此|AB|的最小值為2e×2=22e，B錯誤；?

對于C，當k=1時，F(x)=f(x)-g(x)=ex-lnx，則F'(x)=ex-1x，?

因為函數F'(x)在(0,+∞)上單調遞增，且F'(12)<0，F'(1)>0，?

存在x0∈(12,1)，使得ex0-1x0=0，13.【答案】ABC;【解析】解：f'(x)=2x+lnx+1，g'(x)=2x+lnx+1-ex，?

對于A：令h(x)=2x+lnx+1(x>0)，則h'(x)=2+1x>0恒成立，?

∴f'(x)在[14,1]上單調遞增，即f'(x)?f'(14)=32-ln4=3-ln162>0，?

∴f(x)在[14,1]上單調遞增，則f(x)max=f(1)=3，故A正確；?

對于B：由選項A可得令h(x)=2x+lnx+1(x>0)，則h'(x)=2+1x>0恒成立，?

h(x)在(0,+∞)上單調遞增，又h(14)>0，h(1e2)=2e2-1<0，?

由零點存在定理得存在x0∈(1e2,14)，使得h(x0)=0，即2x0+lnx0+1=0，?

由f'(x)>0得x>x0，由f'(x)<0得0<x<x0，?

∴f(x)在(0,x014.【答案】(-16,10];【解析】?

該題考查導數知識的運用，考查線性規(guī)劃的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．?

求導函數，利用f(x)的兩個極值點分別是x1，x2，x1∈[-1,1)，x2∈(1,3]，建立不等式組，利用線性規(guī)劃，即可求a-4b的取值范圍．?

解：由題意，f'(x)=x2+ax+b，?

∵f(x)的兩個極值點分別是x1，x2，?

x1∈[-1,1)，x2∈(1,3]，?

∴f'-1=1-a+b?0f'1=1+a+b<15.【答案】[12，4【解析】解：∵f(x)=-13x+16,x∈[0,12]2x3x+1,x∈(12,1],?

①當x∈[0,12]時，f(x)=-13x+16在R上是單調遞減函數，?

∴f(12)?f(x)?f(0)，即0?f(x)?16，?

∴f(x)的值域為[0,16]；?

②當x∈(12,1]時，f(x)=2x3x+1，?

∴f'(x)=6x2(x+1)-2x3(x+1)2=2x2(2x+3)(x+1)2，?

∴當x>-32時，f'(x)>0，即f(x)在(-32,+∞)上單調遞增，?

∴f16.【答案】25【解析】?

此題主要考查建立空間直角坐標系，利用空間向量解決異面直線所成角的問題，以及運用導數探究函數單調性，屬于較難題.?

首先以AB，AD，AQ三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，并設正方形邊長為2，M(0,y,2)，從而可求出向量EM→,AF→的坐標，由cosθ=|cos<EM→,AF→>|得到cosθ=2-y5·y2+5，對函數f(y)=2-y5?y2+5求導，根據導數符號即可判斷該函數為減函數，從而求出cosθ的最大值．?

解：根據已知條件，AB，AD，AQ三直線兩兩垂直，?

分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，?

設AB=2，則：?

A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(2,1,0)；?

M在線段PQ上，設M(0,y,2)，0?y?2；?

∴17.【答案】①②③④;【解析】解：由f(x)=lnx-ax，可得f'(x)=1x-a(x>0)，?

當a?0時，f'(x)>0，∴f(x)在x∈(0,+∞)上單調遞增，f(x)至多有一個交點，與題意不符；?

當a>0時，令f'(x)=1x-a=0，解得x=1a，?

當x∈(0,1a)時，f'(x)>0，f(x)單調遞增，?

當x∈(1a,+∞)時，f'(x)<0，f(x)單調遞減，?

可得當x=1a時，f(x)取得極大值點，?

又因為由函數f(x)=lnx-ax有兩個零點x1，x2(x1<x2)，?

可得f(1a)=ln1a-1>0，可得a<1e，?

綜合可得：0<a<1e，故①正確；?

f(x)的極大值為f(1a)，則0<x1<1a<x2，?

設g(x)=f(2a-x)-f(x)，其中x∈(0,1a)，可得g(1a)=0，?

可得g(x)=ln(2a-x)-a(2a-x)-lnx+18.【答案】(2e【解析】此題主要考查函數零點與方程根之間的對應關系，利用導數研究函數的單調性和最值，屬于一般題．?

函數fx=x2-alnx有兩個零點，當x≠1時，等價于g(x)=x2lnx和y=a的圖象有兩個交點，利用導數判斷函數的單調性和最值，即可得到a的取值范圍.?

解：函數fx=x2-alnx有兩個零點，?

