2021-2022學(xué)年上海市曹楊第二中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、填空題1．函數(shù)的最小正周期為_____．【答案】【分析】直接利用三角函數(shù)的周期公式，即可求解.【詳解】解：由正弦函數(shù)的周期公式得，所以函數(shù)的最小正周期為，故答案為：2．復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）的虛部為____．【答案】【分析】由復(fù)數(shù)的概念可直接得到虛部.【詳解】由復(fù)數(shù)的概念可知復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為:.3．函數(shù)的定義域?yàn)開__________________【答案】.【分析】由正切函數(shù)的定義域得出，解出不等式可得出所求函數(shù)的定義域．【詳解】由于正切函數(shù)為，解不等式，得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋军c(diǎn)睛】本題考查正切型函數(shù)定義域的求解，解題時(shí)需結(jié)合正切函數(shù)的定義域列不等式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題．4．已知，則____．【答案】##0.4【分析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后弦化切即可得到答案.【詳解】原式．故答案為：.5．若為銳角，且，則_____．【答案】【分析】通過(guò)平方關(guān)系求出和的值，再根據(jù)兩角和的余弦公式即可得解.【詳解】因?yàn)闉殇J角，且，所以，所以．故答案為：.6．方程在上的解集為__．【答案】【分析】首先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用特殊角的三角函數(shù)值確定解集，最后根據(jù)題干中給定角的取值范圍即可確定滿足條件的角的集合.【詳解】因?yàn)椋?，所以或，所以或，因?yàn)?，所以或，故答案為：?．已知向量在向量方向上的投影為，且，則__．(結(jié)果用數(shù)值表示)【答案】【分析】首先根據(jù)投影公式求得，再代入數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队盀?，且，所以，所以，則．故答案為：8．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_____．【答案】【分析】先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，再利用整體代入法即可求得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間【詳解】，由，得又，則則函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為：9．在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，表示△的面積，若，，則__________．【答案】【詳解】試題分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【解析】解三角形.【思路點(diǎn)睛】先利用余弦定理和三角形的面積公式可得，可得，再用正弦定理把中的邊換成角的正弦，利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理可求得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和，進(jìn)而求得．10．已知函數(shù)，若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則_____．【答案】【分析】根據(jù)條件，運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)逐步推理，求出和.【詳解】由于，存在兩種情況：（1）周期為，則有，又，所以，，，即，又=T，則在區(qū)間上不具有單調(diào)性，不符合題意；（2）為函數(shù)的對(duì)稱軸，則…①，因?yàn)?，所以…②，?②得，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上具有單調(diào)性，所以，即，所以，或6，若，則，由①得，因?yàn)?，所以，，代入①也成立，符合題意；若，由①得，不可能滿足；所以；故答案為：.11．已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是__.【答案】【分析】由三角恒等變換得，進(jìn)而根據(jù)題意得，再分別解不等式即可得答案.【詳解】解：函數(shù)∵在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，∴，即∴①或②，解①得，即，由于，故，即解②得，即，由于，故，即，綜上可得的取值范圍是故答案為：12．如圖，圓是半徑為1的圓，，設(shè)，為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】連接，，設(shè)是線段的中點(diǎn)，連接，則有.設(shè)為和的夾角.求出,利用二次函數(shù)即得解.【詳解】解：連接，，設(shè)是線段的中點(diǎn)，連接，則有.設(shè)為和的夾角.則，，（當(dāng)即時(shí)取等）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值.，（當(dāng)即時(shí)取等）當(dāng)時(shí)，有最大值為3，即有最大值3，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用向量的運(yùn)算建立函數(shù)模型，再利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.二、單選題13．已知是平面上的非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】充分性用數(shù)量積的幾何意義驗(yàn)證，必要性直接證明.【詳解】根據(jù)向量乘積的幾何意義則表示與在上投影數(shù)量的乘積，同理表示與在上投影數(shù)量的乘積，畫圖為：在的投影都為，但是所以充分性不成立.若，則成立,即必要性成立，所以B正確.故選：B．14．設(shè)函數(shù)，其中，，若對(duì)任意的恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增 D．過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像必有公共點(diǎn)【答案】D【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)在處取得最大值求出參數(shù)，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷答案.【詳解】由題意，，，而函數(shù)在處取得最大值，所以，所以，，則.對(duì)A，因?yàn)?，即，A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)榈淖畲笾禐?，而，所以過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象必有公共點(diǎn)，D正確.故選：D.15．函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)圖像平移規(guī)則和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可取得的最小值【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后為又因?yàn)椋瑒t的最小值為，故選：．16．如果對(duì)一切正實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將不等式cos2x≥asinx恒成立轉(zhuǎn)化為asinx+1﹣sin2x恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（y），利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是問題轉(zhuǎn)化為asinx﹣sin2x≤2恒成立．通過(guò)對(duì)sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三類討論，可求得對(duì)應(yīng)情況下的實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案．【詳解】解：?實(shí)數(shù)x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立?asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y），則asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，∵y＞0，f（y）23（當(dāng)且僅當(dāng)y＝6時(shí)取“＝”），f（y）min＝3；所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，則0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），則a≤g（t）min．由于g′（t）＝10，所以，g（t）＝t在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，因此，g（t）min＝g（1）＝3，所以a≤3；②若sinx＜0，則a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；綜合①②③，﹣3≤a≤3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問題，將不等式cos2x≥asinx恒成立轉(zhuǎn)化為asinx+1﹣sin2x恒成立是基礎(chǔ)，令f（y），求得f（y）min＝3是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．三、解答題17．已知，，．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）用平面向量的模長(zhǎng)及數(shù)量積運(yùn)算即可求解.（2）用公式，展開即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，即，又，所以?）18．已知△的角、、所對(duì)的邊分別為、、，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式、同角的商數(shù)關(guān)系，可得所求值；（2）由向量的數(shù)量積的定義和余弦定理，結(jié)合配方法，可得所求值．【詳解】解：（1）由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，又，所以；?）因?yàn)?，，所以，所以，則，所以．19．如圖所示，我國(guó)黃海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島與小島、小島相距都為5公里，與小島相距為公里．已知角為鈍角，且．(1)求小島與小島之間的距離；(2)記為，為，求的值．【答案】(1)2(2)【分析】(1)在中，利用余弦定理即可求解；(2)在中，先利用正弦定理求出，然后利用兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】（1）由題意可知：，，因?yàn)榻菫殁g角，，所以，在中，由余弦定理得，，所以，解得或（舍），所以小島與小島之間的距離為2．（2）在中，由正弦定理，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以為銳角，所以，因?yàn)?，，所以?0．借助三角比及向量知識(shí)，可以方便地討論平面上點(diǎn)及圖像的旋轉(zhuǎn)問題.試解答下列問題.(1)在直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，設(shè)向量，把向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，求向量的坐標(biāo)；(3)設(shè)為不重合的兩定點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得點(diǎn)，判斷是否能夠落在直線上，若能，試用表示相應(yīng)的值，若不能，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)能，答案見解析【分析】（1）設(shè)，以為終邊的角為，則利用兩角和的正弦和余弦公式求得和，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先把平移到起點(diǎn)在原點(diǎn)得到，與（1）同理求得即得；（3）與（1）同理求得點(diǎn)，把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線，分情況討論求解即可．【詳解】（1）設(shè)，則，