學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE23學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題8。3圓錐曲線的綜合問題(測試時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分）1。雙曲線右支上一點Ｐ（a,b）到直線l：y=x的距離則a+b=（)A．–B．C．或D．２或–2【答案】B【解析】試題分析:由題意可知成立，且，解方程組可得考點：雙曲線方程及點到直線的距離2。已知拋物線的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則＝A．B．C．3D．2【答案】C【解析】考點：拋物線的定義．3。橢圓的左、右焦點分別為、，則橢圓上滿足的點（）A．有2個B．有4個C．不一定存在D．一定不存在【答案】D【解析】試題分析:點P為橢圓上任一動點，當點P是短軸端點時，可求得，，即為銳角．同時可知，當點P在此位置時，最大，所以不存在點P使，故選D．考點：存在性問題．4。已知雙曲線與拋物線有一個公共的焦點，且兩曲線的一個交點為，若，則雙曲線的離心率為(）A．B．C．D．【答案】B【解析】考點：雙曲線的定義．【易錯點睛】本題主要考查了雙曲線的定義，雙曲線的離心率,拋物線的定義．利用拋物線的定義可求得點的橫坐標,代入拋物線方程，可求得點的坐標．而后利用雙曲線的定義可得的值，離心率就可求得．本題考查的知識點多，綜合性強,以基礎知識為主,放在最后一個選擇題的位置難度不大．屬于中等難度．5。已知拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離不大于，則雙曲線的離心率的取值范圍是(）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離等于，選B?？键c：雙曲線離心率【方法點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式,再根據(jù)a，b,c的關系消掉b得到a,c的關系式，建立關于a，b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.6。過拋物線的焦點作兩條垂直的弦，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考點：拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質.7.【2018山西兩校聯(lián)考】已知雙曲線離心率為，則其漸近線與圓的位置關系是(）A。相交B.相切C.相離D.不確定【答案】C【解析】因為一條漸近線方程為，又離心率為,所以，所以漸近線方程為，由知圓心,半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離,故選C。8。已知點、是雙曲線:(，）的左、右焦點，為坐標原點，點在雙曲線的右支上，且滿足,，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】考點：1、橢圓的幾何性質；2、橢圓的定義及離心率?！痉椒c晴】本題主要考查利用橢圓的幾何性質、橢圓的定義及離心率，屬于中檔題.求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析,既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸、橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯(lián)系.求離心率范圍問題應先將用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的不等式,從而求出的范圍.本題是利用勾股定理及橢圓的幾何性質結合構造出關于的不等式,最后解出的范圍的.9.已知雙曲線與拋物線的一個交點為，為拋物線的焦點，若,則雙曲線的漸近線方程為（)A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：設，根據(jù)拋物線的焦半徑公式:，所以，，代入雙曲線的方程，，解得：，所以，雙曲線方程是,漸近線方程是考點：1．雙曲線方程和性質；2．拋物線的定義．名師點睛：對應拋物線和兩個圓錐曲線相交的問題，多數(shù)從交點所滿足的拋物線的定義入手，得到交點的坐標，然后代入另一個圓錐曲線，解決參數(shù)的問題．10.已知橢圓的右焦點為．短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是A．B．C．D．【答案】A【解析】考點:橢圓的幾何性質．【名師點睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得關系或范圍,解題的關鍵是利用對稱性得出就是,從而得，于是只有由點到直線的距離得出的范圍，就得出的取值范圍，從而得出結論．在涉及到橢圓上的點到焦點的距離時，需要聯(lián)想到橢圓的定義．11?！?018山西名校聯(lián)考】設雙曲線的左、右焦點分別為，，，過作軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點為,已知，,點是雙曲線右支上的動點，且恒成立,則雙曲線的離心率的取值范圍是（)A.B。C.D.【答案】B【解析】垂直于軸，則為雙曲線的通徑的一半，，的坐標為，則，，又，故有在第1象限上即在右支上，則有，即,故選B。12.【2018湖北黃岡中學一模】已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為，這兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形。若,記橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（）A。B.C.D。【答案】A可得c>,即有由離心率公式可得由于,則有。則的取值范圍為（,+∞)。故選:A.點睛:本題主要考查橢圓和雙曲線的性質，明確橢圓和雙曲線的定義以及性質是解題的關鍵；本題中還用到了三角形變得性質:三角形的兩邊之和大于第三邊。二．填空題(共4小題，每小題5分，共20分）13.已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為．【答案】【解析】綜上可得雙曲線方程為?？键c：雙曲線的標準方程,簡單幾何性質。14。已知橢圓的左、右焦點分別為，上、下頂點分別是，點是的中點，若，且，則橢圓的方程為.【答案】【解析】試題分析:由題意可得，①，,可得，即有②，解得，可得橢圓的方程為,故答案為.考點:1、待定系數(shù)求橢圓方程;2、平面向量數(shù)量積公式?！痉椒c晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及平面向量的數(shù)量積公式，屬于難題。