等價于方程x2-alnx=0當0<x<1時，g'(x)<0當x>1時，g所以當1<x<e12時，g所以當x>1時，g(x)的最小值為g(e12)=e12=2e，?

當所以a>即a的取值范圍為(故答案為(2e19.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=（1-2x-1）′?e-x+（1-2x-1）（e-x）′?

=（-1x-1）e-x-（1-2x-1）e-x?

=（2x-1-1x-1-1）e-x?

（2）∵f′（x）=2(x-1)2-x-1-1x-1e-x?

=(2x-1+1)(x-1-1)x-1e-x?

令f′（x）=0，解得x=2，且當1≤x＜2時，f′（x）＜0，當x＞2時，f′（x）＞0，?

∴f（x）在（1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增，?

∴f（x）在（1，+∞）上有最小值f（2）=-e-2，?

又令f（x）【解析】?

(1)利用導數公式和運算法則求導；?

(2)利用導數判斷單調性，由單調性求出最值，用最值表示值域．?

該題考查了利用導數研究函數的最值．屬基礎題．

20.【答案】解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），?

g（x）=f'(x)eax=alnx+a+1x，則g′（x）=ax-1x2，?

①當a≤0時，g′（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，g（x）單調遞減，?

②當a＞0時，令g′（x）=0，解得：x=1a，?

故x∈（0，1a）時，g′（x）＜0，g（x）遞減，?

當x∈（1a，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）遞增，?

綜上：當a≤0時，g（x）在（0，+∞）遞減，誤遞增區(qū)間，?

當a＞0時，g（x）極小值=g（1a）=a（2-lna）；?

（2）①∵f（x）有2個極值點，∴g（x）有2個零點，?

由（1）得：a≤0時不合題意，?

當a＞0時，g（x）極小值=g（1a）=a（2-lna），?

（i）當0＜a＜e2時，g（x）＞g（1a）＞0，g（x）沒有零點，不合題意，?

（ii）當a=e2時，g（1a）=0，g（x）有1個零點1a，不合題意，?

（iii）當a＞e2時，g（1a）＜0，?

g（1a2）=a（a+1-2lna），設φ（a）=a+1-2lna，a＞e2，則φ′（a）=1-2a＞0，?

故φ（a）＞φ（e2）=e2-3＞0，即g（1a2）＞0，?

故存在x1∈（1a2，1a），使得g（x1）=0，又x（0，x1x（x1，xx（x2，+∞f′（x）+0-0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增故當a＞e2時，f（x）有2個極值點，?

綜上：a的取值范圍是（e2，+∞）；?

②∵a＜2e32，g（2a）=a（32+ln2a）＞0，∴1a2＜x1＜1a＜x2＜2a，?

∵x1，x2是g（x）=alnx+a+1x的兩個零點，?

∴l(xiāng)nx1+1=-1ax1，lnx2+1=-1ax2，?

∴f(x1)x1=eax1(lnx1+1)x1=-eax1ax12，f(x2)x2=eax2(lnx2+1)x2=-eax2ax22，?【解析】?

(1)求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；?

(2)①通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，求出函數的極值點的個數，從而確定a的范圍；?

②求出f(x1)x1=-ea21.【答案】(1)當a=2時，f(x)=lnx-2x-2x+3，f'(x)=1x-8(x+3)2，則f'(1)=12.?

又因為f(1)=0，所以函數f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y=12(x-1)，即x-2y-1=0.?

(2)因為f(x)=lnx-2x-2x-1+2a，所以f'(x)=1x-4a(x-1+2a)2?

=x2-2x+4a2-4a+1x(x-1+2a)2=(x-1)2+4a2-4ax(x-1+2a)2，且f(1)=0.因為a>0，所以1-2a<1.?

①當4a2-4a?0，即a?1時，因為f'(x)>0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，?

所以函數f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增．?

當x∈[1,+∞)時，f(x)?f(1)=0，所以a?1滿足條件．?

②當4a2-4a<0，即0<a<1?

得x1=1-2a-a2【解析】此題主要考查導數的幾何意義，利用導數研究函數的極值，不等式恒成立問題，屬于難題.?

(1)根據導數的幾何意義，得到切斜的斜率，進而寫出切線的方程；?

(2)將不等式恒成立問題，轉化為函數的最值問題，通過導數法求出函數的最值，即可得到答案；?

(3)求導，對a分類討論，得到函數的單調性，得到函數的極大值和極小值，得到a的不等式，解得a的取值范圍.

22.【答案】解：（1）函數定義域為（--∞，0）∪（0，+∞），f'(x)=2ax-1x2=2ax-1x2，?

當a＜0時，x∈(-∞，12a)時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，?

x∈(12a，0)，（0，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；?

當a＞0時，x∈（-∞，0），(0，12a)時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，