12.6力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程一、力矩力:改變質(zhì)點的運動狀態(tài),質(zhì)點獲得加速度。力矩：改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài),剛體獲得角加速度。hAθ(力F在垂直于軸的平面內(nèi))1.力

對z軸的力矩2大小由右螺旋法則確定。hAθ矢量形式思考：一對作用力與反作用力的力矩和等于對少？方向

剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消O42不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的力對定軸力矩的矢量形式A方向由右螺旋法則確定。5二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程作用在上的外力，內(nèi)力zo在圓規(guī)跡切線方向兩邊乘以rk，并對整個剛體求和6其中稱為合外力矩；

令，稱為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量。內(nèi)力矩之和為零；則或7剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積等于作用在剛體上所有外力對該軸力矩的代數(shù)和?！獎傮w繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程，或轉(zhuǎn)動定律。剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比,與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。8

兩個定律在形式上對應(yīng),都是反映瞬時效應(yīng)的。

(2)m反映質(zhì)點的平動慣性，J

則反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性。(1)轉(zhuǎn)動定律與牛頓第二定律比較：討論9三、轉(zhuǎn)動慣量剛體質(zhì)量不連續(xù)分布剛體質(zhì)量連續(xù)分布確定轉(zhuǎn)動慣量的三個要素:(1)總質(zhì)量；(2)質(zhì)量分布；(3)轉(zhuǎn)軸的位置。

對質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度

對質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度

對質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度：質(zhì)量元

質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量四.J的計算11

例1求長為L質(zhì)量為m

的均勻細棒對端點軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLxdm解:取如圖坐標，dm=dxJ

與剛體的總質(zhì)量有關(guān)（1）用定義式計算注意12J

與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)LOxdxMz

例2

求長為L質(zhì)量為m

的均勻細棒對中心垂線轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。

對端點二者關(guān)系：注意13平行軸定理zLCMz'剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動慣量；剛體繞通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量；兩軸間垂直距離。14

例3

求圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？(棒長為L、圓盤半徑為R）.(棒對邊緣軸)(圓盤對中心軸)(圓盤對棒邊緣軸)15例4

圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。dlOmR16例5圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。ROmrdrJ

與質(zhì)量分布有關(guān)注意17（2）用平行軸定理、迭加法(3)實驗法如三線扭擺法。J=J大–J

小J=J

大+J小OMR..18(1)飛輪的角加速度。四、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用舉例求:例1一輕繩繞在半徑r=20cm

的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N

的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量J=0.5kg·m2,飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計。(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端,試計算飛輪的角加速度。19解(1)(2)兩者區(qū)別?20例2一定滑輪質(zhì)量為m，半徑為r,不能伸長的輕繩兩邊分別系m1

和

m2

的物體掛于滑輪上,m1>m2,繩與滑輪間無相對滑動。設(shè)輪軸光滑無摩擦,滑輪的初角速度為零。求:滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時間變化的規(guī)律。21解:以m1,m2,m

為研究對象,受力分析滑輪m：m1：m2：22例3一根長為l、質(zhì)量為m

的均勻細直棒,其一端有一固定的光滑水平軸,因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在豎直位置,由于微小擾動,在重力作用下由靜止開始轉(zhuǎn)動。求:它由此下擺角時的角加速度和角速度。Pl/2Ol23解:

棒下擺為加速過程,外力矩為重力對O的力矩。重力作用在棒重心,當(dāng)棒處在下擺

角時,重力