用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟:①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上,還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據(jù)上述判斷設方程或；③找關系：根據(jù)已知條件,建立關于、、的方程組；④得方程:解方程組，將解代入所設方程，即為所求．15.已知等腰梯形的頂點都在拋物線上，且，則點到拋物線的焦點的距離是__________．【答案】【解析】試題分析：建立坐標系如圖所示，由題意可知由，則點到拋物線的焦點的距離是，故答案填?？键c：拋物線．【方法點晴】本題是一個關于拋物線及其幾何性質方面的綜合性問題，屬于中檔題.解決本題的基本思路及切入點是，首先建立適當?shù)淖鴺讼?并且根據(jù)幾何圖形的特點，求出該等腰梯形的各個邊長，進而表示出頂點的坐標,再根據(jù)點到直線的距離是，即可求出，再根據(jù)拋物線的定義，即可求出點到拋物線的焦點的距離.16?！?018湖南益陽兩校聯(lián)考】已知為雙曲線的左焦點，定點為雙曲線虛軸的一個端點,過兩點的直線與雙曲線的一條漸近線在軸右側的交點為,若,則此雙曲線的離心率為__________．【答案】三、解答題（本大題共6小題,共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17。已知橢圓（）右頂點到右焦點的距離為,短軸長為.(Ⅰ）求橢圓的方程;（Ⅱ)過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若線段的長為,求直線的方程．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ）或．【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意列關于a、b、c的方程組，解方程得a、b、c的值，既得橢圓的方程；（Ⅱ）分兩種情況討論：當直線與軸垂直時，，此時不符合題意故舍掉；當直線與軸不垂直時，設直線的方程為:，代入橢圓方程消去得：，再由韋達定理得,從而可得直線的方程．試題解析:（Ⅰ)由題意,，解得，即：橢圓方程為4分（Ⅱ）當直線與軸垂直時,，此時不符合題意故舍掉；6分當直線與軸不垂直時，設直線的方程為:，代入消去得：．設，則8分所以，11分由，13分所以直線或．14分考點:1、橢圓的方程；2、直線被圓錐曲線所截弦長的求法；3、韋達定理．18?！?018湖南永州一模】已知動圓與圓相切，且經過點。(1）求點的軌跡的方程；（2）已知點,若為曲線上的兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）(2)當直線軸時，不成立,所以直線存在斜率，設直線．設，，則,，得，①，②又由，得③聯(lián)立①②③得，（滿足）所以直線的方程為19。在直角坐標系中，曲線C：y=與直線（＞0)交與M，N兩點，（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程;(Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ)存在【解析】試題分析：(Ⅰ）先求出M,N的坐標,再利用導數(shù)求出M,N.（Ⅱ)先作出判定，再利用設而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關于的一元二次方程,設出M,N的坐標和P點坐標，利用設而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關系,從而找出適合條件的P點坐標.試題解析:（Ⅰ）由題設可得，，或，.∵，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為，即。故在=-處的到數(shù)值為-,C在處的切線方程為，即。故所求切線方程為或.……5分（Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下：設P（0，b）為復合題意得點，，，直線PM，PN的斜率分別為.將代入C得方程整理得.∴?！?=.當時，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補,故∠OPM=∠OPN，所以符合題意.……12分【考點定位】拋物線的切線；直線與拋物線位置關系；探索新問題;運算求解能力20。已知橢圓：（)的一個焦點為，左右頂點分別為,經過點的直線與橢圓交于兩點.（1）求橢圓方程；(2）記與的面積分別為和,求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(1）根據(jù)條件建立參數(shù)，,所滿足的方程，解方程組即可求解;（2）建立的函數(shù)表達式，求函數(shù)最值即可求解。當直線斜率存在時，設直線方程為（）,設,顯然,異號,由得，顯然，方程有實根，且，，此時，由可得，當且僅當時等號成立，∴的最大值為.考點：1。橢圓的標準方程；2.橢圓中的最值問題.【方法點睛】求解范圍問題的常見求法：（1）利用判別式來構造不等關系,從而確定參數(shù)的取值范圍；（2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關系；（3）利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．21.【2018東北名校聯(lián)考】在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點,是拋物線上的任意一點，當位于第一象限內時,外接圓的圓心到拋物線準線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過的直線交拋物線于兩點，且，點為軸上一點，且,求點的橫坐標的取值范圍?！敬鸢浮?1）（2)【解析】試題分析：（1）由拋物線的定義與圓的性質，可求出圓心到準線的距離用表示,可得值;(2）設,再由向量間關系可得坐標間關系，令直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，可得中點坐標，求出直線的垂直平分線方程，可求得點橫坐標,進一步求出其取值范圍．試題解析：根據(jù)題意，點在的垂直平分線上,所以點到準線的距離為，所以。（2)設,設直線代入到中得，所以，又中點,所以直線的垂直平分線的方程為，可得.22.已知分別是橢圓的左、右焦點,曲線是以坐標原點為頂點，以為焦點的拋物線，自點引直線交曲線于兩個不同的點，點關于軸對稱的點記為,設。（1）寫出曲線的方程；（2）若,試用表示;（3）若，求的取值范圍?！敬鸢浮浚?）;（2);（3)【解析】試題分析：（1）橢圓焦點為,故；（2）設，將點的坐標代入，化簡得，所以，代入求得,故；（3）由（1)（2）知，利用根