高等數(shù)學(xué)A第3章一元函數(shù)積分學(xué)3.1不定積分3.1.4不定積分的換元積分法

中南大學(xué)開(kāi)放式課堂教學(xué)3.1不定積分3.1.4換元積分法

第二換元積分法第一換元積分法

第二換元積分法應(yīng)用習(xí)例18-20第一換元積分法應(yīng)用習(xí)例1-17

常見(jiàn)的一些湊微分形式基本積分表2小結(jié)與思考題

換元積分法3.1.4不定積分的換元法

利用積分性質(zhì)和簡(jiǎn)單的積分表可以求出不少函數(shù)的原函數(shù),但實(shí)際上遇到的積分憑這些方法是不能完全解決的.

現(xiàn)在介紹與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相對(duì)應(yīng)的積分方法——不定積分換元法.它是在積分運(yùn)算過(guò)程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,將原來(lái)的積分化為對(duì)新的變量的積分,而后者的積分是比較容易積出的.原函數(shù)?被積表達(dá)式?也是被積表達(dá)式?一、第一換元積分法

積分形式不變性引理例如？原式變形為第一換元法(湊微分法)定理1注意:(2)第一換元法的過(guò)程是:實(shí)際解題時(shí),常常省略上述過(guò)程中的第三與第四等號(hào).二、常見(jiàn)的一些湊微分形式萬(wàn)能湊冪法常見(jiàn)的一些湊微分形式:例1例2計(jì)算例3計(jì)算例4計(jì)算例5計(jì)算例6計(jì)算例7計(jì)算例8計(jì)算例9計(jì)算例10計(jì)算三、第一換元積分法習(xí)例例11計(jì)算例12計(jì)算例13計(jì)算例14計(jì)算例15計(jì)算例17例16計(jì)算例1解例2計(jì)算解例3計(jì)算解例4

計(jì)算解例5計(jì)算解作為公式想到公式練習(xí)題

解練習(xí)題

例6

計(jì)算想到解(直接配元)例7

計(jì)算解例8

計(jì)算解例9

計(jì)算解例10

計(jì)算解類似例11

計(jì)算解例12

計(jì)算解注意:當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分.例13

計(jì)算解例14

計(jì)算解(1)（使用了三角函數(shù)恒等變形）解(2)同理可得例15

計(jì)算

解例16

解（1）

用萬(wàn)能湊冪法解(2)解(3)解例17另解問(wèn)題方法改變中間變量的設(shè)置方法.（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）四、第二換元積分法定理2證設(shè)為的原函數(shù),則有換元公式令則注意:(2)一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令(3)以上三種代換稱為三角代換.通常通過(guò)三角代換去根號(hào).五、第二換元積分法習(xí)例例19

計(jì)算例20

計(jì)算例18

計(jì)算解令則∴原式例18

計(jì)算例19

計(jì)算解令例20

計(jì)算解令注意：以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是消去根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令基本積分表基本積分表2—公式16-24小結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換基本積分表(2)在第一類換元法中